β-二项式分布

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Β-二项式分布
機率质量函數
Probability density function for the beta-binomial distribution
累積分布函數
Cumulative probability distribution function for the beta-binomial distribution
參數 nN0 —试验次数
\alpha > 0实数
\beta > 0实数
值域 k ∈ { 0, …, n }
概率密度函数 {n\choose k}\frac{\mathrm{B}(k+\alpha,n-k+\beta)} {\mathrm{B}(\alpha,\beta)}\!
累積分布函數 1- \tfrac{\mathrm{B}(\beta+n-k-1,\alpha+k+1)_3F_2(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b};k)} {\mathrm{B}(\alpha,\beta)\mathrm{B}(n-k,k+2) (n+1)}

,其中
3F2(a,b,k)=3F2(1,α+k+1, -n+k+1,k+2, -β-n+k

+2,1)
广义超几何分布

标记 {{{notation}}}
期望值 \frac{n\alpha}{\alpha+\beta}\!
中位數
眾數
方差 \frac{n\alpha\beta(\alpha+\beta+n)}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}\!
偏態 \tfrac{(\alpha+\beta+2n)(\beta-\alpha)}{(\alpha+\beta+2)}\sqrt{\tfrac{1+\alpha+\beta}{n\alpha\beta(n+\alpha+\beta)}}\!
峰態
熵值
動差生成函數 _{2}F_{1}(-n,\alpha;\alpha+\beta;1-e^{t})\!
 \text{for } t<\log_e(2)
特徵函數 _{2}F_{1}(-n,\alpha;\alpha+\beta;1-e^{it})\!
\text{for } |t|<\log_e(2)


Β-二项式分布,或称贝塔-二项式分布,是概率论统计学中的有限空间取值的一类离散型概率分布函数。它与一般二项式分布的不同之处,在于它虽然也是表示一系列已知次数的伯努利实验的成功概率,但其中的伯努利实验的常数变成了一个随机变量。作为 过度散布的二项式分布,Β-二项式分布在贝叶斯统计经验贝叶斯方法以及经典统计学中都常常用到。


当试验次数 n = 1 的时候,Β-二项式分布退化为伯努利分布,而在α = β = 1 的时候,Β-二项式分布则退化为取值从0 到 n離散型均勻分佈。当 αβ 足够大的时候,它能够任意逼近二项式分布。Β-二项式分布也是多变量波利亚分布在一元时的情况,正如二项式分布和Β分布分别是多项分布狄利克雷分布在一元时的情况一样。

矩相关性质[编辑]

Β-二项式分布的前三个分别是:

 
 \begin{align} 
   \mu_1 & =\frac{n\alpha}{\alpha+\beta} \\[8pt]
   \mu_2 & =\frac{n\alpha[n(1+\alpha)+\beta]}{(\alpha+\beta)(1+\alpha+\beta)}\\[8pt]
   \mu_3 & =\frac{n\alpha[n^{2}(1+\alpha)(2+\alpha)+3n(1+\alpha)\beta+\beta(\beta-\alpha)]}{(\alpha+\beta)(1+\alpha+\beta)(2+\alpha+\beta)}
 \end{align}


峰度则是:

 
   \gamma_2 = \frac{(\alpha + \beta)^2 (1+\alpha+\beta)}{n \alpha \beta( \alpha + \beta + 2)(\alpha + \beta + 3)(\alpha + \beta + n) } \left[ (\alpha + \beta)(\alpha + \beta - 1 + 6n) + 3 \alpha\beta(n - 2) + 6n^2 -\frac{3\alpha\beta n(6-n)}{\alpha + \beta} - \frac{18\alpha\beta n^{2}}{(\alpha+\beta)^2} \right].


\pi=\frac{\alpha}{\alpha+\beta} \! 那么数学期望可以表示成


\mu = \frac{n\alpha}{\alpha+\beta}=n\pi
\!


而方差则是:


\sigma^2 = \frac{n\alpha\beta(\alpha+\beta+n)}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}
 = n\pi(1-\pi) \frac{\alpha + \beta + n}{\alpha + \beta + 1} = n\pi(1-\pi)[1+(n-1)\rho]
\!


其中  \rho= \tfrac{1}{\alpha+\beta+1}   \!n 个伯努利变量的关联系数,称为散布系数。

参见[编辑]


参考来源[编辑]


外部链接[编辑]