決定公理

在數學上，決定公理（Axiom of determinacy，常記做AD）是一個在1962年由​​揚·米切爾斯基和​​雨果·斯坦豪斯所提出的可能的集合論公理，這公理探討的是特定類型且長度為ω的二人​拓樸遊戲，而決定公理聲稱，任何這類的遊戲都是決定的，也就是這兩個玩家中其中一人有必勝策略。

他們發展出決定公理的動機是這公理的有趣結果，他們並指出這公理可在集合論的最小自然模型​​L(R)中成立，這模型只接受較弱版本的選擇公理，但包括了所有的實數和序數。決定公理的一些結果，可由早前由斯特凡·巴拿赫、斯坦尼斯瓦夫·馬祖爾以及莫頓．戴維斯（Morton Davis）等人證明的定理得出；而米切爾斯基與斯坦豪斯兩氏則證明了另一個結果，那就是在決定公理下，所有實數的集合都是勒貝格可測的。之後Donald A. Martin等人證明了更多重要的結果，尤其在描述集合論方面更是如此。在1988年，約翰．斯蒂爾與​烏丁總結了一長串的研究，病症明說在類似$\aleph _{0}$的不可數基數存在的狀況下，米切爾斯基與斯坦豪斯兩氏原先的猜想，也就是「決定公理在集合論的最小自然模型​​L(R)中成立」這點是對的。

具決定性的遊戲

決定公理所談論的遊戲具有特定的定義，而其定義如次：

考慮所有自然數的無限序列組成的貝爾空間$\omega ^{\omega }$的子集合$A$，而其中兩個玩家1p與2p輪流選取自然數

$n_{0},n_{1},n_{2},n_{3},...$

在經過無限步後，可得一序列$(n_{i})_{i\in \omega }$，其中玩家1p獲勝當且僅當這序列是$A$的元素。而決定公理講的是任何這類的遊戲都是決定的，也就是這兩個玩家中其中一人有必勝策略。

不是所有的遊戲的決定性，都需要動用決定公理來證明。在$A$是一個閉開集的情況下，那這遊戲基本是有限的，也因此是決定的；相似地，若$A$是一個閉集，那這遊戲是決定的。在1975年，唐纳德·馬丁證明說若一個遊戲必勝策略是一個博雷爾集的話，那這遊戲是決定的；此外，在有足夠大的基數存在的狀況下，所有必勝策略是射影集的遊戲都是決定的，而決定公理在​​L(R)中成立。

另外，決定公理蘊含說對於任何實數線的子空間$X$而言，巴拿赫－馬祖爾遊戲$BM(X)$是決定的（也因此所有的實數集合都具有貝爾性質）。

決定公理與選擇公理的不相容性

在假定選擇公理成立的狀況下，我們可以構造決定公理的一個反例。集合$S_{1}$是$\omega$－遊戲$G$中玩家一的所有策略，其大小與連續統相同；而類似地，$S_{2}$是同樣遊戲中玩家二的所有策略。設$SG$為$G$中所有可能序列的集合，並假定$A$是$SG$中使玩家一獲勝的子序列，那麼利用選擇公理我們可以為連續統構造一個良序，且我們可以構造出一個任何真初始部分都小於連續統的排序，而我們可利用這樣的良序集$J$來給$S_{1}$跟$S_{2}$上指標，並藉此將$A$給構造成決定公理的一個反例。

我們從空集合$A$與$B$開始。設$\alpha \in J$是集合$S_{1}$跟$S_{2}$的指標，我們考慮玩家一的所有策略$S_{1}={s1(\alpha )}$及玩家二的所有策略$S_{2}={s2(\alpha )}$以確保對於任何策略，都會有另一個玩家的策略能將之勝過。對於任何玩家考慮的策略，我們都可生成一個序列，使得另一個玩家獲勝。設$t$是時間軸，其長度為$\aleph _{0}$且這時間軸用於所有的遊戲序列中，我們可以利用$A$上對$\alpha$的超限遞歸來生成反例：

1. 首先，考慮玩家一的策略$s1(\alpha )$。
2. 將這策略套用於$\omega$－遊戲上，（連同玩家一的策略$s1(\alpha )$一起）可生成$\{a(1),b(2),a(3),b(4)...a(t),b(t+1),...\}$這序列，而這序列不屬於$A$，這是可能的，而這可能性是因為$\{b(2),b(4),b(6)...\}$這些選項的數量與連續統相同，而這數量比$J$的真初始部分$\{\beta \in J|\beta <J\}$還要大所致。
3. 現在（若這序列還不在$B$之內的話）將這序列加入$B$之中以表示$s1(\alpha )$失敗。（輸給$\{b(2),b(4),b(6)...\}$）
4. 現在，考慮玩家二的策略$s2(\alpha )$。
5. 將這策略套用於$\omega$－遊戲上，（連同玩家二的策略$s2(\alpha )$一起）可生成$\{a(1),b(2),a(3),b(4)...a(t),b(t+1),...\}$這序列，而這序列不屬於$B$，這是可能的，而這可能性是因為$\{a(1),a(3),a(5)...\}$這些選項的數量與連續統相同，而這數量比$J$的真初始部分$\{\beta \in J|\beta <J\}$還要大所致。
6. 現在（若這序列還不在$A$之內的話）將這序列加入$A$之中以表示$s2(\alpha )$失敗。（輸給$\{a(1),a(3),a(5)...\}$）
7. 利用對$\alpha$的超限歸納法，對$S_{1}$跟$S_{2}$的所有可能策略如是操作，對於所有在這之後不在$A$或$B$中的策略，將之任意分派給$A$或$B$，使得$B$為$A$的補集。

