三次方程

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y=x^3-8x^2+x+15的圖形

三次方程是未知项總次数最高为3的整式方程一元三次方程一般形式為

ax^3 + bx^2 + cx + d = 0

其中\ a, \ b,\ c\ d (a \neq 0)是屬於一個的數字,通常這個域為RC

本條目只解釋一元三次方程,而且簡稱之為三次方程。

历史[编辑]

中國唐朝数学家王孝通在武德九年(626年)前后所著的《緝古算經》中建立了25个三次多项式方程和提出三次方程实根的数值解法。[1]

波斯数学家欧玛尔·海亚姆(1048年-1123年)通过用圆锥截面与圆相交的方法構建了三次方程的解法。他说明了怎样用这种几何方法利用三角法表得到数字式的答案。

中国南宋的数学家秦九韶在他1247年编写的《数书九章》一书中提出了高次方程的数值解法秦九韶算法,提出“商常为正,实常为负,从常为正,益常为负”的原则。

在十六世纪早期,意大利数学家费罗找到了能解一种三次方程的方法,也就是形如 x^3 +mx= n \,的方程。事实上,如果我们允许m \,, n \,是负数,所有的三次方程都能变成这种形式,但在那个时候人们不知道负数。

卡尔丹诺注意到塔塔利亚的方法有时需要他给复数开平方。他甚至在《数学大典》裡包括了这些複數的计算,但他并不真正理解它。拉斐罗·邦别利(Rafael Bombelli)详细地研究了这个问题,并因此被人们认为是複数的发现者。

三次方程解法[编辑]

求根公式法[编辑]

ax^3 + bx^2 + cx + d = 0,其中a\ne0

\begin{align}x_1=&-\frac{b}{3 a}+ \sqrt[3]{\frac{bc}{6a^2}-\frac{b^3}{27a^3}-\frac{d}{2a}+\sqrt{{\color{red}\left(\frac{bc}{6a^2}-\frac{b^3}{27a^3}-\frac{d}{2a}\right)^2+ \left(\frac{c}{3a}-\frac{b^2}{9a^2}\right)^3}}}\\
&+\sqrt[3]{\frac{bc}{6a^2}-\frac{b^3}{27a^3}-\frac{d}{2a}-\sqrt{{\color{red}\left(\frac{bc}{6a^2}-\frac{b^3}{27a^3}-\frac{d}{2a}\right)^2+ \left(\frac{c}{3a}-\frac{b^2}{9a^2}\right)^3}}}\end{align}

\begin{align}x_2=&-\frac{b}{3 a}+ \frac{-1+ \sqrt{3}{\mathrm{i}}}{2} \sqrt[3]{\frac{bc}{6a^2}-\frac{b^3}{27a^3}-\frac{d}{2a} +\sqrt{{\color{red}\left(\frac{bc}{6a^2}-\frac{b^3}{27a^3}-\frac{d}{2a}\right)^2+ \left(\frac{c}{3a}-\frac{b^2}{9a^2}\right)^3}}}\\
&+\frac{-1- \sqrt{3}{\mathrm{i}}}{2} \sqrt[3]{\frac{bc}{6a^2}-\frac{b^3}{27a^3}-\frac{d}{2a} -\sqrt{{\color{red}\left(\frac{bc}{6a^2}-\frac{b^3}{27a^3}-\frac{d}{2a}\right)^2+ \left(\frac{c}{3a}-\frac{b^2}{9a^2}\right)^3}}}\end{align}

\begin{align}x_3=&-\frac{b}{3 a}+\frac{-1- \sqrt{3}{\mathrm{i}}}{2} \sqrt[3]{\frac{bc}{6a^2}-\frac{b^3}{27a^3}-\frac{d}{2a} +\sqrt{{\color{red}\left(\frac{bc}{6a^2}-\frac{b^3}{27a^3}-\frac{d}{2a}\right)^2+ \left(\frac{c}{3a}-\frac{b^2}{9a^2}\right)^3}}}\\
&+\frac{-1+ \sqrt{3}{\mathrm{i}}}{2} \sqrt[3]{\frac{bc}{6a^2}-\frac{b^3}{27a^3}-\frac{d}{2a} -\sqrt{{\color{red}\left(\frac{bc}{6a^2}-\frac{b^3}{27a^3}-\frac{d}{2a}\right)^2+ \left(\frac{c}{3a}-\frac{b^2}{9a^2}\right)^3}}}\end{align}

