三角恒等式

角θ的很多三角函数可以在几何上依据以O为中心的单位圆来构造。

单位圆的角度

三角学
历史 三角函数 广义三角函数 反三角函数
参考
恒等式 精确值 三角表
定理
正弦定理 余弦定理 正切定理 余切定理 勾股定理
微积分
三角换元法 三角函数的积分 三角函数的微分 反三角函数的积分

在数学中，三角恒等式是对出现的变量的所有值都为實的涉及到三角函数的等式。这些恒等式在表达式中有些三角函数需要简化的时候是很有用的。一个重要应用是非三角函数的积分：一个常用技巧是首先使用使用三角函数的代换规则，则通过三角恒等式可简化结果的积分。

符号

为了避免由于 sin⁻¹(x) 的不同意思所带来的混淆，我們經常用下表的方式表示三角函数的倒数和反函数。在表示余割函数時，'csc'有时會寫成比較长的 'cosec'。

	函数		餘函数
	全寫	簡寫	全寫	簡寫
函数	sine	sin	cosecant	csc
反函数	arcsine	arcsin	arccosecant	arccsc
函数	cosine	cos	secant	sec
反函数	arccosine	arccos	arcsecant	arcsec
函数	tangent	tan	cotangent	cot
反函数	arctangent	arctan	arccotangent	arccot

不同的角度度量适合于不同的情况。本表展示最常用的系统。弧度是缺省的角度量并用在指数函数中。所有角度度量都是无单位的。

相同角度的轉換表

角度單位	值
轉	$\mathbf{0}$	$\tfrac{1}{12}$	$\tfrac{1}{8}$	$\tfrac{1}{6}$	$\tfrac{1}{4}$	$\tfrac{1}{2}$	$\tfrac{3}{4}$	$\mathbf{1}$
角度	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
弧度	$\mathbf{0}$	$\tfrac{\pi}{6}$	$\tfrac{\pi}{4}$	$\tfrac{\pi}{3}$	$\tfrac{\pi}{2}$	$\pi$	$\tfrac{3\pi}{2}$	$2\pi$
梯度	$0^g$	$33\tfrac{1}{3}^g$	$50^g$	$66\tfrac{2}{3}^g$	$100^g$	$200^g$	$300^g$	$400^g$

基本關係

畢達哥拉斯三角恒等式如下：

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\,$

$\tan^2 \theta + 1\, = \sec^2 \theta$

$1\, + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$

由上面的平方關係加上三角函數的基本定義，可以導出下面的表格，即每個三角函數都可以用其他五個表達。（严谨地说，所有根号前都应根据实际情况添加正负号）

函數	sin	cos	tan	cot	sec	csc
$\sin \theta$	$\sin \theta\$	$\sqrt{1 - \cos^2\theta}$	$\frac{\tan\theta}{\sqrt{1 + \tan^2\theta}}$	$\frac{1}{\sqrt{1+\cot^2\theta}}$	$\frac{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}{\sec \theta}$	$\frac{1}{\csc \theta}$
$\cos \theta$	$\sqrt{1 - \sin^2\theta}$	$\cos \theta\$	$\frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}$	$\frac{\cot \theta}{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}$	$\frac{1}{\sec \theta}$	$\frac{\sqrt{\csc^2\theta - 1}}{\csc \theta}$
$\tan \theta$	$\frac{\sin\theta}{\sqrt{1 - \sin^2\theta}}$	$\frac{\sqrt{1 - \cos^2\theta}}{\cos \theta}$	$\tan \theta\$	$\frac{1}{\cot \theta}$	$\sqrt{\sec^2\theta - 1}$	$\frac{1}{\sqrt{\csc^2\theta - 1}}$
$\cot \theta$	${\sqrt{1 - \sin^2\theta} \over \sin \theta}$	${\cos \theta \over \sqrt{1 - \cos^2\theta}}$	${1 \over \tan\theta}$	$\cot\theta\$	${1 \over \sqrt{\sec^2\theta - 1}}$	$\sqrt{\csc^2\theta - 1}$
$\sec \theta$	${1 \over \sqrt{1 - \sin^2\theta}}$	${1 \over \cos \theta}$	$\sqrt{1 + \tan^2\theta}$	${\sqrt{1 + \cot^2\theta} \over \cot \theta}$	$\sec\theta\$	${\csc\theta \over \sqrt{\csc^2\theta - 1}}$
$\csc \theta$	${1 \over \sin \theta}$	${1 \over \sqrt{1 - \cos^2 \theta}}$	${\sqrt{1 + \tan^2\theta} \over \tan \theta}$	$\sqrt{1 + \cot^2 \theta}$	${\sec \theta \over \sqrt{\sec^2\theta - 1}}$	$\csc \theta\$

