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一致连续

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一致连续性描述定义在一定度量空间上的函数的性质。与连续性刻画函数在局部的性质不同,一致连续刻画的是函数的整体性质。一致连续是比连续更苛刻的条件。一个函数在某度量空间上一致连续,则其在此度量空间上必然连续,但反之未必成立。直观上,一致连续可以理解为,当自变量x在足够小的范围内变动时,函数值y的变动也会被限制在足够小的范围内。

\varepsilon-\delta 定义[编辑]

(X, d_1)(Y, d_2) 是两个度量空间M \subseteq X 并且 N \subseteq Y,则一个函数 f : M\to N 一致连续 当且仅当对任意的\epsilon > 0,存在 \delta >0,使得任意的 x,y \in M 只要 d_1 (x,y) < \delta,就有 d_2 (f(x),f(y)) < \epsilon

XY 都是实数集的子集,d_1d_2欧几里得度量所定义的距离 |\cdot|时,一致连续的定义可表述为:如果对任意的 \epsilon > 0 ,存在 \delta>0,使得对任意的 |x-y|< \delta,都有 |f(x)-f(y)|<\epsilon,则 f(x)X 上一致连续。

相关条目[编辑]