红色字体部分为判别式\Delta\,

\Delta>0\,时,方程有一个实根和两个共轭复根;

\Delta=0\,时,方程有三个实根:当\left(\frac{bc}{6a^2}-\frac{b^3}{27a^3}-\frac{d}{2a}\right)^2=-\left(\frac{c}{3a}-\frac{b^2}{9a^2}\right)^3=0时,方程有一个三重实根;当\left(\frac{bc}{6a^2}-\frac{b^3}{27a^3}-\frac{d}{2a}\right)^2=-\left(\frac{c}{3a}-\frac{b^2}{9a^2}\right)^3\ne 0时,方程的三个实根中有两个相等;

\Delta<0\,时,方程有三个不等的实根。

三角函数解[编辑]

ax^3 + bx^2 + cx + d = 0,其中a\ne0

若令 \Delta=\left(\frac{-b^3}{27a^3 }+\frac{-d}{2a}+\frac{bc}{6a^2}\right)^2+ \left(\frac{c}{3a}-\frac{b^2}{9a^2}\right)^3=\alpha^2+\beta^3<0 ,则

x_1=-\frac{b}{3 a}+2 \sqrt{-\beta}\cos \left[ \frac{\arccos \frac {\alpha} {(-\beta)^{3/2}}}{3} \right]

x_2=-\frac{b}{3 a}+2 \sqrt{-\beta}\cos \left[ \frac{\arccos \frac {\alpha} {(-\beta)^{3/2}} +2\pi}{3} \right]

x_3=-\frac{b}{3 a}+2 \sqrt{-\beta}\cos \left[ \frac{\arccos \frac {\alpha} {(-\beta)^{3/2}} -2\pi}{3} \right]

卡尔丹诺法[编辑]

K \,為域,可以進行開平方或立方運算。要解方程只需找到一個根r \,,然後把方程ax^3 + bx^2 + cx +d \,除以x - r \,,就得到一個二次方程,而我們已會解二次方程。

在一個代數封閉域,所有三次方程都有三個根。複數域就是這樣一個域,這是代數基本定理的結果。

解方程步驟:

  • 把原來方程除以首項係數a \left(a \neq 0 \right) \,,得到:
x^3 + b'x^2 + c'x + d' = 0 \,,其中b' = \frac {b} {a} \,c' = \frac {c} {a} \,d' = \frac {d} {a} \,
  • 代換未知項x = z - \frac {b'} {3} \,,以消去二次項。當展開\left ( z - \frac {b'} {3} \right )^3 \,,會得到-b'z^2 \,這項,正好抵消掉出現於b' \left ( z - \frac {b'} {3} \right )^2 \,的項b'z^2 \,。故得:
z^3 + pz + q = 0 \,,其中p \,q \,是域中的數字。
p = c' - \frac {b'^2} {3} q = \frac {2b'^3} {27} - \frac {b'c'} {3} + d'
  • z = u + \upsilon \,。前一方程化為(u + \upsilon)^3 + p(u + \upsilon) + q = 0 \,
展開:u^3 + 3u^2\upsilon + 3u\upsilon^2 + \upsilon^3 + pu + p\upsilon + q = 0 \,
重組:(u^3 + \upsilon^3 + q) + (3u\upsilon^2 + 3u^2\upsilon + pu + p\upsilon) = 0 \,
分解:(u^3 + \upsilon^3 + q) + (u + \upsilon)(3u\upsilon + p) = 0 \,
因為多了一個未知項(u\,\upsilon\,代替了z\,),所以可加入一個條件,就是:
3uv + p = 0 \,,由此導出u^3 + \upsilon^3 + q = 0 \,
  • U = u^3 \,V = \upsilon^3 \,。我們有U + V = - q \,UV = -\frac {p^3} {27} \,因為UV = (u\upsilon)^3 = (-\frac {p} {3})^3 \,。所以U\,V\,是輔助方程\Chi^2 + q\Chi - \frac {p^3} {27}=0\,的根,可代一般二次方程公式得解。