其他函數的基本關係

正矢、餘矢、半正矢、半餘矢、外正割用於航行。例如半正矢可以計算球體上的兩個點之間的距離，但他們不常用。

名稱	函數	值
正矢, versine	$\operatorname{versin}(\theta)$ $\operatorname{vers}(\theta)$ $\operatorname{ver}(\theta)$	$1 - \cos (\theta)$
餘的正矢, vercosine	$\operatorname{vercosin}(\theta)$	$1 + \cos (\theta)$
餘矢, coversine	$\operatorname{coversin}(\theta)$ $\operatorname{cvs}(\theta)$	$1 - \sin(\theta)$
餘的餘矢, covercosine	$\operatorname{covercosin}(\theta)$	$1 + \sin(\theta)$
半正矢 , haversine	$\operatorname{haversin}(\theta)$	$\frac{1 - \cos (\theta)}{2}$
餘的半正矢, havercosine	$\operatorname{havercosin}(\theta)$	$\frac{1 + \cos (\theta)}{2}$
半餘矢 , hacoversine cohaversine	$\operatorname{hacoversin}(\theta)$	$\frac{1 - \sin (\theta)}{2}$
餘的半餘矢, hacovercosine cohavercosine	$\operatorname{hacovercosin}(\theta)$	$\frac{1 + \sin (\theta)}{2}$
外正割 , exsecant	$\operatorname{exsec}(\theta)$	$\sec(\theta) - 1$
外餘割, excosecant	$\operatorname{excsc}(\theta)$	$\csc(\theta) - 1$
弦, chord	$\operatorname{crd}(\theta)$	$2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)$
歐拉公式函數, cosine and imaginary unit sine	$\operatorname{cis}(\theta)$	$\cos \theta + i\;\sin \theta$
輻角,Argument	$\arg(x)$	$\operatorname{Im}(\ln x)$

对称、移位和周期

通过检视单位圆，可确立三角函数的下列性质。

对称

当三角函数反射自某个特定的 $\theta$ 值，结果经常是另一个其他三角函数。这导致了下列恒等式：

反射于 $\theta=0$	反射于 $\theta= \pi/2$	反射于 $\theta= \pi$
$\begin{align} \sin(0-\theta) &= -\sin \theta \\ \cos(0-\theta) &= +\cos \theta \\ \tan(0-\theta) &= -\tan \theta \\ \cot(0-\theta) &= -\cot \theta \\ \sec(0-\theta) &= +\sec \theta \\ \csc(0-\theta) &= -\csc \theta \end{align}$	$\begin{align} \sin(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\cos \theta \\ \cos(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\sin \theta \\ \tan(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\cot \theta \\ \cot(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\tan \theta \\ \sec(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\csc \theta \\ \csc(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\sec \theta \end{align}$	$\begin{align} \sin(\pi - \theta) &= +\sin \theta \\ \cos(\pi - \theta) &= -\cos \theta \\ \tan(\pi - \theta) &= -\tan \theta \\ \cot(\pi - \theta) &= -\cot \theta \\ \sec(\pi - \theta) &= -\sec \theta \\ \csc(\pi - \theta) &= +\csc \theta \end{align}$

