ℶ 數

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阿列夫数類似,ℶ (读作Beth数)也是一系列超窮基數

阿列夫数的構造相對複雜,初學者較難掌握,而在連續統假設下,阿列夫数與 ℶ 數等價,下介紹 ℶ 數的概念:

  • 可數集(如自然數集)的基數標記爲\beth_0,下一個 ℶ 數被定義爲上一個 ℶ 數的冪集的基數,卽:
\beth_0 := \operatorname{card}\left( \mathbb{N} \right)
\beth_1 := 2^{\beth_0} = \operatorname{card}\left( P \left( \mathbb{N} \right) \right)
\beth_2 := 2^{\beth_1} = \operatorname{card}(P(P(\mathbb{N})))
\beth_3 := 2^{\beth_2} = \operatorname{card}(P(P(P(\mathbb{N}))))
等等

定理[编辑]

對任意的 α \beth_{\alpha}\geqslant\aleph_{\alpha},而連續統假設卽爲\beth_1=\aleph_1乃至\beth_{\alpha}=\aleph_{\alpha}

 α = 1 的情況,證明分兩步:一、ℵ₀  ℵ₁ 之間無其他任何基數;[1]:29二、ℶ₁  ℶ₀ 大(card(2X) > card(X))。[1]:7

常見叫法[编辑]

在中國大陸,實數集的基數常被記爲c ℵ ,卽 ℵ := ℶ₁,這樣連續統假設就常常被表述爲 ℵ = ℵ₁.閲讀相關讀物時應避免混淆。人們在學數學分析微積分)時常常以爲自己時常遇到的是阿列夫数,事實上他們遇到的是 “”或“c”,卽第一個 ℶ 數。

參考[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 陳建功. 實函數論. 北京: 科學出版社. 1958.9.