一元二次方程

一元二次方程是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的多项式方程。

例如， $x^2-3x+2= 0$ ， $\left (3-2i \right)x^2+\sqrt[\pi]{23-6i}x-\sin 2=0$ ， $t^2-3=0$ 等都是一元二次方程。

一元二次方程的一般形式是：

$ax^2+bx+c=0 \qquad \left(a \ne 0 \right)$

其中， $ax^2$ 是二次项， $bx$ 是一次项， $c$ 是常数项。 $a \ne 0$ 是一个重要条件，否则就不能保证该方程未知数的最高次数是二次。当然，在强调了是一元二次方程之后， $a \ne 0$ 也可以省略不写。當然,一元二次方程式有時會出現虛數。

歷史 [编辑]

古巴比伦留下的陶片显示，在大约公元前2000年（2000 BC）古巴比伦的数学家就能解一元二次方程了。在大約西元前480年，中國人已经使用配方法求得了二次方程的正根，但是并没有提出通用的求解方法。西元前300年左右，欧几里得提出了一种更抽象的几何方法求解二次方程。

7世紀印度的婆羅摩笈多（Brahmagupta）是第一位懂得用使用代數方程，它同時容許有正負數的根。

11世紀阿拉伯的花拉子密独立地发展了一套公式以求方程的正数解。亚伯拉罕·巴希亚（亦以拉丁文名字萨瓦索达著称）在他的著作Liber embadorum中，首次将完整的一元二次方程解法传入欧洲。

据说施里德哈勒是最早给出二次方程的普适解法的数学家之一。但这一点在他的时代存在着争议。这个求解规则是（引自婆什迦罗第二）：

在方程的两边同时乘以二次项未知数的系数的四倍；在方程的两边同时加上一次项未知数的系数的平方；然后在方程的两边同时开二次方。

例如：解关于x的方程 $ax^2+bx=-c$

　　在方程的两边同时乘以二次项未知数的系数的四倍，即4a，得

　　 $4a^2x^2+4abx=-4ac$

　　在方程的两边同时加上一次项未知数的系数的平方，即b^2，得

　　 $4a^2x^2+4abx+b^2=-4ac+b^2$

　　然后在方程的两边同时开二次方，得

　　 $2ax+b=\pm\sqrt[2]{-4ac+b^2}$ [1]

解法 [编辑]

阿贝尔指出，任意一元二次方程都可以根据a、b、c三个系数，通过初等代数运算来求解。求得的解也被称为方程的根。

一般來說，一元二次方程有兩個解，答案需提供兩個不同的數值，只要符合 $a \ne 0$ 的原則就可以了。

因式分解法 [编辑]

把一个一元二次方程变形成一般形式 $ax^2+bx+c=0\,\!$ 後，如果 $ax^2+bx+c=0\,\!$ 能够较简便地分解成两个一次因式的乘积，则一般用因式分解来解这个一元二次方程。

将方程左边分解成两个一次因式的乘积后（一般可用十字相乘法），分别令每一个因式等于零，可以得到两个一元一次方程。解这两个一元一次方程，得到的两个解都是原方程的解。

如果一元二次方程 $ax^2+bx+c=0\,\!$ 存在两个實根 $x_1,x_2$ ，那么它可以因式分解为 $a(x-x_1)(x-x_2)=0\,\!$ 。

例如，解一元二次方程

$x^2-3x+2=0$

时，可将原方程左边分解成 $\left (x-1 \right)\left (x-2 \right)=0$ 。所以 $x-1=0 \quad x-2=0$ ，可解得 $x_1=1 \quad x_2=2$ 。

公式解法 [编辑]

对于 $ax^2+bx+c=0 \qquad \left(a \ne 0 \right)$ ，它的根可以表示为：

$x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a}.$

有些時候也写成

$x_{1,2}=\frac{2c}{-b \pm \sqrt {b^2-4ac\ }}.$

公式解的证明 [编辑]

公式解可以由配方法得出。

首先先將一元二次方程的一般形式 $ax^2+bx+c=0\,\!$ 除以a（a在一元二次方程中不為零），我們將會得到

$x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}=0\,\!$

亦即

$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}\,\!$

現在我們可以開始配方了。為了配方，我們必須要加上一個常數（在這個例子裡，它是指一個不隨x而變的量）到等式的左邊，使等式左邊有完全平方 $x^2+2xy+y^2\,\!$ 的樣子。當

