Β分布

Β分布

機率 密度 函數
累積分布函數
參數	$\alpha > 0$ $\beta > 0$
值域	$x \in (0; 1)\!$
概率密度函数	$\frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}} {\mathrm{B}(\alpha,\beta)}\!$
累積分布函數	$I_x(\alpha,\beta)\!$
标记	{{{notation}}}
期望值	$\operatorname{E}[x] = \frac{\alpha}{\alpha+\beta}\!$ $\operatorname{E}[\ln x] = \psi(\alpha) - \psi(\alpha + \beta)\!$ (见双伽玛函数)
中位數	$I_{0.5}^{-1}(\alpha,\beta)$ 无解析表达
眾數	$\frac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}\!$ for $\alpha>1, \beta>1$
方差	$\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}\!$
偏態	$\frac{2\,(\beta-\alpha)\sqrt{\alpha+\beta+1}}{(\alpha+\beta+2)\sqrt{\alpha\beta}}$
峰態	见文字
熵值	见文字
動差生成函數	$1 +\sum_{k=1}^{\infty} \left( \prod_{r=0}^{k-1} \frac{\alpha+r}{\alpha+\beta+r} \right) \frac{t^k}{k!}$
特徵函數	${}_1F_1(\alpha; \alpha+\beta; i\,t)\!$ (见合流超几何函数)

在概率论中，Β分布是指一组定义在$(0,1)$区间的连续概率分布，有两个参数$\alpha, \beta>0$。

定义

概率密度函数

Β分布的概率密度函数是：

$\begin{align} f(x;\alpha,\beta) & = \frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{\int_0^1 u^{\alpha-1} (1-u)^{\beta-1}\, du} \\[6pt] & = \frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}\, x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1} \\[6pt] & = \frac{1}{\mathrm{B}(\alpha,\beta)}\, x ^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1} \end{align}$

其中$\Gamma(z)$是Γ函数。随机变量X服从参数为$\alpha, \beta$的Β分布通常写作

$X \sim \textrm{Be}(\alpha, \beta)$

累积分布函数

Β分布的累积分布函数是：

$F(x;\alpha,\beta) = \frac{\mathrm{B}_x(\alpha,\beta)}{\mathrm{B}(\alpha,\beta)} = I_x(\alpha,\beta) \!$

其中$\mathrm{B}_x(\alpha,\beta)$是不完全Β函数，$I_x(\alpha,\beta)$是正则不完全贝塔函数。

性质

参数为$\alpha, \beta$Β分布的众数是：

$\begin{align} \frac{\alpha - 1}{\alpha + \beta - 2} \\ \end{align}$

期望值和方差分别是：

$\mu = \operatorname{E}(X) = \frac{\alpha}{\alpha + \beta}$

$\operatorname{Var}(X) = \operatorname{E}(X - \mu)^2 = \frac{\alpha \beta}{(\alpha + \beta)^2(\alpha + \beta + 1)}$

偏度是：

$\frac{\operatorname{E}(X - \mu)^3}{[\operatorname{E}(X - \mu)^2]^{3/2}} = \frac{2 (\beta - \alpha) \sqrt{\alpha + \beta + 1} } {(\alpha + \beta + 2) \sqrt{\alpha \beta}}$

峰度是：

$\frac{\operatorname{E}(X - \mu)^4}{[\operatorname{E}(X - \mu)^2]^{2}}-3 = \frac{6[\alpha^3-\alpha^2(2\beta - 1) + \beta^2(\beta + 1) - 2\alpha\beta(\beta + 2)]} {\alpha \beta (\alpha + \beta + 2) (\alpha + \beta + 3)}$

或：

$\frac{6[(\alpha - \beta)^2 (\alpha +\beta + 1) - \alpha \beta (\alpha + \beta + 2)]} {\alpha \beta (\alpha + \beta + 2) (\alpha + \beta + 3)}$

$k$阶矩是：

$\operatorname{E}(X^k) = \frac{\operatorname{B}(\alpha + k, \beta)}{\operatorname{B}(\alpha,\beta)} = \frac{(\alpha)_{k}}{(\alpha + \beta)_{k}}$

其中$(x)_{k}$表示下降阶乘幂。$k$阶矩还可以递归地表示为：

$\operatorname{E}(X^k) = \frac{\alpha + k - 1}{\alpha + \beta + k - 1}\operatorname{E}(X^{k - 1})$

另外，

$\operatorname{E}(\log X) = \psi(\alpha) - \psi(\alpha + \beta)$

给定两个Β分布随机变量, X ~ Beta(α, β) and Y ~ Beta(α', β'), X的微分熵为：

$\begin{align} h(X) &= \ln\mathrm{B}(\alpha,\beta)-(\alpha-1)\psi(\alpha)-(\beta-1)\psi(\beta)+(\alpha+\beta-2)\psi(\alpha+\beta) \end{align}$

其中$\psi$表示双伽玛函数。

联合熵为：

$H(X,Y) = \ln\mathrm{B}(\alpha',\beta')-(\alpha'-1)\psi(\alpha)-(\beta'-1)\psi(\beta)+(\alpha'+\beta'-2)\psi(\alpha+\beta).\,$

其KL散度为：

$D_{\mathrm{KL}}(X,Y) = \ln\frac{\mathrm{B}(\alpha',\beta')} {\mathrm{B}(\alpha,\beta)} - (\alpha'-\alpha)\psi(\alpha) - (\beta'-\beta)\psi(\beta) + (\alpha'-\alpha+\beta'-\beta)\psi(\alpha+\beta).$

參見

• 概率论
• 機率分佈
• Β函数

外部連接

• Beta分佈
• LDA-math-认识Beta/Dirichlet分布