一笔画问题

一笔画问题是图论中一个著名的问题。一笔画问题起源于柯尼斯堡七桥问题。数学家欧拉在他1736年发表的论文《柯尼斯堡的七桥》中不仅解决了七桥问题，也提出了一笔画定理，顺带解决了一笔画问题。一般认为，欧拉的研究是图论的开端。

与一笔画问题相对应的一个图论问题是哈密顿问题。

问题的提出

一笔画问题是柯尼斯堡问题经抽象化后的推广，是图遍历问题的一种。在柯尼斯堡问题中，如果将桥所连接的地区视为点，将每座桥视为一条边，那么问题将变成：对于一个有着四个顶点和七条边的连通图 $G(S,E)$，能否找到一个恰好包含了所有的边，并且没有重复的路径。欧拉将这个问题推广为：对于一个给定的连通图，怎样判断是否存在着一个恰好包含了所有的边，并且没有重复的路径？这就是一笔画问题。用图论的术语来说，就是判断这个图是否是一个能够遍历完所有的边而没有重复。这样的图现称为欧拉图。这时遍历的路径称作欧拉路径（一个圈或者一条链），如果路径闭合（一个圈），则称为欧拉回路。

一笔画问题的推广是多笔画问题，即对于不能一笔画的图，探讨最少能用多少笔来画成。

一笔画定理

对于一笔画问题，有两个判断的准则，它们都由欧拉提出并证明。

定理一

有限图 $G$ 是链的充要条件是：$G$为连通图，且其中度的数目等于0或者2。

有限图 $G$ 是圈（存在欧拉回路）的充要条件是：$G$为连通图，且每个顶点的度都是偶数。。

证明：

• 必要性：如果一个图能一笔画成，那么对每一个顶点，要么路径中“进入”这个点的边数等于“离开”这个点的边数：这时点的度为偶数。要么两者相差一：这时这个点必然是起点或终点之一。注意到有起点就必然有终点，因此奇顶点的数目要么是0，要么是2。
• 充分性：
  1. 如果图中没有奇顶点，那么随便选一个点出发，连一个圈 $C_1$。如果这个圈就是原图，那么结束。如果不是，那么由于原图是连通的，$C_1$ 和原图的其它部分必然有公共顶点 $s_1$。从这一点出发，在原图的剩余部分中重复上述步骤。由于原图是有限图，经过若干步后，全图被分为一些圈。由于两个相连的圈就是一个圈，原来的图也就是一个圈了。
  2. 如果图中有两个奇顶点 $u$ 和 $v$，那么加多一条边将它们连上后得到一个无奇顶点的有限连通图。由上知这个图是一个圈，因此去掉新加的边後成为一条链，起点和终点是 $u$ 和 $v$。

定理二

如果有限连通图 $G$ 有 $2k$ 个奇顶点，那么它可以用 $k$ 笔画成，并且至少要用 $k$ 笔画成。

证明：将这 $2k$ 个奇顶点分成 $k$ 对後分别连起，则得到一个无奇顶点的有限连通图。由上知这个图是一个圈，因此去掉新加的边後至多成为 $k$ 条链，因此必然可以用 $k$ 笔画成。但是假设全图可以分为 $q$ 条链，则由定理一知，每条链中只有两个奇顶点，于是 $2q \ge 2k$。因此必定要 $k$ 笔画成。

例子

图一：无法一笔画

图二：尽管按照中文书写习惯“串”字不止一笔，但它可以一笔写成。

七桥问题

右图一是七桥问题抽象化後得到的模型，由四个顶点和七条边组成。注意到四个顶点全是奇顶点，由定理一可知无法一笔画成。

一个可以一笔画的例子

图二是中文“串”字抽象化後得到的模型。由于只有最上方和最下方的顶点是奇顶点，由定理一知它可以一笔画成。

一笔画问题与哈密顿问题

一笔画问题讨论的是能否不重复地遍历一个图的所有边，至于其中有否顶点的遍历或重复经过则没有要求。哈密顿问题讨论的则是顶点的遍历：能否不重复地遍历一个图的所有顶点？哈密顿问题由哈密顿在1856年首次提出，至今尚未完全解决。

参见

• 柯尼斯堡七桥问题
• 哈密尔顿问题
• 树 (圖論)
• 中国邮递员问题