一元二次方程

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一元二次方程式是只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是二次的多项式方程

例如,x^2-3x+2= 0\left (3-2i \right)x^2+\sqrt[\pi]{23-6i}x-\sin 2=0t^2-3=0等都是一元二次方程。

一元二次方程式的一般形式是:

ax^2+bx+c=0 \qquad \left(a \ne 0 \right)

其中,ax^2是二次项,bx是一次项,c是常数项。a \ne 0是一个重要条件,否则就不能保证该方程未知数的最高次数是二次。当然,在强调了是一元二次方程之后,a \ne 0也可以省略不写。當然,一元二次方程式有時會出現虛數

歷史[编辑]

古巴比伦留下的陶片显示,在大约公元前2000年(2000 BC)古巴比伦的数学家就能解一元二次方程了。在大約公元前480年中國人已经使用配方法求得了二次方程的正根,但是并没有提出通用的求解方法。公元前300年左右,欧几里得提出了一种更抽象的几何方法求解二次方程。

7世紀印度的婆羅摩笈多(Brahmagupta)是第一位懂得用使用代數方程,它同時容許有正負數的根。

11世紀阿拉伯花拉子密 独立地发展了一套公式以求方程的正数解。亚伯拉罕·巴希亚(亦以拉丁文名字萨瓦索达著称)在他的著作Liber embadorum中,首次将完整的一元二次方程解法传入欧洲

据说施里德哈勒是最早给出二次方程的普适解法的数学家之一。但这一点在他的时代存在着争议。这个求解规则是(引自婆什迦罗第二):

在方程的两边同时乘以二次项未知数的系数的四倍;在方程的两边同时加上一次项未知数的系数的平方;然后在方程的两边同时开二次方。

例如:解关于x的方程 ax^2+bx=-c

  在方程的两边同时乘以二次项未知数的系数的四倍,即4a,得

  4a^2x^2+4abx=-4ac

  在方程的两边同时加上一次项未知数的系数的平方,即b^2,得

  4a^2x^2+4abx+b^2=-4ac+b^2

  然后在方程的两边同时开二次方,得

  2ax+b=\pm\sqrt[2]{-4ac+b^2} [1]

解法[编辑]

阿贝尔指出,任意一元二次方程都可以根据abc三个系数,通过初等代数运算来求解。求得的解也被称为方程的

一般來說,一元二次方程有兩個解,答案需提供兩個不同的數值,只要符合a \ne 0的原則就可以了。

因式分解法[编辑]

把一个一元二次方程变形成一般形式ax^2+bx+c=0\,\!後,如果ax^2+bx+c=0\,\!能够较简便地分解成两个一次因式的乘积,则一般用因式分解来解这个一元二次方程。

将方程左边分解成两个一次因式的乘积后(一般可用十字相乘法),分别令每一个因式等于零,可以得到两个一元一次方程。解这两个一元一次方程,得到的两个解都是原方程的解。

如果一元二次方程ax^2+bx+c=0\,\!存在两个實根x_1,x_2,那么它可以因式分解为a(x-x_1)(x-x_2)=0\,\!

例如,解一元二次方程

x^2-3x+2=0

时,可将原方程左边分解成\left (x-1 \right)\left (x-2 \right)=0。所以x-1=0 \quad x-2=0,可解得x_1=1 \quad x_2=2

公式解法[编辑]

对于ax^2+bx+c=0 \qquad \left(a \ne 0 \right),它的根可以表示为:


x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac\  }}{2a}.

有些時候也写成


x_{1,2}=\frac{2c}{-b \pm \sqrt {b^2-4ac\  }}.

公式解的证明[编辑]

公式解可以由配方法得出。

首先先將一元二次方程的一般形式ax^2+bx+c=0\,\!除以aa在一元二次方程中不為零),我們將會得到

x^2 + \frac{b}{a}  x + \frac{c}{a}=0\,\!

x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}\,\!

現在我們可以開始配方了。為了配方,我們必須要加上一個常數(在這個例子裡,它是指一個不隨x而變的量)到等式的左邊,使等式左邊有完全平方x^2+2xy+y^2\,\!的樣子。當

2xy=\frac{b}{a}x\,\!

