σ-代数

在數學中，某個集合X上的σ代数又叫σ域，是X的所有子集的集合（也就是幂集）的一个子集。这个子集满足对于可数个集合的并集运算和补集运算的封闭性（因此对于交集运算也是封闭的）。σ代数可以用来严格地定义所谓的“可测集合”，是测度论的基础概念之一。

σ代数的概念大约起始于二十世纪的前三十年，它随着测度论的发展而逐渐清晰。最著名的σ代数是关于实数轴测度的波莱尔σ代数（得名于法国数学家埃米·波莱尔），以及1901年亨利·勒贝格建立的勒贝格σ代数。而现代的测度理论的公理化体系就建立在勒贝格的相关理论之上。在这个领域中，σ代数不仅仅是用于建立公理体系，也是一个强有力的工具，在定义许多重要的概念如条件期望和鞅的时候，都需要用到。

定义

设$X\$为非空集合。满足以下条件的集合系$\mathcal{F}$称为$X\$上的一个σ代数：

$X$在$\mathcal{F}$中；

如果一个集合$A$在$\mathcal{F}$中，那么它的补集$A^c$也在$\mathcal{F}$中；

如果有若干个（甚至可数个）集合$A_1 , A_2, \cdots , A_n \cdots$都在$\mathcal{F}$中，那么它们的并集也在$\mathcal{F}$中。

用数学语言来表示，就是

$X \in \mathcal{F};$

$A \in \mathcal{F} \Longrightarrow A^c \in \mathcal{F};$

$(\forall n\in \mathbb{N}~ ~ ~A_n \in\mathcal{F}) \Longrightarrow \bigcup\limits_{n=1}^ \infty A_n\in \mathcal{F}.$

不借助逻辑符号的话，也可以使用如下更简洁的定义：设$X\$为非空集合。则$X\$上的一个σ代数是指一个关于可数并集运算封闭的集合代数。

记号$\left(X,\mathcal{F}\right)$称为一个可测空间。

对于确定的σ代数$\mathcal{F}$，$X$的子集中属于$\mathcal{F}$的称为可测集合。而在概率论中，这些集合被称为随机事件。

例子

• 有两个平凡的σ代数，它们分别是：

• 1. $X$上含集合最少的σ代数$\{ \emptyset, X \}$；和
  2. $X$上含集合最多的σ代数是$X$的冪集$2^{X}:=\{ A: A \subset X \}$。

• 假设集合$X=\{a,b,c,d\}$，那么$\mathcal{F} = \{\varnothing, \{a\}, \{b, c, d\}, X\}$ 是集合$X$上的一个σ代数。这也是所有包含$\{a\}$的σ代数中最“小”的一个。

性质

σ代数是一个代数（域）也是一个λ系，它对集合的交、并、补、可列交、可列并运算都是封闭的，可测空间就是定义在一个σ代数上。