0

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数表 — 整数 << 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 >> << 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 >> << 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 >> << -i 0 i 2i 3i >>
小写	〇
大写	零
花码	〇
罗马数字	{{{roman}}}
二进制	0
八进制	0
十二进制	0
十六进制	0

0（〇）是-1与1之间的整数。0既不是正数，也不是负数。0是偶数。在数论中，0不属于自然数；在集合论和计算机科学中，0属于自然数。0在整數、實數和其他的代數結構中都有著單位元這個很重要的性質。

[编辑] 歷史

由于〇的概念在欧洲文化中是跟着从印度起源的印度-阿拉伯数字系统而传入的，因此很多人认为〇這個數字是印度人在約公元5世紀時發明，实际上很早就有文化懂得零的概念。古埃及在公元前2千年就有人在记帐时用特别符号来记载零。瑪雅文明最早發明0這個數字，比印度人還早一些，比歐洲人還早800年。

在中國很早便有0這個概念，許多文獻中均有記載。中国古代使用算筹進行计算，在算盤上，以空位表示0。自从前4世纪，中国数学家就已经了解負數和零的概念了。^[1]公元1世纪的《九章算術》说：「正負術曰：同名相除，異名相益，正無入負之，負無入正之。其異名相除，同名相益，正無入正之，負無入負之。」（這段話的大意是「减法：遇到同符号数字应相减其数值，遇到异符号数字应相加其数值，零减正数的差是負數，零减負數的差是正数。」）以上文字裡的「無入」通常被数学历史家认为是零的概念。（全文见维基文库的《九章算術》）虽然如此，但是當時并没有使用符号來表示零。直到公元1247年，秦九韶在其著作數書九章中使用符號「〇」來表示零的概念。^[2]

在690年時，武则天颁布了则天文字，其中一个字就是「〇」了。现在该字被用为数字「零」的同义字。

在1202年時，義大利商人斐波納契寫了一本《算盤書》。在東方中由於數學是以算術為主（西方當時以幾何和邏輯為主），由於運算上的需要，自然地引入了0這個數。

在1208年時，將印度的阿拉伯數字引入本書，並在開頭寫了：「印度人的9個數字，加上阿拉伯人發明的0符號便可以寫出所有數字......。」

由於一些原因，在初時引入0這個符號到西方時，曾經引起西方人的困惑，因當時西方認為所有數都是可數，而且0這個數字會使很多算式，邏輯不能成立（如除以0），甚至認為是魔鬼數字，而被禁用；直至約公元15、16世紀，0和負數才逐漸給西方人所認同，使西方數學有快速發展。

[编辑] 数学性质

0是否属于自然数仍有争议，数论领域认为0不属于自然数，集合论和计算机科学领域认为0属于自然数。
国际标准ISO 31-11:1992中，从集合论角度规定：符号 $\mathbb{N}$ 所表示的自然数包括正整数和0。中国国家标准GB 3102-11:93参照国际标准作出同样规定。
0是平方数。
0是個高斯整數。
0是偶数。
0非正非负，0的相反数和绝对值是其本身。
0乘以任何实数都等于0（0×10=0），任何实数加上0等于其本身（1+0=1）。
0没有倒数和负倒数，任何數（包括0）除以0皆無意義。
0不能做对数的底。
0的正数次方等于0，0的负数次方无意义（因為分母不可為0）。
0的0次方目前數學家沒有給予正式的定義，部分領域中，如組合數學，常用的慣例是定義為1。也有人主張定義為1。^[3]^[4]^[5]
0! 定義為1。
0和任何數的最大公因數是另一個數。
0是任何數的倍數。

[编辑] 關於0的一些證明

[编辑] 0是偶數

因為0可被2 整除，所以是偶數，也證明它不是質數。

另外說法：設兩數：2n、2n+1，其中n屬於Z 而0=2n且0≠2n+1，又2n屬於偶數。

[编辑] 除0无意义證明

設 $a = \frac{x}{0}$ （ $a\,\!$ 和 $x\,\!$ 為任何非0的實數）。

$\begin{align} a \times 0 = x \\ \because a \times 0 = 0 \\ \ne x \end{align}$

$\therefore a$ 無意義

但當 $x = 0\,\!$ 時， $a\,\!$ 可以是任何數，也是說0的倒數（當 $x = 1\,\!$ 時）也是無意義。

在無限數學中，除以0為±∞。

[编辑] 0的因數和倍數

當 $a \times b = c$ （ $a\,\!$ 、 $b\,\!$ 、 $c\,\!$ 為整數）時，定義 $a\,\!$ 和 $b\,\!$ 為 $c\,\!$ 的因數， $c\,\!$ 為 $a\,\!$ 和 $b\,\!$ 的倍數。

$\because a \times 0 = 0$ （ $a\,\!$ 為任何實數）

$\therefore a$ 為0的因數，0為 $a\,\!$ 的倍數

又因0必定是最小非負數，所以必定是最小公倍數；另 $a \ge 0$ ，所以 $a\,\!$ 是最大公因數。

[编辑] 在科学中

在計算機科學中，0經常用於表現布尔值為“假”。

[编辑] 在电子信号与信息系统中

在数字电路中，不使用精确的电压值来代表信号的值，只使用0和1两个值。0表示低于预先规定的阈值电压，被称为低电平或者逻辑0。与之对应，1表示高于预先规定的阈值电压，被称为高电平或者逻辑1。

[编辑] 在人类文化中

6世紀時，由於自君士坦丁大帝以後，羅馬帝國舉國改信基督教，僧侶就決定改以耶穌出世的年份為1年。但當時0這個數字並未被接受，因此沒有0年。
使數學快速發展。

[编辑] 参考文献

^ Wáng, Qīngxiáng, Sangi o koeta otoko (The man who exceeded counting rods), Tokyo: Tōyō Shoten. 1999, ISBN 4-88595-226-3
^ Needham, Joseph (1986). Science and Civilization in China: Volume 3, Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth. Taipei: Caves Books, Ltd. Page 43.
^ http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/9205/9205211v1.pdf
^ http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.0.to.0.power.html
^ http://www.faqs.org/faqs/sci-math-faq/specialnumbers/0to0/

[编辑] 参见

[0] Wáng, Qīngxiáng, Sangi o koeta otoko (The man who exceeded counting rods), Tokyo: Tōyō Shoten. 1999, ISBN 4-88595-226-3

[1] Needham, Joseph (1986). Science and Civilization in China: Volume 3, Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth. Taipei: Caves Books, Ltd. Page 43.

[2] ttp://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/9205/9205211v1.pdf

[3] ttp://mathforum.org/dr.math/faq/faq.0.to.0.power.html

[4] ttp://www.faqs.org/faqs/sci-math-faq/specialnumbers/0to0/

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