β函數 (物理學)

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

理论物理量子场论β函數β(g)描述的是在重整群下,理論中耦合常數g随能量标度μ的變化,定义:

\beta(g) = \frac{\partial g}{\partial \log(\mu)} ~,

例子[编辑]

量子电动力学[编辑]

量子电动力学 (QED)中β函數一圈图表示:

  • \beta(e)=\frac{e^3}{12\pi^2}~,

  • \beta(\alpha)=\frac{2\alpha^2}{3\pi}~,

这里精细结构常数α = e2/4π .

量子色动力学[编辑]

量子色动力学 (QCD)中β函數还与夸克的n_f有关其一圈图表示:

  • \beta(g)=-\left(11-\frac{2n_f}{3}\right)\frac{g^3}{16\pi^2}~,

  • \beta(\alpha_s)=-\left(11-\frac{2n_f}{3}\right)\frac{\alpha_s^2}{2\pi}~,

这里 αs = \frac{g^2}{4\pi} .

如果 nf ≤ 16则β函數为负数,理论存在漸近自由,这一现象在1973年,被弗朗克·韋爾切克戴維·格婁斯[1],與休·波利策[2]兩組人發現。他們三人在2004年因這項發現而獲得了諾貝爾物理學獎[3]

SU(N)非阿贝尔规范理論[编辑]

\beta(\alpha) = \mu^2 \frac{\partial}{\partial \mu^2} \frac{\alpha(\mu^2)}{4\pi}
 = - \left[ \beta_0 \left( \frac{\alpha}{4\pi} \right)^2
 + \beta_1 \left( \frac{\alpha}{4\pi} \right)^3
 + \beta_2 \left( \frac{\alpha}{4\pi} \right)^4+ \cdots\right]

\beta_0 = \frac{11}{3}C_A - \frac{4}{3}T_F n_f

\beta_1 = \frac{34}{3}C_A^2 - \frac{20}{3}C_A T_F n_f - 4C_F T_F n_f

\beta_2 = \frac{2857}{54}C_A^3 - \frac{1415}{27}C_A^2 T_F n_f
 + \frac{158}{27}C_A T_F^2 n_f^2 + \frac{44}{9}C_F T_F^2 n_f^2
 - \frac{205}{9}C_F C_A T_F n_f +2 C_F^2 T_F n_f

其中: T_F=\frac{1}{2}, C_F=\frac{N^2-1}{2N}C_A=N

參考資料[编辑]

  1. ^ D.J. Gross, F. Wilczek. Ultraviolet behavior of non-abeilan gauge theories. Physical Review Letters. 1973, 30: 1343–1346. Bibcode:1973PhRvL..30.1343G. doi:10.1103/PhysRevLett.30.1343. 
  2. ^ H.D. Politzer. Reliable perturbative results for strong interactions. Physical Review Letters. 1973, 30 (26): 1346–1349. Bibcode:1973PhRvL..30.1346P. doi:10.1103/PhysRevLett.30.1346. 
  3. ^ The Nobel Prize in Physics 2004. NobelPrize.org. Nobel Media. [26 August 2011].