三次方程

$y=x^3-8x^2+x+15$的圖形

三次方程是未知项總次数最高为3的整式方程，一元三次方程一般形式為

$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$，

其中$\ a$, $\ b$,$\ c$和$\ d$ ($a \neq 0$)是屬於一個域的數字，通常這個域為R或C。

本條目只解釋一元三次方程，而且簡稱之為三次方程。

历史

中國唐朝数学家王孝通在武德九年（626年)前后所著的《緝古算經》中建立了25个三次多项式方程和提出三次方程实根的数值解法。

波斯数学家欧玛尔·海亚姆（1048年－1123年）通过用圆锥截面与圆相交的方法構建了三次方程的解法。他说明了怎样用这种几何方法利用三角法表得到数字式的答案。

中国南宋的数学家秦九韶在他1247年编写的《数书九章》一书中提出了高次方程的数值解法秦九韶算法，提出“商常为正，实常为负，从常为正，益常为负”的原则。

在十六世纪早期，意大利数学家费罗找到了能解一种三次方程的方法，也就是形如$x^3 +mx= n \,$的方程。事实上，如果我们允许$m \,$, $n \,$是复数，所有的三次方程都能变成这种形式，但在那个时候人们不知道复数。

卡尔丹诺注意到塔塔利亚的方法有时需要他给负数开平方。他甚至在《数学大典》裡包括了这些複數的计算，但他并不真正理解它。拉斐罗·邦别利（Rafael Bombelli）详细地研究了这个问题，并因此被人们认为是複数的发现者。

三次方程解法

求根公式法

$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$，其中$a\ne0$。

$\begin{align}x_1=&-\frac{b}{3 a}+ \sqrt[3]{\frac{bc}{6a^2}-\frac{b^3}{27a^3}-\frac{d}{2a}+\sqrt{{\color{red}\left(\frac{bc}{6a^2}-\frac{b^3}{27a^3}-\frac{d}{2a}\right)^2+ \left(\frac{c}{3a}-\frac{b^2}{9a^2}\right)^3}}}\\ &+\sqrt[3]{\frac{bc}{6a^2}-\frac{b^3}{27a^3}-\frac{d}{2a}-\sqrt{{\color{red}\left(\frac{bc}{6a^2}-\frac{b^3}{27a^3}-\frac{d}{2a}\right)^2+ \left(\frac{c}{3a}-\frac{b^2}{9a^2}\right)^3}}}\end{align}$

$\begin{align}x_2=&-\frac{b}{3 a}+ \frac{-1+ \sqrt{3}{\mathrm{i}}}{2} \sqrt[3]{\frac{bc}{6a^2}-\frac{b^3}{27a^3}-\frac{d}{2a} +\sqrt{{\color{red}\left(\frac{bc}{6a^2}-\frac{b^3}{27a^3}-\frac{d}{2a}\right)^2+ \left(\frac{c}{3a}-\frac{b^2}{9a^2}\right)^3}}}\\ &+\frac{-1- \sqrt{3}{\mathrm{i}}}{2} \sqrt[3]{\frac{bc}{6a^2}-\frac{b^3}{27a^3}-\frac{d}{2a} -\sqrt{{\color{red}\left(\frac{bc}{6a^2}-\frac{b^3}{27a^3}-\frac{d}{2a}\right)^2+ \left(\frac{c}{3a}-\frac{b^2}{9a^2}\right)^3}}}\end{align}$

$\begin{align}x_3=&-\frac{b}{3 a}+\frac{-1- \sqrt{3}{\mathrm{i}}}{2} \sqrt[3]{\frac{bc}{6a^2}-\frac{b^3}{27a^3}-\frac{d}{2a} +\sqrt{{\color{red}\left(\frac{bc}{6a^2}-\frac{b^3}{27a^3}-\frac{d}{2a}\right)^2+ \left(\frac{c}{3a}-\frac{b^2}{9a^2}\right)^3}}}\\ &+\frac{-1+ \sqrt{3}{\mathrm{i}}}{2} \sqrt[3]{\frac{bc}{6a^2}-\frac{b^3}{27a^3}-\frac{d}{2a} -\sqrt{{\color{red}\left(\frac{bc}{6a^2}-\frac{b^3}{27a^3}-\frac{d}{2a}\right)^2+ \left(\frac{c}{3a}-\frac{b^2}{9a^2}\right)^3}}}\end{align}$

