三线坐标

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平面几何中,一点关于给定三角形三线坐标描述了它到三角形三条边的相对距离。三线坐标是齐次坐标的一个例子,经常简称为三线

例子[编辑]

内心有三线 1:1:1,这就是说,从三角形 ABC 的内心到边 BCCAAB 的有向距离和实际距离有序三元组 (r, r, r) 成比例,这里 r 是三角形 ABC 内切圆的半径。注意到记号 x:y:z 用比例冒号区分三线和实际有向距离。实际距离有序三元组 (kx, ky, kz),能从比例 x : y : z 得到,利用面积关系不难算得

k = \frac{2\sigma}{ax + by + cz},

这里 a, b, c 分别是边长 BCCAAB, σ = ABC 的面积。(“逗号记法”应该避免使用。因为记号 (x, y, z) 意味着是一个有序三元组,不允许 (x, y, z) = (2x, 2y, 2z) 之类运算;然而“比号记法”允许 x : y : z = 2x : 2y : 2z。)

ABC 不仅表示三角形的顶点,也是在相应顶点的角。一些熟知点的三线如下:

Trilinear coordinates.svg
  • A = 1 : 0 : 0
  • B = 0 : 1 : 0
  • C = 0 : 0 : 1
  • 内心 = 1 : 1 : 1
  • A-旁心 = −1 : 1 : 1
  • B-旁心 = 1 : −1 : 1
  • C-旁心 = 1 : 1 : −1
  • 外心 = cos A : cos B : cos C
  • 垂心 = sec A : sec B : sec C
  • 九点圆圆心 = cos(BC) : cos(CA) : cos(AB)
  • 重心 = bc : ca : ab = 1/a : 1/b : 1/c = csc A : csc B : csc C
  • 类似重心 = a : b : c = sin A : sin B : sin C

注意到,内心一般不是重心,重心有重心坐标 1:1:1(它们和实际有向面积 BGCCGAAGB 成比例,这里 G = 重心)。

公式[编辑]

利用三线坐标可将许多代数方法运用于三角形几何。比如,三点

P = p : q : r
U = u : v : w
X = x : y : z

共线的,当且仅当行列式

 D = \begin{bmatrix}p&q&r\\
u&v&w\\x&y&z\end{bmatrix}

等于 0。这性质的对偶是三条直线

pα + qβ + rγ = 0
uα + vβ + wγ = 0
xα + yβ + zγ = 0

交于一点(若无穷远点,即平行)当且仅当 D = 0

另外可算得三角形 PUX 的面积= KD,这里 K = abc/8σ2,如果 PUXABC 定向相同,定向相反则 K = - abc/8σ2

许多三次曲线用三线容易表示。比如,中枢自等共轭三次曲线 Z(U,P),作为点 X 的轨迹使得 XP-等共轭点位于直线 UX 上,由行列式方程

 \begin{bmatrix}x&y&z\\
qryz&rpzx&pqxy\\u&v&w\end{bmatrix} = 0

确定。一些有名的三次曲线 Z(U,P)

Thomson 三次曲线: Z(X(2),X(1)), 这里 X(2) = 重心X(1) = 内心
Feuerbach 三次曲线:Z(X(5),X(1)),这里 X(5) = 费尔巴哈点
Darboux 三次曲线: Z(X(20),X(1)),这里 X(20) = De Longchamps 点De Longchamps point
Neuberg 三次曲线: Z(X(30),X(1)),这里 X(30) = 欧拉无穷远点

坐标变换[编辑]

一点具有三线 α : β : γ,则重心坐标为  :  : ,这里 a, b, c 是三角形三条边长。相反地,重心坐标为 α : β : γ 的点有三线 α/a : β/b : γ/c

三线坐标和 2 维笛卡尔坐标之间存在转换公式。给定一个参考三角形 ABC,将顶点 B 的位置表示成一个笛卡尔坐标的有序组,将其代数地写成一个以顶点 C 为起点的向量 a。类似地定义顶点 Ab。然后任何点 P 关于参考三角形 ABC 能定义一个 2 维笛卡尔坐标系,写成向量 p = αa + βb。如果点 P 有三线坐标 x:y:z,那么变换公式是:

x:y:z =  \frac{\beta}{a} : \frac{\alpha}{b} : \frac{1 - \alpha - \beta}{c} ,

反过来,

\alpha = \frac{by}{ax + by + cz},\, \beta = \frac{ax}{ax + by + cz}.

外部链接[编辑]