σ-代数

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數學中,某個集合X上的σ代数又叫σ域,是X的所有子集的集合(也就是幂集)的一个子集。这个子集满足对于可数个集合并集运算补集运算的封闭性(因此对于交集运算也是封闭的)。σ代数可以用来严格地定义所谓的“可测集合”,是测度论的基础概念之一。

σ代数的概念大约起始于二十世纪的前三十年,它随着测度论的发展而逐渐清晰。最著名的σ代数是关于实数轴测度的波莱尔σ代数(得名于法国数学家埃米·波莱尔),以及1901年亨利·勒贝格建立的勒贝格σ代数。而现代的测度理论的公理化体系就建立在勒贝格的相关理论之上。在这个领域中,σ代数不仅仅是用于建立公理体系,也是一个强有力的工具,在定义许多重要的概念如条件期望的时候,都需要用到。

定义[编辑]

X\ 非空集合。满足以下条件的集合系\mathcal{F}称为X\ 上的一个σ代数[1][2]

X  \mathcal{F}中;
如果一个集合A \mathcal{F}中,那么它的补集 A^c 也在 \mathcal{F}中;
如果有若干个(甚至可数个)集合A_1 , A_2, \cdots , A_n \cdots都在 \mathcal{F}中,那么它们的并集也在 \mathcal{F}中。

用数学语言来表示,就是

X \in \mathcal{F};
A \in \mathcal{F} \Longrightarrow A^c \in \mathcal{F};
(\forall n\in \mathbb{N}~ ~ ~A_n \in\mathcal{F}) \Longrightarrow \bigcup\limits_{n=1}^ \infty A_n\in \mathcal{F}.

不借助逻辑符号的话,也可以使用如下更简洁的定义:[3]X\ 非空集合。则X\ 上的一个σ代数是指一个关于可数并集运算封闭的集合代数

记号\left(X,\mathcal{F}\right)称为一个可测空间。

对于确定的σ代数\mathcal{F}X的子集中属于\mathcal{F}的称为可测集合。而在概率论中,这些集合被称为随机事件

例子[编辑]

  • 有两个平凡的σ代数,它们分别是:
    1. X上含集合最少的σ代数\{ \emptyset, X \};和
    2. X上含集合最多的σ代数是X冪集2^{X}:=\{ A: A \subset X \}
  • 假设集合X=\{a,b,c,d\},那么 \mathcal{F} = \{\varnothing, \{a\}, \{b, c, d\}, X\} 是集合X上的一个σ代数。这也是所有包含 \{a\}的σ代数中最“小”的一个。

性质[编辑]

σ代数是一个代数)也是一个λ系,它对集合的可列交可列并运算都是封闭的,可测空间就是定义在一个σ代数上。

参考来源[编辑]

  1. ^ Paul Halmos. Measure Theory. Van Nostrand. 1950. ,第28页
  2. ^ Marc Briane & Gilles Pagès. Théorie de l'intégration. Vuibert. 2000. ISBN 2-7117-8946-2. ,第45-46页
  3. ^ 可以在 Vladimir Bogachev. Measure Theory. Springer. 2007. ISBN 978-3-540-34513-8. ,第4页见到