Θ函數

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數學中,Θ函數是一種多複變特殊函數。其應用包括阿貝爾簇模空間二次形式孤立子理論;其格拉斯曼代數推廣亦出現於量子場論,尤其於超弦D-膜理論。

Θ函數最常見於椭圓函數理論。相對於其「z」 變量,Θ函數是拟周期函数(quasiperiodic function),具有「擬周期性」。在一般下降理論(descent theory)中,此來自線叢條件。

雅可比Θ函數[编辑]

雅可比Θ函數取二變量z\,\tau\,,其中z\,為任何複數,而 \tau\,上半複平面上一點;此函數之定義為:

\vartheta (z; \tau) = \sum_{n=-\infty}^\infty \ e^{(\pi i n^2 \tau +2 \pi i n z ) }

若固定 \tau\, ,則此成為一週期為 1 \,的單變量(z)\,整函數傅里葉級數

\vartheta( z+1; \tau) = \vartheta (z; \tau)

在以  \tau\, 位移時,此函數符合:

\vartheta(z+a+b\tau;\tau) = \ e^{(-\pi i b^2 \tau -2 \pi i b z)}\vartheta(z;\tau)

其中 a \,b \,為整數。

輔助函數[编辑]

可定義輔助函數:

\vartheta_{01} (z;\tau) = \vartheta(z+\frac{1}{2};\tau)
\vartheta_{10}(z;\tau) = e^{\frac{\pi {\mathrm{i}} \tau}{4} + \pi {\mathrm{i}} z}\vartheta(z+\frac{\tau}{2};\tau)
\vartheta_{11}(z;\tau) = e^{\frac{\pi {\mathrm{i}} \tau}{4} + \pi {\mathrm{i}} (z+\frac{1}{2})}\vartheta(z+\frac{\tau+1}{2};\tau).

其中符號依黎曼芒福德之習慣;雅可比的原文用變量q = e^{\pi {\mathrm{i}} \tau}\,替換了\tau\,,而稱本条目中的Θ為\theta_3\,\vartheta_{01}\theta_0\,\vartheta_{10}\theta_2\,\vartheta_{11}-\theta_1\,

若設z= 0 \,,則我们可從以上獲得四支單以\tau\,為變量之函數,其中\tau\,取值於上半複平面。此等函數人稱「Θ『常量』」(theta constant);我们可以用Θ函數定義一系列模形式,或參數化某些曲線。由「雅可比 恆等式」可得:

\vartheta(0;\tau)^4 = \vartheta_{01}(0;\tau)^4 + \vartheta_{10}(0;\tau)^4,

是為四次費馬曲線

雅可比恆等式[编辑]

雅可比恆等式描述模羣在Θ函數之作用;模羣之生成元為T: τ ↦ τ+1與S: τ ↦ -1/τ。我们已有 T 作用之式。設:

\alpha = (- {\mathrm{i}} \tau)^{\frac{1}{2}} e^{{\pi {\mathrm{i}} z^2}{\tau}}\,

\vartheta (\frac{z}{\tau}; -\frac{1}{\tau}) = \alpha \vartheta(z; \tau)
\vartheta_{01} (\frac{z}{\tau}; -\frac{1}{\tau}) = \alpha \vartheta_{10}(z; \tau)
\vartheta_{10} (\frac{z}{\tau}; -\frac{1}{\tau}) = \alpha \vartheta_{01}(z; \tau)
\vartheta_{11} (\frac{z}{\tau}; -\frac{1}{\tau}) = -\alpha \vartheta_{11}(z; \tau)

nome q表示Θ函數[编辑]

我们可用變量w\,q\,,代替z \,\tau\,,來表示ϑ。設w =e^{\pi {\mathrm{i}} z}\,q =e^{\pi {\mathrm{i}} \tau}\,。則ϑ可表示為:

\vartheta(w; q) = \sum_{n=-\infty}^\infty  w^{2n}q^{n^2}.

而輔助Θ函數可表示為:

\vartheta_{01}(w; q) = \sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n w^{2n}q^{n^2},
\vartheta_{10}(w; q) = q^{\frac{1}{4}} \sum_{n=-\infty}^\infty w^{2n+1}q^{n^2+n},
\vartheta_{11}(w; q) = {\mathrm{i}} q^{\frac{1}{4}} \sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n w^{2n+1}q^{n^2+n}.