我們得到

y=\frac{b}{2a}\,\!

亦即當我們在式子的兩邊加上

y^2 = \frac{b^2}{4a^2}\,\!

我們將得到:

x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}=-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}\,\!

式子的左邊變成了一個完全平方了。並且可以看出是\left(x + \frac{b}{2a}\right)的平方。式子的右邊則可以通分成一個分數,因此式子變成了:

\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}

接下來,對式子的兩邊開根號:

\left|x+\frac{b}{2a}\right| = \frac{\sqrt{b^2-4ac\  }}{|2a|}\Leftrightarrowx+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\  }}{2a}

最後,式子兩邊同時減去

\frac{b}{2a}

公式解終於出現了:

x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\  }}{2a}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac\  }}{2a}

一般化[编辑]

一元二次方程的求根公式在方程的係數为有理数实数复数或是任意数域中适用。

一元二次方程中的判别式

\sqrt{b^2-4ac}

應該理解為「如果存在的話,兩個自乘後為 b^2 - 4ac 的數當中任何一個」。在某些数域中,有些數值没有平方根

根的判别式[编辑]

对于实系数一元二次方程ax^2+bx+c=0 \left(a \ne 0 \right) \,\!\Delta=b^2-4ac \,\!称作一元二次方程根的判別式。根据判别式,一元二次方程的根有三种可能的情况:

  • 如果\Delta>0,则这个一元二次方程有兩个不同的实数根。如果係數都為有理數,且\Delta是一个完全平方数,则这两个根都是有理数,否则这两个根都是無理數
  • 如果\Delta=0,则這个一元二次方程有兩個相等的实数根。而且這兩個根皆為
x=-\frac{b}{2a}\,\!
  • 如果\Delta<0,则这个一元二次方程有兩個不同的复数根。這時根為
\begin{align}
 x &= \frac{-b}{2a} + i \frac{\sqrt {4ac - b^2}}{2a} \\
 x &= \frac{-b}{2a} - i \frac{\sqrt {4ac - b^2}}{2a} \\
 i^2 &= -1
\end{align}

非实系数一元二次方程[编辑]

即系数为非实数时的一元二次方程,将系数扩展到复数域内,此时要注意根的判别式不适用于非实系数一元二次方程

根與係數[编辑]

根據韋達定理可以找出一元二次方程的根與方程中係數的關係。

x_1+x_2=\frac{-b+ \sqrt {b^2-4ac\  }}{2a} + \frac{-b- \sqrt {b^2-4ac\  }}{2a} = \frac{-2b}{2a} = - \frac{b}{a} \,\!
x_1 \cdot x_2 = \frac{-b+ \sqrt {b^2-4ac\  }}{2a} \cdot \frac{-b- \sqrt {b^2-4ac\  }}{2a} = \frac{b^2 - b^2 + 4ac}{4a^2} = \frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}\,\!

and 1+1=2

图像解法[编辑]

\Delta>0,则该函数与x轴相交(有两个交点)
\Delta=0,则该函数与x轴相切(有且仅有一个交点)
\Delta<0,则该函数与x轴相离(没有交点)

一元二次方程ax^2+bx+c=0的根的几何意义是二次函数y=ax^2+bx+c的图像(為一条抛物线)与x轴交点的X坐标。

ax^2+bx+c=0的解是y=x^2y=- \begin{matrix} \frac{b}{a}x \end{matrix} - \begin{matrix} \frac{c}{a} \end{matrix} \,\!交點的X座標

另外一种解法是把一元二次方程ax^2+bx+c=0化为

x^2=-\frac{b}{a}x-\frac{c}{a}\,\! 的形式。

则方程ax^2+bx+c=0的根,就是函数y=x^2\,\!y=-\frac{b}{a}x-\frac{c}{a}\,\!交点的X坐标。

通过作图,可以得到一元二次方程根的近似值。

计算机法[编辑]

在使用计算机解一元二次方程时,跟人手工计算类似,大部分情况下也是根据下面的公式去解


x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac\  }}{2a}.

可以进行符号运算的程序,比如Mathematica, 可以给出准确的解析表达式。而大部分程序则只会给出数值解。(但亦有部分顯示平方根及虛數)

外部連結[编辑]