移位和周期

通过旋转特定角度移位三角函数，经常可以找到更简单的表达结果的不同的三角函数。例如通过旋转$\frac{\pi}{2}$、$\pi$和$2\pi$弧度移位函数。因为这些函数的周期要么是$\pi$要么是$2\pi$，新函数和没有移位的旧函数完全一样。

移位 $\frac{\pi}{2}$	移位 $\pi$ $\tan$ 和 $\cot$ 的周期	移位 $2\pi$ $\sin$, $\cos$, $\csc$ 和 $\sec$ 的周期
$\begin{align} \sin(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= +\cos \theta \\ \cos(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\sin \theta \\ \tan(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\cot \theta \\ \cot(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\tan \theta \\ \sec(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\csc \theta \\ \csc(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= +\sec \theta \end{align}$	$\begin{align} \sin(\theta + \pi) &= -\sin \theta \\ \cos(\theta + \pi) &= -\cos \theta \\ \tan(\theta + \pi) &= +\tan \theta \\ \cot(\theta + \pi) &= +\cot \theta \\ \sec(\theta + \pi) &= -\sec \theta \\ \csc(\theta + \pi) &= -\csc \theta \end{align}$	$\begin{align} \sin(\theta + 2\pi) &= +\sin \theta \\ \cos(\theta + 2\pi) &= +\cos \theta \\ \tan(\theta + 2\pi) &= +\tan \theta \\ \cot(\theta + 2\pi) &= +\cot \theta \\ \sec(\theta + 2\pi) &= +\sec \theta \\ \csc(\theta + 2\pi) &= +\csc \theta \end{align}$

角的和差恒等式

它们也叫做“和差定理”或“和差公式”。最快的证明方式是欧拉公式。

正弦	$\sin(\theta\pm\psi)=\sin\theta\cos\psi\pm\cos\theta\sin\psi\,$
余弦	$\cos(\theta\pm\psi)=\cos\theta\cos\psi\mp\sin\theta\sin\psi\,$
正切	$\tan(\theta\pm\psi)=\frac{\tan\theta\pm\tan\psi}{1\mp\tan\theta\tan\psi}$
余切	$\cot(\theta\pm\psi)=\frac{\cot\theta\cot\psi\mp1}{\cot\psi\pm\cot\theta}$
正割	$\sec(\theta\pm\psi)=\frac{\sec\theta\sec\psi}{1\mp\tan\theta\tan\psi}$
余割	$\csc(\theta\pm\psi)=\frac{\csc\theta\csc\psi}{\cot\psi\pm\cot\theta}$
注意正负号的对应。 $\begin{align}x \pm y = a \pm b &\Rightarrow \ x + y = a + b \\ &\mbox{and} \ x -y = a -b \end{align}$ $\begin{align} x \pm y = a \mp b &\Rightarrow \ x + y = a - b \\ &\mbox{and}\ x - y = a + b\end{align}$

正弦与余弦的无限多项和

$\sin\left(\sum_{i=1}^\infty \theta_i\right) =\sum_{\mathrm{odd}\ k \ge 1} (-1)^{(k-1)/2} \sum_{ |A| = k } \left(\prod_{i \in A} \sin\theta_i \prod_{i \not \in A} \cos\theta_i\right)$

$\cos\left(\sum_{i=1}^\infty \theta_i\right) =\sum_{\mathrm{even}\ k \ge 0} ~ (-1)^{k/2} ~~ \sum_{ |A| = k } \left(\prod_{i \in A} \sin\theta_i \prod_{i \not \in A} \cos\theta_i\right)$

这里的 "$|A|=k$" 意味着索引 A 遍历集合 { 1, 2, 3, ... } 的大小为 k 的所有子集的集合。

在这两个恒等式中出现了在有限多项中不出现的不对称：在每个乘积中，只有有限多个正弦因子和 cofinite 多个余弦因子。

如果只有有限多项 $\theta_i$ 是非零，则在右边只有有限多项是非零，因为正弦因子将变为零，而在每个项中，所有却有限多的余弦因子将是单位一。

正切的有限多项和

设 x_i = tan(θ_i )，对于 i = 1, ..., n。设 e_k 是变量 x_i, i = 1, ..., n, k = 0, ..., n 的 k 次基本对称多项式。则

