三角平方數

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三角平方數是既是三角形數,又是平方數的數。三角平方數有無限個,可以由以下公式求得:

 N_k = {1 \over 32} \left( \left( 1 + \sqrt{2} \right)^{2k} - \left( 1 - \sqrt{2} \right)^{2k} \right)^2 .

找尋三角平方數的問題可用以下方法簡化成配爾方程。每個平方數的形式為m^2,三角形數的則為n(n-1)/2。於是求n, m使得:

n(n-1)/2=m^2
n(n-1)=2m^2
n^2-n+\frac{1}{4}=2m^2+\frac{1}{4}
4n^2-4n+1=8m^2+1
(2n-1)^2=8m^2+1

k=2n-1p=2m,代入之,得方程k^2=2p^2+1

k個三角平方數N等於第s個平方數及第t個三角形數,它們的關係為

 s(N) = \sqrt{N}
 t(N) = \lfloor \sqrt{2 N} \rfloor

t可以由下面的方式得出:

 t(N_k) = {1 \over 4} \left[ \left( \left( 1 + \sqrt{2} \right)^k + \left( 1 - \sqrt{2} \right)^k \right)^2 - \left( 1 + (-1)^k \right)^2 \right] .

N亦可用遞歸的方式求得:

N_0=0
N_1=1
N_k=34N_{k-1} - N_{k-2} + 2

k越大,t/s就會趨近\sqrt2

 \begin{matrix} N=1 & s=1 & t=1 & t/s=1
\\ N=36 & s=6 & t=8 & t/s = 1.3333333
\\ N=1225 & s=35 & t=49 & t/s = 1.4
\\ N=41616 & s=204 & t=288 & t/s = 1.4117647
\\ N=1,413,721 & s=1189 & t=1681 & t/s = 1.4137931
\\ N=48,024,900 & s=6930 & t=9800 & t/s = 1.4141414
\\ N=1,631,432,881 & s=40391 & t=57121 & t/s = 1.4142011
\end{matrix}

相關問題[编辑]

大衛·蓋爾曾提出一條問題:求對於哪些n,使得1,2,3,4...,n這個數列中,存在一個數s,在s之前的數之和跟在s之後的數之和相等。例如1,2,3,...,8中,6就是這樣的一個數,1+2+3+4+5=7+8

解答: 根據題意列方程,得到s(s-1)/2 = (s+n+1)(n-s)/2 s2 = n(n+1)/2

當第n個三角形數是平方數時,就符合題目的條件。(參考:Puzzles Column of The Emissary (Fall2005)


參考[编辑]