三角平方數

三角平方數是既是三角形數，又是平方數的數。三角平方數有無限個，可以由以下公式求得：

$N_k = {1 \over 32} \left( \left( 1 + \sqrt{2} \right)^{2k} - \left( 1 - \sqrt{2} \right)^{2k} \right)^2 .$

找尋三角平方數的問題可用以下方法簡化成配爾方程。每個平方數的形式為m^2，三角形數的則為n(n-1)/2。於是求n, m使得：

$n(n-1)/2=m^2$

$n(n-1)=2m^2$

$n^2-n+\frac{1}{4}=2m^2+\frac{1}{4}$

$4n^2-4n+1=8m^2+1$

$(2n-1)^2=8m^2+1$

設$k=2n-1$，$p=2m$，代入之，得方程$k^2=2p^2+1$。

第$k$個三角平方數$N$等於第$s$個平方數及第$t$個三角形數，它們的關係為

$s(N) = \sqrt{N}$

$t(N) = \lfloor \sqrt{2 N} \rfloor$

$t$可以由下面的方式得出：

$t(N_k) = {1 \over 4} \left[ \left( \left( 1 + \sqrt{2} \right)^k + \left( 1 - \sqrt{2} \right)^k \right)^2 - \left( 1 + (-1)^k \right)^2 \right]$.

$N$亦可用遞歸的方式求得：

$N_0=0$

$N_1=1$

$N_k=34N_{k-1} - N_{k-2} + 2$

當$k$越大，$t/s$就會趨近$\sqrt2$：

$\begin{matrix} N=1 & s=1 & t=1 & t/s=1 \\ N=36 & s=6 & t=8 & t/s = 1.3333333 \\ N=1225 & s=35 & t=49 & t/s = 1.4 \\ N=41616 & s=204 & t=288 & t/s = 1.4117647 \\ N=1,413,721 & s=1189 & t=1681 & t/s = 1.4137931 \\ N=48,024,900 & s=6930 & t=9800 & t/s = 1.4141414 \\ N=1,631,432,881 & s=40391 & t=57121 & t/s = 1.4142011 \end{matrix}$

相關問題

大衛·蓋爾曾提出一條問題：求對於哪些n，使得1,2,3,4...,n這個數列中，存在一個數s，在s之前的數之和跟在s之後的數之和相等。例如1,2,3,...,8中，6就是這樣的一個數，1+2+3+4+5=7+8

解答： 根據題意列方程，得到s(s-1)/2 = (s+n+1)(n-s)/2 s² = n(n+1)/2

當第n個三角形數是平方數時，就符合題目的條件。（參考：Puzzles Column of The Emissary (Fall2005)）

參考

• Triangular numbers that are also square From Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles.
• 本文主要譯自en:Triangular square number