一致连续

一致连续性描述定义在一定度量空间上的函数的性质。与连续性刻画函数在局部的性质不同，一致连续刻画的是函数的整体性质。一致连续是比连续更苛刻的条件。一个函数在某度量空间上一致连续，则其在此度量空间上必然连续，但反之未必成立。直观上，一致连续可以理解为，当自变量x在足够小的范围内变动时，函数值y的变动也会被限制在足够小的范围内。

$\varepsilon-\delta$ 定义

设$(X, d_1)$ 和 $(Y, d_2)$ 是两个度量空间 ，$M \subseteq X$ 并且 $N \subseteq Y$，则一个函数 $f : M\to N$ 一致连续 当且仅当对任意的$\epsilon > 0$，存在 $\delta >0$，使得任意的 $x,y \in M$ 只要 $d_1 (x,y) < \delta$，就有 $d_2 (f(x),f(y)) < \epsilon$。

当 $X$ 和 $Y$ 都是实数集的子集，$d_1$ 和 $d_2$ 为欧几里得度量所定义的距离 $|\cdot|$时，一致连续的定义可表述为：如果对任意的 $\epsilon > 0$ ，存在 $\delta>0$，使得对任意的 $|x-y|< \delta$，都有 $|f(x)-f(y)|<\epsilon$，则 $f(x)$ 在 $X$ 上一致连续。

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