红色字体部分为判别式$\Delta\,$：

当$\Delta>0\,$时，方程有一个实根和两个共轭复根；

当$\Delta=0\,$时，方程有三个实根：当$\left(\frac{bc}{6a^2}-\frac{b^3}{27a^3}-\frac{d}{2a}\right)^2=-\left(\frac{c}{3a}-\frac{b^2}{9a^2}\right)^3=0$时，方程有一个三重实根；当$\left(\frac{bc}{6a^2}-\frac{b^3}{27a^3}-\frac{d}{2a}\right)^2=-\left(\frac{c}{3a}-\frac{b^2}{9a^2}\right)^3\ne 0$时，方程的三个实根中有两个相等；

当$\Delta<0\,$时，方程有三个不等的实根。

三角函数解

$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$，其中$a\ne0$。

若令$\Delta=\left(\frac{-b^3}{27a^3 }+\frac{-d}{2a}+\frac{bc}{6a^2}\right)^2+ \left(\frac{c}{3a}-\frac{b^2}{9a^2}\right)^3=\alpha^2+\beta^3<0$，则

$x_1=-\frac{b}{3 a}+2 \sqrt{-\beta}\cos \left[ \frac{\arccos \frac {\alpha} {(-\beta)^{3/2}}}{3} \right]$

$x_2=-\frac{b}{3 a}+2 \sqrt{-\beta}\cos \left[ \frac{\arccos \frac {\alpha} {(-\beta)^{3/2}} +2\pi}{3} \right]$

$x_3=-\frac{b}{3 a}+2 \sqrt{-\beta}\cos \left[ \frac{\arccos \frac {\alpha} {(-\beta)^{3/2}} -2\pi}{3} \right]$

卡尔丹诺法

令$K \,$為域，可以進行開平方或立方運算。要解方程只需找到一個根$r \,$，然後把方程$ax^3 + bx^2 + cx +d \,$除以$x - r \,$，就得到一個二次方程，而我們已會解二次方程。

在一個代數封閉域，所有三次方程都有三個根。複數域就是這樣一個域，這是代數基本定理的結果。

解方程步驟：

• 把原來方程除以首項係數$a \left(a \neq 0 \right) \,$，得到：

$x^3 + b'x^2 + c'x + d' = 0 \,$，其中$b' = \frac {b} {a} \,$，$c' = \frac {c} {a} \,$，$d' = \frac {d} {a} \,$。

• 代換未知項$x = z - \frac {b'} {3} \,$，以消去二次項。當展開$\left ( z - \frac {b'} {3} \right )^3 \,$，會得到$-b'z^2 \,$這項，正好抵消掉出現於$b' \left ( z - \frac {b'} {3} \right )^2 \,$的項$b'z^2 \,$。故得：

$z^3 + pz + q = 0 \,$，其中$p \,$和$q \,$是域中的數字。

$p = c' - \frac {b'^2} {3}$；$q = \frac {2b'^3} {27} - \frac {b'c'} {3} + d'$。

• 記$z = u + \upsilon \,$。前一方程化為$(u + \upsilon)^3 + p(u + \upsilon) + q = 0 \,$。

展開：$u^3 + 3u^2\upsilon + 3u\upsilon^2 + \upsilon^3 + pu + p\upsilon + q = 0 \,$。

重組：$(u^3 + \upsilon^3 + q) + (3u\upsilon^2 + 3u^2\upsilon + pu + p\upsilon) = 0 \,$。

分解：$(u^3 + \upsilon^3 + q) + (u + \upsilon)(3u\upsilon + p) = 0 \,$。

因為多了一個未知項（$u\,$和$\upsilon\,$代替了$z\,$），所以可加入一個條件，就是：

$3uv + p = 0 \,$，由此導出$u^3 + \upsilon^3 + q = 0 \,$。

• 設$U = u^3 \,$和$V = \upsilon^3 \,$。我們有$U + V = - q \,$和$UV = -\frac {p^3} {27} \,$因為$UV = (u\upsilon)^3 = (-\frac {p} {3})^3 \,$。所以$U\,$和$V\,$是輔助方程$\Chi^2 + q\Chi - \frac {p^3} {27}=0\,$的根，可代一般二次方程公式得解。

