三叶结

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三叶结

纽结理论中,三叶结(trefoil knot)31是一种最简单的非平凡纽结。可以用反手結连接两个末端而达成。它是唯一一种有3个交叉的纽结。它也可以描述为 (2,3)-环面纽结。由於三葉結的結構極為簡單,它是研究紐結理論很重要的基本案例,在拓撲學幾何學物理學化學領域,有廣泛的用途。

三叶结得名于植物三叶草

描述[编辑]

三叶结可以由以下的参数方程确定:

x = \sin t + 2 \sin 2t
\qquad y=\cos t - 2 \cos 2t
\qquad z=-\sin 3t

三叶结也可以看作(2,3)-环面纽结。对应的参数方程为:

x = (2+\cos 3t)\cos 2t
\qquad y=(2+\cos 3t )\sin 2t
\qquad z=\sin 3t

与它们同痕的纽结还是三叶结。它们的镜像也称为三叶结。

三叶结还可以定义为\mathbb{C}^2三维球面|z|^2+|w|^2=1 和曲线z^2+w^3=0的交。

性质[编辑]

左手三叶结
右手三叶结
左手三叶结和右手三叶结

三叶结是最简单的非平凡纽结。它是一个素纽结,也是交错纽结

三叶结有两个版本,它们互成镜像,彼此不相同痕,分别称为左手三叶结右手三叶结

它的亚历山大多项式是:[1]

\Delta(t) = t - 1 + t^{-1}

康威多项式是:

\nabla(z) = z^2 + 1

琼斯多项式是:

V(q) = q^{-1} + q^{-3} - q^{-4}

HOMFLY多项式是:

P(a, z) = - a^4 + a^2 z^2 + 2 a^2

它的纽结群具有下述表示:[2]

\langle x,y \mid x^2 = y^3 \rangle

或:

\langle \sigma_1,\sigma_2 \mid \sigma_1\sigma_2\sigma_1 = \sigma_2\sigma_1\sigma_2 \rangle

其它[编辑]

三叶结在1989年至2007年被用作香港亞洲電視的台徽。

参见[编辑]

参考文献[编辑]

  1. ^ 3_1, The Knot Atlas
  2. ^ MathWorldTrefoil Knot 的资料,作者:埃里克·韦斯坦因。 Accessed: May 5, 2013.