此表示式不需要指數函數,所以適用於指數函數無每一處定義域,如p進數域。

乘積表示式[编辑]

雅可比三重積恆等式(Jacobi's triple product identity)中指出:若有複數w\,q\,,其中|q|<1 \,w \neq 0\,,則

\prod_{m=1}^\infty 
\left( 1 - q^{2m}\right)
\left( 1 + w^{2}q^{2m-1}\right)
\left( 1 + w^{-2}q^{2m-1}\right)
= \sum_{n=-\infty}^\infty  w^{2n}q^{n^2}.

此式可以用基本方法證明,如戈弗雷·哈罗德·哈代爱德华·梅特兰·赖特共同编著的《数论导引》(英语An Introduction to the Theory of Numbers)。

若用nome變量q = e^{\pi i \tau}\,w = e^{\pi i z}\,表示,則有:

\vartheta(z; \tau) = \sum_{n=-\infty}^\infty \exp(\pi i \tau n^2) \exp(\pi i z 2n) = \sum_{n=-\infty}^\infty w^{2n}q^{n^2}.

由此得到Θ函數的積公式:

\vartheta(z; \tau) = \prod_{m=1}^\infty 
\left( 1 - \exp(2m \pi i \tau)\right)
\left( 1 + \exp((2m-1) \pi i \tau + 2 \pi i z)\right)
\left( 1 + \exp((2m-1) \pi i \tau -2 \pi i z)\right)

三重積等式左邊可以擴展成:

\prod_{m=1}^\infty 
\left( 1 - q^{2m}\right)
\left( 1 + (w^{2}+w^{-2})q^{2m-1}+q^{4m-2}\right),

\vartheta(z|q) = \prod_{m=1}^\infty 
\left( 1 - q^{2m}\right)
\left( 1 + 2 \cos(2 \pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\right)

这个式子在z取實值時尤為重要。 各輔助Θ函數亦有類似之積公式:

\vartheta_{01}(z|q) = \prod_{m=1}^\infty 
\left( 1 - q^{2m}\right)
\left( 1 - 2 \cos(2 \pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\right).
\vartheta_{10}(z|q) = 2 q^{1/4}\cos(\pi z)\prod_{m=1}^\infty 
\left( 1 - q^{2m}\right)
\left( 1 + 2 \cos(2 \pi z)q^{2m}+q^{4m}\right).
\vartheta_{11}(z|q) = -2 q^{1/4}\sin(\pi z)\prod_{m=1}^\infty 
\left( 1 - q^{2m}\right)
\left( 1 - 2 \cos(2 \pi z)q^{2m}+q^{4m}\right).

積分表示式[编辑]

雅可比Θ函數可用積分表示,如下:

\vartheta (z; \tau) = -i 
\int_{i - \infty}^{i + \infty} {e^{i \pi \tau u^2} 
\cos (2 u z + \pi u) \over \sin (\pi u)} du
\vartheta_{01} (z; \tau) = -i 
\int_{i - \infty}^{i + \infty} {e^{i \pi \tau u^2} 
\cos (2 u z) \over \sin (\pi u)} du.
\vartheta_{10} (z; \tau) = -i e^{iz + i \pi \tau / 4} 
\int_{i - \infty}^{i + \infty} {e^{i \pi \tau u^2} 
\cos (2 u z + \pi u + \pi \tau u) \over \sin (\pi u)} du
\vartheta_{11} (z; \tau) = e^{iz + i \pi \tau / 4} 
\int_{i - \infty}^{i + \infty} {e^{i \pi \tau u^2} 
\cos (2 u z + \pi \tau u) \over \sin (\pi u)} du

與黎曼ζ函數的關係[编辑]

黎曼嘗用關係式

\vartheta(0;-\frac{1}{\tau})=(-i\tau)^{\frac{1}{2}} \vartheta(0;\tau)

以證黎曼ζ函數函數方程。他寫下等式:

\Gamma\left(\frac{s}{2}\right) \pi^{-\frac{s}{2}} \zeta(s) = 
\frac{1}{2}\int_0^\infty\left[\vartheta(0;it)-1\right]
t^{\frac{s}{2}}\frac{dt}{t}

而此積分於替換s \to 1-s 下不變。 z\,非零時之積分,在赫尔维茨ζ函數一文有描述。

與维尔斯特拉斯椭圓函數之關係[编辑]

雅可比用Θ函數來構造椭圓函數,並使其有易於計算之形式。他表示他的椭圓函數成兩枚上述Θ函數之商。魏爾施特拉斯橢圓函數亦可由雅可比Θ構造:

\wp(z;\tau) = -(\log \vartheta_{11}(z;\tau))'' + c

其中二次微分相對於z,而常數c使\wp(z)罗朗級數(於 z = 0)常項為零。

與模形式之關係[编辑]

設η為戴德金η函數。則

\vartheta(0;\tau)=\frac{\eta^2\left(\tau+\frac{1}{2}\right)}{\eta(2\tau+1)}.