接下來，$u\,$和$v\,$是$U\,$和$V\,$的立方根，適合$uv = -\frac {p} {3} \,$，$z = u + v \,$，最後得出$x = z - \frac {b'} {3} \,$。

在域$\mathbb{C}$裡，若$u_0\,$和$v_0\,$是立方根，其它的立方根就是$\omega u_0\,$和$\omega^2u_0\,$，當然還有$\omega v_0\,$和$\omega^2v_0\,$，其中$\omega = e^{\frac {2i \pi} {3}}\,$是單位的立方根。

因為乘積$uv = -\frac {p} {3} \,$固定，所以可能的$(u, v)\,$是$(u_0, v_0)\,$，$(\omega u_0, \omega^2v_0)\,$和$(\omega^2u_0, \omega v_0)\,$。因此三次方程的其它根是$\omega u_0 + \omega^2v_0 - \frac {b'} {3} \,$和$\omega^2u_0 + \omega v_0 - \frac {b'} {3} \,$。

判别式

最先嘗試解的三次方程是實係數（而且是整數）。因為實數域並非代數封閉，方程的根的數目不一定是3個。所遺漏的根都在$\mathbb{C}$裡，就是$\mathbb{R}$的代數閉包。其中差異出現於$U\,$和$V\,$的計算中取平方根時。取立方根時則沒有類似問題。

可以證明實數根數目依賴於輔助方程的判別式$\Delta = \frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}$，

• 若$\Delta > 0 \,$，方程有一个实根和两个共轭复根；
• 若$\Delta = 0 \,$，方程有三个实根：当$\frac{q^2}{4}=-\frac{p^3}{27}=0$时，方程有一个三重实根；当$\frac{q^2}{4}=-\frac{p^3}{27}\ne 0$时，方程的三个实根中有两个相等；
• 若$\Delta < 0 \,$，方程有三个不等的实根：$x_1 = 2\sqrt{Q}\cos \frac{\theta}{3}-\frac{b}{3a} \,,$ $x_{2,3} = 2\sqrt{Q}\cos\frac{\theta \pm 2\pi}{3}-\frac{b}{3a} \,,$其中$\theta = \arccos \frac{R}{Q\sqrt{Q}} \,,$ $Q=-\frac{p}{3} \,,$ $R=\frac{q}{2}$。

注意到实系数三次方程至少有一實根存在，這是因為非常數多項式在$+\infty\,$和$-\infty\,$的極限是無窮大，對奇次多項式這兩個極限異號，又因为多項式是連續函數，所以從介值定理可知它在某點的值為0。

第一個例子

解$2t^3 + 6t^2 + 12t + 10 = 0 \,$。

我們依照上述步驟進行：

• $t^3 + 3t^2 + 6t + 5 = 0 \,$（全式除以$2 \,$）
• 設$t = x - 1 \,$，代換：$(x - 1)^3 + 3(x - 1)^2 + 6(x - 1) + 5 = 0 \,$，再展開$x^3 + 3x + 1 = 0 \,$。
• $x = u + v \,$，$U = u^3 \,$，$V = v^3 \,$。設$U + V = - 1 \,$和$UV = - 1 \,$。$U \,$和$V \,$是$X^2 + X - 1 = 0 \,$的根。

$U = \frac {-1 - \sqrt {5}} {2} \,$和$V = \frac {-1 + \sqrt {5}} {2} \,$，

$u = \sqrt[3]{\frac {-1 - \sqrt {5}} {2}} \,$和$v = \sqrt[3]{\frac {-1 + \sqrt {5}} {2}} \,$。

$t = x - 1 = u + v - 1$，

$= \sqrt[3]{\frac {-1 - \sqrt {5}} {2}} + \sqrt[3]{\frac {-1 + \sqrt {5}} {2}} - 1 \approx -1.3221853546$

该方程的另外两个根：

$t_2 \approx -0.838907 + 1.75438 i$，

$t_3 \approx -0.838907 - 1.75438i$，

第二个例子

这是一个历史上的例子，因为它是邦别利考虑的方程。

方程是$x^3 - 15x - 4 = 0\,$。

从函数$x \mapsto x^3 - 15x - 4\,$算出判别式的值$\Delta = -13068< 0 \,$，知道这方程有三实根，所以比上例更容易找到一个根。