$\tan(\theta_1+\cdots+\theta_n) = \frac{e_1 - e_3 + e_5 -\cdots}{e_0 - e_2 + e_4 - \cdots},$

项的数目依赖于 n。 例如，

$\begin{align} \tan(\theta_1 + \theta_2 + \theta_3) &{}= \frac{e_1 - e_3}{e_0 - e_2} = \frac{(x_1 + x_2 + x_3) \ - \ (x_1 x_2 x_3)}{ 1 \ - \ (x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3)}, \\ \\ \tan(\theta_1 + \theta_2 + \theta_3 + \theta_4) &{}= \frac{e_1 - e_3}{e_0 - e_2 + e_4} \\ \\ &{}= \frac{(x_1 + x_2 + x_3 + x_4) \ - \ (x_1 x_2 x_3 + x_1 x_2 x_4 + x_1 x_3 x_4 + x_2 x_3 x_4)}{ 1 \ - \ (x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_1 x_4 + x_2 x_3 + x_2 x_4 + x_3 x_4) \ + \ (x_1 x_2 x_3 x_4)},\end{align}$

并以此类推。一般情况可通过数学归纳法证明。

多倍角公式

Tn 是 n 次切比雪夫多项式	$\cos n\theta =T_n \cos \theta \,$
Sn 是 n 次伸展多项式	$\sin^2 n\theta = S_n \sin^2\theta\,$
棣莫弗定理，$i$ 是虚单位	$\cos n\theta +i\sin n\theta=(\cos(\theta)+i\sin(\theta))^n \,$

$1+2\cos(x) + 2\cos(2x) + 2\cos(3x) + \cdots + 2\cos(nx) = \frac{\sin\left(\left(n +\frac{1}{2}\right)x\right)}{\sin(x/2)}.$

(這個 x 的函數是狄利克雷核。)