當這一切完成後，準備$\omega$－遊戲$G$，而在這遊戲中，如果你給我玩家一的策略$s1$，那就存在一個$\alpha \in J$使得$s1=s1(\alpha )$，而我們可以建構出一個$A$使得$s1(\alpha )$失敗（輸給$\{b(2),b(4),b(6)...\}$），因此$s1$失敗；類似地，任何玩家的任何其他策略都會失敗，因此決定公理與選擇公理的不相容。

無窮邏輯與決定公理

在二十世紀晚期，人們提出多種不同的無窮邏輯，其中一個認為決定公理為真的理由是因為這公理可（在某種無窮邏輯當中）寫成以下形式：

$\forall G\subseteq Seq(S):$

$\forall a\in S:\exists a'\in S:\forall b\in S:\exists b'\in S:\forall c\in S:\exists c'\in S...:(a,a',b,b',c,c'...)\in G$ OR

$\exists a\in S:\forall a'\in S:\exists b\in S:\forall b'\in S:\exists c\in S:\forall c'\in S...:(a,a',b,b',c,c'...)\notin G$

註：$Seq(S)$是$S$的所有$\omega$－序列。此處的句子長度無限，且在省略號出現處，有可數無窮多的量化詞序列。

大基數與決定公理

決定公理的相容性，與大基數相關公理的相容性息息相關。根據​烏丁的一個定理，不帶有選擇公理而帶有決定公理的策梅洛-弗蘭克爾集合論的相容性，等價於帶有選擇公理並帶有​烏丁基數的策梅洛-弗蘭克爾集合論的相容性。由於​烏丁基數是強不可達基數之故，因此若決定公理是相容的，那不可達基數的無限性也是相容的。

此外，若將大於所有可測基數的可測基數的存在姓給加入烏丁基數的無限集合的猜想中，那就可得到一個非常強的、關於勒貝格可測的實數集合的理論，而這是因為可以證明決定公理在​​L(R)中成立，因此所有在​​L(R)中的實數集合都是決定的之故。

參見

• ​實決定公理 (AD_R)
• ​博雷爾決定性定理
• ​馬丁測度
• ​拓樸遊戲

參考資料

• Mycielski, Jan; Steinhaus, Hugo. A mathematical axiom contradicting the axiom of choice. Bulletin de l'Académie Polonaise des Sciences, Série des Sciences Mathématiques, Astronomiques et Physiques. 1962, 10: 1–3. ISSN 0001-4117. MR 0140430. 
• Mycielski, Jan; Świerczkowski, Stanisław. On the Lebesgue measurability and the axiom of determinateness. Fund. Math. 1964, 54: 67–71. doi:10.4064/fm-54-1-67-71 . 
• Woodin, W. Hugh. Supercompact cardinals, sets of reals, and weakly homogeneous trees. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. 1988, 85 (18): 6587–6591. PMC 282022 . PMID 16593979. doi:10.1073/pnas.85.18.6587 . 
• Martin, Donald A.; Steel, John R. A Proof of Projective Determinacy. Journal of the American Mathematical Society. Jan 1989, 2 (1): 71–125. JSTOR 1990913. doi:10.2307/1990913 . 
• Jech, Thomas. Set theory, third millennium edition (revised and expanded). Springer. 2002. ISBN 978-3-540-44085-7. 
• Kanamori, Akihiro. The Higher Infinite 2nd. Springer Science & Business Media. 2008. ISBN 978-3-540-88866-6. 
• Moschovakis, Yiannis N. Descriptive set theory (PDF) 2nd. Providence, R.I.: American Mathematical Society. 2009. ISBN 978-0-8218-4813-5. （原始内容 (PDF)存档于2014-11-12）. 

延伸閱讀

• Philipp Rohde, On Extensions of the Axiom of Determinacy, Thesis, Department of Mathematics, University of Bonn, Germany, 2001
• Telgársky, R.J. Topological Games: On the 50th Anniversary of the Banach-Mazur Game, Rocky Mountain J. Math. 17 (1987), pp. 227–276. (3.19 MB)
• "Large Cardinals and Determinacy" at the Stanford Encyclopedia of Philosophy