接下來,u\,v\,U\,V\,的立方根,適合uv = -\frac {p} {3} \,z = u + v \,,最後得出x = z - \frac {b'} {3} \,

在域\mathbb{C}裡,若u_0\,v_0\,是立方根,其它的立方根就是\omega u_0\,\omega^2u_0\,,當然還有\omega v_0\,\omega^2v_0\,,其中\omega = e^{\frac {2i \pi} {3}}\,是單位的立方根。

因為乘積uv = -\frac {p} {3} \,固定,所以可能的(u, v)\,(u_0, v_0)\,(\omega u_0, \omega^2v_0)\,(\omega^2u_0, \omega v_0)\,。因此三次方程的其它根是\omega u_0 + \omega^2v_0 - \frac {b'} {3} \,\omega^2u_0 + \omega v_0 - \frac {b'} {3} \,

判别式[编辑]

最先嘗試解的三次方程是實係數(而且是整數)。因為實數域並非代數封閉,方程的根的數目不一定是3個。所遺漏的根都在\mathbb{C}裡,就是\mathbb{R}的代數閉包。其中差異出現於U\,V\,的計算中取平方根時。取立方根時則沒有類似問題。

可以證明實數根數目依賴於輔助方程的判別式\Delta = \frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}

  • \Delta > 0 \,,方程有一个实根和两个共轭复根;
  • \Delta = 0 \,,方程有三个实根:当\frac{q^2}{4}=-\frac{p^3}{27}=0时,方程有一个三重实根;当\frac{q^2}{4}=-\frac{p^3}{27}\ne 0时,方程的三个实根中有两个相等;
  • \Delta < 0 \,,方程有三个不等的实根:x_1 = 2\sqrt{Q}\cos \frac{\theta}{3}-\frac{b}{3a} \,, x_{2,3} = 2\sqrt{Q}\cos\frac{\theta \pm 2\pi}{3}-\frac{b}{3a} \,,其中\theta = \arccos \frac{R}{Q\sqrt{Q}} \,, Q=-\frac{p}{3} \,, R=\frac{q}{2}(注意,由於此公式應對於x^3 + px = q \,的形式,因此這裡的q \,實際上是前段的-q \,,應用時務必注意取負號即R=-\frac{q}{2})。

注意到实系数三次方程至少有一實根存在,這是因為非常數多項式+\infty\,-\infty\,極限無窮大,對奇次多項式這兩個極限異號,又因为多項式是連續函數,所以從介值定理可知它在某點的值為0。

第一個例子[编辑]

2t^3 + 6t^2 + 12t + 10 = 0 \,

我們依照上述步驟進行:

  • t^3 + 3t^2 + 6t + 5 = 0 \,(全式除以2 \,
  • t = x - 1 \, ,代換:(x - 1)^3 + 3(x - 1)^2 + 6(x - 1) + 5 = 0 \,,再展開x^3 + 3x + 1 = 0 \,
  • x = u + v \, U = u^3 \, V = v^3 \, 。設U + V = - 1 \, UV = - 1 \, U \, V \, X^2 + X - 1 = 0 \, 的根。
U = \frac {-1 - \sqrt {5}} {2} \,V = \frac {-1 + \sqrt {5}} {2} \,
u = \sqrt[3]{\frac {-1 - \sqrt {5}} {2}} \,v = \sqrt[3]{\frac {-1 + \sqrt {5}} {2}} \,
t = x - 1 = u + v - 1
= \sqrt[3]{\frac {-1 - \sqrt {5}} {2}} + \sqrt[3]{\frac {-1 + \sqrt {5}} {2}} - 1 \approx -1.3221853546

该方程的另外两个根:

 t_2 \approx -0.838907 + 1.75438 i
 t_3 \approx -0.838907 - 1.75438i

第二个例子[编辑]

