β-二项式分布

Β-二项式分布

機率 质量 函數
累積分布函數
參數	n ∈ N0 —试验次数 $\alpha > 0$ （实数） $\beta > 0$ （实数）
值域	k ∈ { 0, …, n }
概率密度函数	${n\choose k}\frac{\mathrm{B}(k+\alpha,n-k+\beta)} {\mathrm{B}(\alpha,\beta)}\!$
累積分布函數	$1- \tfrac{\mathrm{B}(\beta+n-k-1,\alpha+k+1)_3F_2(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b};k)} {\mathrm{B}(\alpha,\beta)\mathrm{B}(n-k,k+2) (n+1)}$ ，其中 3F2(a,b,k)=3F2(1,α+k+1, -n+k+1,k+2, -β-n+k +2,1) 是广义超几何分布
期望值	$\frac{n\alpha}{\alpha+\beta}\!$
中位數
眾數
方差	$\frac{n\alpha\beta(\alpha+\beta+n)}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}\!$
偏態	$\tfrac{(\alpha+\beta+2n)(\beta-\alpha)}{(\alpha+\beta+2)}\sqrt{\tfrac{1+\alpha+\beta}{n\alpha\beta(n+\alpha+\beta)}}\!$
峰態
熵值
動差生成函數	$_{2}F_{1}(-n,\alpha;\alpha+\beta;1-e^{t})\!$ $\text{for } t<\log_e(2)$
特徵函數	$_{2}F_{1}(-n,\alpha;\alpha+\beta;1-e^{it})\!$ $\text{for } |t|<\log_e(2)$

Β-二项式分布，或称贝塔-二项式分布，是概率论与统计学中的有限空间取值的一类离散型概率分布函数。它与一般二项式分布的不同之处，在于它虽然也是表示一系列已知次数的伯努利实验的成功概率，但其中的伯努利实验的常数变成了一个随机变量。作为 过度散布的二项式分布，Β-二项式分布在贝叶斯统计、经验贝叶斯方法以及经典统计学中都常常用到。

当试验次数 n = 1 的时候，Β-二项式分布退化为伯努利分布，而在α = β = 1 的时候，Β-二项式分布则退化为取值从0 到 n 的離散型均勻分佈。当 α 和 β 足够大的时候，它能够任意逼近二项式分布。Β-二项式分布也是多变量波利亚分布在一元时的情况，正如二项式分布和Β分布分别是多项分布和狄利克雷分布在一元时的情况一样。

矩相关性质

Β-二项式分布的前三个矩分别是：

$\begin{align} \mu_1 & =\frac{n\alpha}{\alpha+\beta} \\[8pt] \mu_2 & =\frac{n\alpha[n(1+\alpha)+\beta]}{(\alpha+\beta)(1+\alpha+\beta)}\\[8pt] \mu_3 & =\frac{n\alpha[n^{2}(1+\alpha)(2+\alpha)+3n(1+\alpha)\beta+\beta(\beta-\alpha)]}{(\alpha+\beta)(1+\alpha+\beta)(2+\alpha+\beta)} \end{align}$

而峰度则是：

$\gamma_2 = \frac{(\alpha + \beta)^2 (1+\alpha+\beta)}{n \alpha \beta( \alpha + \beta + 2)(\alpha + \beta + 3)(\alpha + \beta + n) } \left[ (\alpha + \beta)(\alpha + \beta - 1 + 6n) + 3 \alpha\beta(n - 2) + 6n^2 -\frac{3\alpha\beta n(6-n)}{\alpha + \beta} - \frac{18\alpha\beta n^{2}}{(\alpha+\beta)^2} \right].$

设 $\pi=\frac{\alpha}{\alpha+\beta} \!$ 那么数学期望可以表示成

$\mu = \frac{n\alpha}{\alpha+\beta}=n\pi \!$

而方差则是：

$\sigma^2 = \frac{n\alpha\beta(\alpha+\beta+n)}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)} = n\pi(1-\pi) \frac{\alpha + \beta + n}{\alpha + \beta + 1} = n\pi(1-\pi)[1+(n-1)\rho] \!$

其中 $\rho= \tfrac{1}{\alpha+\beta+1} \!$ 是 n 个伯努利变量的关联系数，称为散布系数。

参见

• 多变量波利亚分布

参考来源

• Minka, Thomas P. (2003). Estimating a Dirichlet distribution. Microsoft Technical Report.

外部链接

• 使用Β-二项式分布来对生物识别设备的性能作出估计