倍角公式和半角公式

這些公式可以使用和差恒等式或多倍角公式来证明。

		弦	切	割
半角公式	正	$\sin \frac{\theta}{2} = \pm\, \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}}$	$\begin{align} \tan \frac{\theta}{2} &= \csc \theta - \cot \theta \\ &= \pm\, \sqrt{1 - \cos \theta \over 1 + \cos \theta} \\ &= \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} \\ &= \frac{1-\cos \theta}{\sin \theta} \\ &= \frac{\cos \theta+\sin \theta-1}{\cos \theta-\sin \theta+1} \end{align}$	$\sec \frac{\theta}{2} = \pm\, \sqrt{\frac{2\sec\theta}{\sec\theta + 1}}$
	餘	$\cos \frac{\theta}{2} = \pm\, \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}$	$\begin{align} \cot \frac{\theta}{2} &= \csc \theta + \cot \theta \\ &= \pm\, \sqrt{1 + \cos \theta \over 1 - \cos \theta} \\ &= \frac{\sin \theta}{1 - \cos \theta} \\ &= \frac{1 + \cos \theta}{\sin \theta}\\ &= \frac{\cos \theta-\sin \theta+1}{\cos \theta+\sin \theta-1} \end{align}$	$\csc \frac{\theta}{2} = \pm\, \sqrt{\frac{2\sec\theta}{\sec\theta - 1}}$
二倍角公式	正	$\begin{align} \sin 2\theta &= 2 \sin \theta \cos \theta \ \\ &= \frac{2 \tan \theta} {1 + \tan^2 \theta} \end{align}$	$\begin{align}\tan 2\theta &= \frac{2 \tan \theta} {1 - \tan^2 \theta} \ \\ &= \frac{1}{1-\tan\theta}-\frac{1}{1+\tan\theta}\end{align}$	$\sec 2\theta = \frac{\sec^2\theta}{1-\tan^2\theta}$
	餘	$\begin{align} \cos 2\theta &= \cos^2 \theta - \sin^2 \theta \\ &= 2 \cos^2 \theta - 1 \\ &= 1 - 2 \sin^2 \theta \\ &= \frac{1 - \tan^2 \theta} {1 + \tan^2 \theta} \end{align}$	$\cot 2\theta = \frac{\cot \theta - \tan \theta}{2}\,$	$\csc 2\theta = \frac{\csc^2\theta}{2\cot\theta}$ $=\frac{\sec\theta\csc\theta}{2}$
三倍角公式	正	$\sin 3\theta = 3 \sin \theta- 4 \sin^3\theta \,$	$\tan 3\theta = \frac{3 \tan\theta - \tan^3\theta}{1 - 3 \tan^2\theta}$	$\sec 3\theta =\frac{\sec^3\theta}{4-3 \sec^2\theta}$
	餘	$\cos 3\theta = 4 \cos^3\theta - 3 \cos \theta \,$	$\cot 3\theta =\frac{\cot^3\theta - 3\cot\theta}{3 \cot^2\theta-1}$	$\csc 3\theta =\frac{\csc^3\theta}{3\csc^2\theta-4}$
四倍角公式	正	$\begin{align} \sin 4\theta &= 4\sin\theta\cos \theta - 8\sin^3 \theta\cos\theta \\ &= 4 \cos^3 \theta\sin\theta-4\sin^3\theta\cos \theta \end{align}$	$\tan 4\theta = \frac{4\tan\theta-4\tan^3\theta}{1-6\tan^2\theta+\tan^4\theta}\,$
	餘	$\cos4\theta=8\cos^4\theta-8\cos^2\theta+1\,$
五倍角公式	正	$\sin 5\theta=16\sin^5\theta-20\sin^3\theta+5\sin\theta \,$	$\begin{align} \tan 5\theta &= \tan(2\theta + 3\theta) \\ &=\frac{\tan2\theta+\tan3\theta}{1-\tan2\theta\tan3\theta}\\ &=\frac{\frac{\tan 2\theta}{1-\tan^2\theta}+\frac{3\tan\theta-\tan^3\theta}{1-3\tan^2\theta}}{1-\frac{2\tan\theta(3tan\theta-tan^3\theta)}{(1-\tan^2\theta)(1-3\tan^2\theta)}} \\ &=\frac{2\tan\theta (1-3\tan^2\theta)+(1-\tan^2\theta)(3\tan\theta-\tan^3\theta)}{(1-\tan^2\theta)(1-3\tan^2\theta)-2\tan\theta(3\tan\theta-\tan^3\theta)} \\ &=\frac{\tan\theta[(2-6\tan^2\theta)+(3-4\tan^2\theta+\tan^4\theta)]}{(1-4\tan^2\theta +3\tan^4\theta)-(6\tan^2\theta-2\tan^4\theta)} \\ &=\frac{\tan\theta(5-10\tan^2\theta+\tan^4\theta)}{1-10\tan^2\theta+5\tan^4\theta} \\ &=\frac{5\tan\theta-10\tan^3\theta+\tan^5\theta}{1-10\tan^2\theta+5\tan^4\theta} \end{align}$
	餘	$\cos 5\theta=16\cos^5\theta-20\cos^3\theta+5\cos\theta \,$

