无穷

數學的數

基本

$\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}$ 自然數 $\mathbb{N}$ 整數 $\mathbb{Z}$ 二进分数 有限小数 循环小数 有理數 $\mathbb{Q}$ 高斯整数 $\mathbb{Z}[i]$ 代數數 $\mathbb{A}$ 實數 $\mathbb{R}$ 複數 $\mathbb{C}$ 負數 分数 单位分数 无限小数 规矩数 無理數 超越數 二次无理数 虛數 艾森斯坦整数 $\mathbb{Z}[\omega]$

延伸

雙複數 四元數 $\mathbb{H}$ 共四元數 八元數 $\mathbb{O}$ 超數 上超實數 超現實數 超複數 十六元數 $\mathbb{S}$ 複四元數 Tessarine 大實數 超實數 ${}^\star\mathbb{R}$

其他

对偶数 雙曲複數 序數 質數 同餘 可計算數 阿列夫数 公稱值 超限數 基數 P進數 規矩數 整數序列 數學常數 圓周率 π = 3.141592653… 自然對數的底 e = 2.718281828… 虛數單位 i = $+\sqrt{-1}$ 無窮大量 ∞

无穷或无限，數學符號為∞。来自于拉丁文的“infinitas”，即“没有边界”的意思。它在神学、哲学、数学和日常生活中有着不同的概念。通常使用这个词的时候并不涉及它的更加技术层面的定义。
在神学方面，例如在像神学家東斯歌德（Duns Scotus）的著作中，上帝的无限能量是运用在无约束上，而不是运用在无限量上。在哲学方面，无穷可以归因于空间和时间。在神学和哲学两方面，无穷又作为无限，很多文章都探討過無限、绝对、上帝和芝諾悖論等的問題。
在数学方面，无穷与下述的主题或概念相关：数学的极限、阿列夫數、集合论中的類、戴德金－无限群、罗素悖论、超实数、射影幾何、擴展的實數軸以及绝对无限。在一些主题或概念中，无穷被认为是一个超越边界而增加的概念，而不是一个数。
在大众文化方面，《玩具总动员》中巴斯光年的口頭禪：“To infinity... and beyond!”（到達無窮，超越無窮），这句话也可被看作研究大型基數的集合论者的呐喊。

历史

早期无限的观点

最早关于无限的记载出现在印度的夜柔吠陀（公元前1200－900）。书中说：“如果你从无限中移走或添加一部分，剩下的还是无限。”

印度耆那教的經書《Surya Prajnapti》(c. 400 BC) 把數分作三類：「可計的」、「不可計的」及「無限」。每一類再細分作三序分：

• 可計的:小的、中的與大的。
• 不可計的: 接近不可計的、真正不可計的與計無可計的。
• 無限：接近無限、真正無限與無穷無盡。

現代科學家解析古代羊皮卷中的阿基米德手稿，在殘卷《方法》命題14中，發現阿基米德開始計算無窮大的數目。他採取近似於19世紀微積分與集合論的手法，計算了兩組無窮大的集合，以求和的方法，證明它們之間的數目是相等的。

這是在人類記載上第一次出現無限也可以分類這一個念頭。

文藝復興時代至近代

伽利略最先發現一個集合跟它自己的正適子集可以有相同的大小。

他用上一一對應的概念說明自然數集{1, 2, 3, 4 ...}跟子集平方數集{1,4,9,16,...}一樣多。就是1→1、2→4、3→9、4→16、.....

一一對應正是用於研究無限必要的手法。

神學中的无窮

我們眼中的無限在上帝眼中都為有限，我們無法理解上帝的無限，因為我們不被允許跨越過上帝的知識範圍。

数学中的无穷

對於無限有以下解釋或定義

「無限不是指邊界外就沒有東西，而是指邊界外永遠有另一個邊界存在。」

实分析中的无穷

在实分析中，符号 $\infty$ 称为“无穷”，代表无界极限。$x \to \infty$ 表示 $x \quad$ 超出任意给定值，$x \to -\infty$ 表示 $x \quad$ 最终小于任意给定值。标记为 $\infty$ 和 $-\infty$ 的点加入到实数组成的拓扑空间，就产生实数集的「两点紧致化」。再加入代数属性，我们就得到了超实数。也可将 $\infty$ 和 $-\infty$ 作为一个点，并得到实数的「一点紧致化」，也就是实射影线。射影几何在平面几何上引入无穷远线，在高维上也有类似概念。

无穷大和无穷小

一般讲无穷指的都是无穷大，但是无穷小也是一种无穷。通过 $y=1/x$ 的映射即可把无穷大映射为无穷小。在微积分中，常用高阶无穷小的概念。

无穷远点

无穷远点是一个加在实数轴上后得到实射影直线$\mathbb{R}P^1$的点。

集合论中的无穷

在集合论中对无穷有不同的定义。德国数学家康托尔提出，对应于不同无穷集合的元素的个数（基数），有不同的「无穷」。

这里比较不同的无穷的「大小」的时候唯一的办法就是通过是否可以建立「一一对应关系」来判断，而抛弃了欧几里得「整体大于部分」的看法。例如整数集和自然数集由于可以建立一一对应的关系，它们就具有相同的无穷基数。

例如，

• 可数集合，如自然数集，整数集乃至有理数集对应的基数被定义为阿列夫0（$\aleph_0$）。
• 比可数集合「大」的称之为不可数集合，如实数集，其基数与自然数的幂集相同（$2^{\aleph_0}$）。
• 由于一个无穷集合的幂集总是具有比它本身更高的基数，所以通过构造一系列的幂集，可以证明无穷的基数的个数是无穷的。然而有趣的是，无穷基数的个数比任何基数都多，从而它是一个比任何无穷大都要大的“无穷大”，它不能对应于一个基数，否则会产生康托尔悖论的一种形式。

无穷的虚数形式标记

无穷是自然科学理论及现象描述中的重要概念及思想，当取

$s = \arctan \left( i \right)$ ， $i^2 = -1 \quad$

时，通过Euler公式可得

$-i \times \tanh(i \cdot s) = \tan(s) = i$ ，

$\exp(i \cdot s) = 0$ 。

这表明 $is \quad$ 是对负无穷大（$- \infty$）予以虚数形式的标记。

无穷影象

被普遍認為的「兩塊鏡子產生無窮影象」實際上是錯的。首先，在物理學界，光的速度是有限的（約每秒 300,000,000 米），鏡子上我們能看到的影象是因為光在鏡子上反射才會出現。可是，光的速度有限，因此兩塊鏡子產生的影象亦會有限，而且影象的數目會以一直變慢的增長率增加。

參考條目

• 0.999…
• 非标准分析
• 连续统假设
• 無限猴子定理
• 无穷公理
• 銜尾蛇