解熱方程[编辑]

雅可比Θ函數為一維熱方程、於時間為零時符合週期邊界條件之唯一解。 設z = x取實值,τ = itt取正值。則有

\vartheta (x,it)=1+2\sum_{n=1}^\infty \exp(-\pi n^2 t) \cos(2\pi nx)

此解此下方程:

\frac{\partial}{\partial t} \vartheta(x,it)=\frac{1}{4\pi} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \vartheta(x,it)

t = 0時,Θ函數成為「狄拉克梳状函数」(Dirac comb)

\lim_{t\rightarrow 0} \vartheta(x,it)=\sum_{n=-\infty}^\infty \delta(x-n)

其中δ為狄拉克δ函数,故可知此解是唯一的。 因此,一般解可得自t = 0時的(週期)邊界條件與Θ函數的卷積。

與海森堡羣之關係[编辑]

雅可比Θ函在海森堡羣之一離散子羣作用下不變。見海森堡羣之Θ表示一文。

推廣[编辑]

F為一n二次型,則有一關連的Θ函數

\theta_F (z)= \sum_{m\in Z^n} \exp(2\pi izF(m))

其中Zn為整數。此Θ函數是模羣(或某適當子羣)上的權n/2 模形式。在其富理埃級數

\theta_F (z) = \sum_{k=0}^\infty R_F(k) \exp(2\pi ikz)

中,RF(k) 稱為此模形式之「表示數」(representation numbers)。

拉马努金Θ函數[编辑]

黎曼Θ函數[编辑]

\mathbb{H}_n=\{F\in M(n,\mathbb{C}) \; \mathrm{s.t.}\, F=F^T \;\textrm{and}\; \mbox{Im} F >0 \}

為一集對稱方矩陣,其虚部為正定,一般稱Hn為“西格尔上半平面”(Siegel upper half-plane),它是上半複平面的高維推廣。模羣之n維推廣為辛羣Sp(2n,Z): 當n = 1 時, Sp(2,Z) = SL(2,Z)。同余子群(congruence subgroup)的n維推廣為態射核\textrm{Ker} \{\textrm{Sp}(2n,\mathbb{Z})\rightarrow \textrm{Sp}(2n,\mathbb{Z}/k\mathbb{Z}) \}

若設\tau\in \mathbb{H}_n,則可定義黎曼Θ函數

\theta (z,\tau)=\sum_{m\in Z^n} \exp\left(2\pi i \left(\frac{1}{2} m^T \tau m +m^T z \right)\right)
\theta (z,\tau)=\sum_{m\in Z^n} \exp\left(2\pi i 
\left(\frac{1}{2} m^T \tau m +m^T z \right)\right)

其中z\in \mathbb{C}^n為一n維複向量,上標T轉置。然則雅可比Θ函數為其特例(設n = 1、 \tau \in \mathbb{H};其中\mathbb{H}為上半平面)。

\mathbb{C}^n\times \mathbb{H}_n.的緊緻子集上,黎曼Θ函數絶對一致收歛。

函數方程為:

\theta (z+a+\tau b, \tau) = \exp 2\pi i 
\left(-b^Tz-\frac{1}{2}b^T\tau b\right) \theta (z,\tau)

此方程成立於 a,b \in  \mathbb{Z}^n, z \in \mathbb{C}^n\tau \in \mathbb{H}_n

q-Θ函數[编辑]

参考文献[编辑]

  • Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4. (See section 16.27ff.)
  • Naum Illyich Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, (1970) Moscow, translated into English as AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
  • Hershel M. Farkas and Irwin Kra, Riemann Surfaces (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4 (See Chapter 6 for treatment of the Riemann theta)
  • G. H. Hardy and E. M. Wright,An Introduction to the Theory of Numbers, fourth edition (1959) , Oxford University Press
  • David Mumford,Tata Lectures on Theta I (1983), Birkhauser, Boston ISBN 3-7643-3109-7
  • James Pierpont Functions of a Complex Variable, Dover
  • Harry E. Rauch and Hershel M. Farkas, Theta Functions with Applications to Riemann Surfaces, (1974) Williams & Wilkins Co. Baltimore ISBN 0-683-07196-3.

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