这是一个历史上的例子,因为它是邦别利考虑的方程。

方程是x^3 - 15x - 4 = 0\,

从函数x \mapsto x^3 - 15x - 4\,算出判别式的值\Delta = -13068< 0 \,,知道这方程有三实根,所以比上例更容易找到一个根。

前两步都不需要做,做第三步:x = u + v \,U = u^3 \,V = v^3 \,

U + V = 4 \,UV = 125 \,

U\,V\,X^2 - 4X + 125 = 0 \,的根。这方程的判别式已算出是负数,所以没有实根。很吊诡地,这方法必须用到复数求出全是实数的根。这是发明复数的一个理由:复数是解方程必需工具,即使方程或许只有实根。

我们解出U = 2 - 11{\mathrm{i}} \, V = 2 + 11{\mathrm{i}} \,。取复数立方根不同于实数,有两种方法:几何方法,用到辐角和模(把辐角除以3取模的立方根);代数方法,分开复数的实部和虚部: 现设u = a + b{\mathrm{i}}\,

u^3 = 2 - 11{\mathrm{i}}\,等价于:
a^3 - 3ab^2 = 2\,(实部)
3a^2b - b^3 = - 11\,(虚部)
a^2 + b^2 = 5\,(模)

得到a = 2\,b = -1\,,也就是u = 2 - {\mathrm{i}} \,,而v \,是其共轭:v = 2 + {\mathrm{i}}\,

归结得x = u + v = (2 - {\mathrm{i}}) + (2 + {\mathrm{i}}) = 4 \,,可以立时验证出来。

其它根是x' = j(2 - {\mathrm{i}}) + j^2 (2 + {\mathrm{i}}) = - 2 + \sqrt 3 x'' = j^2 (2 - {\mathrm{i}}) + j(2 + {\mathrm{i}}) = - 2 - \sqrt 3,其中j=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}

\Delta \,是负,U\,V\,共轭,故此u\,v\,也是(要适当选取立方根,记得uv = -\frac {p} {3} \,);所以我们可确保x \,是实数,还有x' \,x'' \,

极值[编辑]

驻点的公式[编辑]

\ y=ax^3+bx^2+cx+d

将其微分,可得\frac{dy}{dx} = 3ax^2+2bx+c

极值[编辑]

\frac{dy}{dx}=0,可得\ x\ y中的极值极大值极小值\ x_e满足:

3ax_e^2+2bx_e+c=0

x_e=\frac{-2b \pm \sqrt{4b^2-12ac}}{6a}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-3ac}}{3a}

x_e=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-3ac}}{3a}代入\ y,可得\ y的极值\ y_e

y_e=a(\frac{-b \pm \sqrt{b^2-3ac}}{3a})^3+b(\frac{-b \pm \sqrt{b^2-3ac}}{3a})^2+c(\frac{-b \pm \sqrt{b^2-3ac}}{3a})+d

y_e=d+\frac{2 b^3-9 a b c\pm\left(2 b^2-6a c\right) \sqrt{b^2-3 a c}}{27 a^2}

拐点[编辑]

\frac{d^2y}{dx^2}=6ax+2b

\frac{d^2y}{dx^2}=0,可得\ y

x=-\frac{b}{3a}

驻点的类型[编辑]

由函数取极值的充分条件可知:
f^{\prime \prime}(x_e)<0\ x_e\ f(x)极大值点
f^{\prime \prime}(x_e)>0\ x_e\ f(x)极小值点
f^{\prime \prime}(x_e)=0\ x_e\ f(x)拐点

\frac{d^2y}{dx^2}=6ax+2b=2(3ax+b)可知:
\ 3ax_e+b<0\ y的驻点为极大值点;
\ 3ax_e+b>0\ y的驻点为极小值点;
\ 3ax_e+b=0\ y的驻点为拐点。

參見[编辑]

參考資料[编辑]

  1. ^ 三上义夫 《中国算学之特色》 34页 商务印书馆。

外部链接[编辑]