前两步都不需要做，做第三步：$x = u + v \,$，$U = u^3 \,$，$V = v^3 \,$。

$U + V = 4 \,$和$UV = 125 \,$。

$U\,$和$V\,$是$X^2 - 4X + 125 = 0 \,$的根。这方程的判别式已算出是负数，所以没有实根。很吊诡地，这方法必须用到复数求出全是实数的根。这是发明复数的一个理由：复数是解方程必需工具，即使方程或许只有实根。

我们解出$U = 2 - 11{\mathrm{i}} \,$和$V = 2 + 11{\mathrm{i}} \,$。取复数立方根不同于实数，有两种方法：几何方法，用到辐角和模（把辐角除以3取模的立方根）；代数方法，分开复数的实部和虚部： 现设$u = a + b{\mathrm{i}}\,$。

$u^3 = 2 - 11{\mathrm{i}}\,$等价于：

$a^3 - 3ab^2 = 2\,$（实部）

$3a^2b - b^3 = - 11\,$（虚部）

$a^2 + b^2 = 5\,$（模）

得到$a = 2\,$和$b = -1\,$，也就是$u = 2 - {\mathrm{i}} \,$，而$v \,$是其共轭：$v = 2 + {\mathrm{i}}\,$。

归结得$x = u + v = (2 - {\mathrm{i}}) + (2 + {\mathrm{i}}) = 4 \,$，可以立时验证出来。

其它根是$x' = j(2 - {\mathrm{i}}) + j^2 (2 + {\mathrm{i}}) = - 2 + \sqrt 3$和$x'' = j^2 (2 - {\mathrm{i}}) + j(2 + {\mathrm{i}}) = - 2 - \sqrt 3$，其中$j=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$。

当$\Delta \,$是负，$U\,$和$V\,$共轭，故此$u\,$和$v\,$也是（要适当选取立方根，记得$uv = -\frac {p} {3} \,$）；所以我们可确保$x \,$是实数，还有$x' \,$和$x'' \,$。

极值

驻点的公式

设$\ y=ax^3+bx^2+cx+d$

将其微分，可得$\frac{dy}{dx} = 3ax^2+2bx+c$

极值

设$\frac{dy}{dx}=0$，可得$\ x$在$\ y$中的极值（极大值或极小值）$\ x_e$满足：

$3ax_e^2+2bx_e+c=0$

$x_e=\frac{-2b \pm \sqrt{4b^2-12ac}}{6a}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-3ac}}{3a}$

将$x_e=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-3ac}}{3a}$代入$\ y$，可得$\ y$的极值$\ y_e$：

$y_e=a(\frac{-b \pm \sqrt{b^2-3ac}}{3a})^3+b(\frac{-b \pm \sqrt{b^2-3ac}}{3a})^2+c(\frac{-b \pm \sqrt{b^2-3ac}}{3a})+d$

$y_e=d+\frac{2 b^3-9 a b c\pm\left(2 b^2-6a c\right) \sqrt{b^2-3 a c}}{27 a^2}$

拐点

$\frac{d^2y}{dx^2}=6ax+2b$

设$\frac{d^2y}{dx^2}=0$，可得$\ y$的拐点。

$x=-\frac{b}{3a}$

驻点的类型

由函数取极值的充分条件可知：
$f^{\prime \prime}(x_e)<0$，$\ x_e$是$\ f(x)$的极大值点；
$f^{\prime \prime}(x_e)>0$，$\ x_e$是$\ f(x)$的极小值点；
$f^{\prime \prime}(x_e)=0$，$\ x_e$是$\ f(x)$的拐点。

$\frac{d^2y}{dx^2}=6ax+2b=2(3ax+b)$可知：
$\ 3ax_e+b<0$，$\ y$的驻点为极大值点；
$\ 3ax_e+b>0$，$\ y$的驻点为极小值点；
$\ 3ax_e+b=0$，$\ y$的驻点为拐点。

外部链接

• 代數學的故事：三次方程的一般解，李白飛
• 三次方程的判別式，應用，Carto Wong
• 以複變函數求解一元三次方程式的根

参见

• 一次方程 - 二次方程 - 三次方程 - 四次方程 - 五次方程 - 高次方程