$2xy=\frac{b}{a}x\,\!$ 時

我們得到

$y=\frac{b}{2a}\,\!$

亦即當我們在式子的兩邊加上

$y^2 = \frac{b^2}{4a^2}\,\!$

我們將得到：

$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}=-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}\,\!$

式子的左邊變成了一個完全平方了。並且可以看出是 $\left(x + \frac{b}{2a}\right)$ 的平方。式子的右邊則可以通分成一個分數，因此式子變成了：

$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$

接下來，對式子的兩邊開根號：

$\left|x+\frac{b}{2a}\right| = \frac{\sqrt{b^2-4ac\ }}{|2a|}\Leftrightarrow$ $x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}$

最後，式子兩邊同時減去

$\frac{b}{2a}$

公式解終於出現了：

$x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}$

一般化 [编辑]

一元二次方程的求根公式在方程的係數为有理数、实数、复数或是任意数域中适用。

一元二次方程中的判别式

$\sqrt{b^2-4ac}$

應該理解為「如果存在的話，兩個自乘後為 $b^2 - 4ac$ 的數當中任何一個」。在某些数域中，有些數值没有平方根。

根的判别式 [编辑]

对于实系数一元二次方程 $ax^2+bx+c=0 \left(a \ne 0 \right) \,\!$ ， $\Delta=b^2-4ac \,\!$ 称作一元二次方程根的判別式。根据判别式，一元二次方程的根有三种可能的情况：

如果 $\Delta>0$ ，则这个一元二次方程有兩个不同的实数根。如果 $\Delta$ 是一个完全平方数，则这两个根都是有理数，否则这两个根都是实数。

如果 $\Delta=0$ ，则這个一元二次方程有兩個相等的实数根。而且這兩個根皆為

$x=-\frac{b}{2a}\,\!$

如果 $\Delta<0$ ，则这个一元二次方程有兩個不同的复数根。這時根為

$\begin{align} x &= \frac{-b}{2a} + i \frac{\sqrt {4ac - b^2}}{2a} \\ x &= \frac{-b}{2a} - i \frac{\sqrt {4ac - b^2}}{2a} \\ i^2 &= -1 \end{align}$

非实系数一元二次方程 [编辑]

即系数为非实数时的一元二次方程，将系数扩展到复数域内，此时要注意根的判别式不适用于非实系数一元二次方程。

根與係數 [编辑]

根據韋達定理可以找出一元二次方程的根與方程中係數的關係。

$x_1+x_2=\frac{-b+ \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a} + \frac{-b- \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a} = \frac{-2b}{2a} = - \frac{b}{a} \,\!$

$x_1 \cdot x_2 = \frac{-b+ \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a} \cdot \frac{-b- \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a} = \frac{b^2 - b^2 + 4ac}{4a^2} = \frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}\,\!$

图像解法 [编辑]

$\Delta>0$ ，则该函数与x轴相交（有两个交点）
$\Delta=0$ ，则该函数与x轴相切（有且仅有一个交点）
$\Delta<0$ ，则该函数与x轴相离（没有交点）

一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 的根的几何意义是二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的图像（為一条抛物线）与x轴交点的X坐标。

$ax^2+bx+c=0$ 的解是 $y=x^2$ 和 $y=- \begin{matrix} \frac{b}{a}x \end{matrix} - \begin{matrix} \frac{c}{a} \end{matrix} \,\!$ 交點的X座標

另外一种解法是把一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 化为

$x^2=-\frac{b}{a}x-\frac{c}{a}\,\!$ 的形式。

则方程 $ax^2+bx+c=0$ 的根，就是函数 $y=x^2\,\!$ 和 $y=-\frac{b}{a}x-\frac{c}{a}\,\!$ 交点的X坐标。

通过作图，可以得到一元二次方程根的近似值。

计算机法 [编辑]

在使用计算机解一元二次方程时，跟人手工计算类似，大部分情况下也是根据下面的公式去解