六倍角公式
$\sin 6\theta=32\cos\theta\sin^5\theta-32\cos\theta\sin^3\theta+6\cos\theta\sin\theta\,$
$\cos6\theta=32\cos^6\theta-48\cos^4\theta+18\cos^2\theta-1\,$
$\tan 6\theta = \frac{6\tan\theta-20\tan^3\theta+6\tan^5\theta}{1-15\tan^2\theta+15\tan^4\theta-\tan^6\theta}\,$
七倍角公式
$\sin 7\theta=7\sin\theta-56\sin^3\theta+112\sin^5\theta-64\sin^7\theta \,$
$\cos 7\theta=64\cos^7\theta-112\cos^5\theta+56\cos^3\theta-7\cos\theta \,$
$\tan 7\theta = \frac{\tan^7\theta-21\tan^5\theta+35\tan^3\theta-7\tan\theta}{7\tan^6\theta-35\tan^4\theta+21\tan^2\theta-1}\,$
八倍角公式
$\sin 8\theta=192\cos\theta\sin^5\theta-128\cos\theta\sin^7\theta-80\cos\theta\sin^3\theta+8\cos\theta\sin\theta \,$
$\cos 8\theta=128\cos^8\theta-256\cos^6\theta+160\cos^4\theta-32\cos^2\theta+1 \,$
$\tan 8\theta = \frac{8\tan\theta-56\tan^3\theta+56\tan^5\theta-8\tan^7\theta}{1-28\tan^2\theta+70\tan^4\theta-28\tan^6\theta+\tan^8\theta}\,$
九倍角公式
$\sin 9\theta=256\sin\theta\cos\theta-448\sin\theta\cos^6\theta+240\sin\theta\cos^4\theta-40\sin\theta\cos\theta+\sin\theta \,$
$\cos 9\theta=256\cos^9\theta-576\cos^7\theta+432\cos^5\theta-120\cos^3\theta+\cos\theta \,$
$\tan 9\theta = \frac{9\tan\theta-84\tan^3\theta+126\tan^5\theta-36\tan^7\theta+\tan^9\theta}{1-36\tan^2\theta+126\tan^4\theta-84\tan^6\theta+9\tan^8\theta}\,$
十倍角公式
$\sin 10\theta=512\sin^9\theta\cos\theta-1024\sin^7\theta\cos\theta+672\sin^5\theta\cos\theta-160\sin^3\theta\cos\theta+10\sin\theta\cos\theta \,$
$\cos 10\theta=512\cos^{10}\theta-1280\cos^8\theta+1102\cos^6\theta-400\cos^4\theta+50\cos\theta -1\,$
$\tan 10\theta = \frac{10\tan\theta-120\tan^3\theta+252\tan^5\theta-120\tan^7\theta+10\tan^9\theta}{1-45\tan^2\theta+210\tan^4\theta-210\tan^6\theta+45\tan^8\theta-\tan^{10}\theta}\,$
n倍角公式
$\sin n\theta = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos^k \theta\,\sin^{n-k} \theta\,\sin\left(\frac{1}{2}(n-k)\pi\right)$
$\cos n\theta = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos^k \theta\,\sin^{n-k} \theta\,\cos\left(\frac{1}{2}(n-k)\pi\right)$
$\tan n\theta = \frac{\displaystyle \sum_{k=1}^{\left[\frac{n}{2}\right]} (-1)^{k+1} \binom{n}{2k-1} \tan^{2k-1}\theta}{\displaystyle \sum_{k=1}^{\left[\frac{n+1}{2}\right]} (-1)^{k+1} \binom{n}{2(k-1)} \tan^{2(k-1)}\theta}$
n倍遞迴公式
$\tan\,n\theta = \frac{\tan (n{-}1)\theta + \tan \theta}{1 - \tan (n{-}1)\theta\,\tan \theta}$、$\cot\,n\theta = \frac{\cot (n{-}1)\theta\,\cot \theta - 1}{\cot (n{-}1)\theta + \cot \theta}.$(遞迴關係)

参见正切半角公式，它也叫做“万能公式”。

其他函數的倍半角公式

正矢

• $\operatorname{versin} 2\theta = 2\sin^2\theta$

餘矢

• $\operatorname{cvs} 2\theta = (\sin\theta-\cos\theta)^2$

三分之一角公式

• 利用三倍角公式
• $\sin 3\theta = 3 \sin \theta- 4 \sin^3\theta \,$
• $\cos 3\theta = 4 \cos^3\theta - 3 \cos \theta \,$

把它改為:

• $\sin \theta = 3\sin\frac{\theta}{3}- 4\sin^3\frac{1}{3}\theta\,$
• $\cos \theta = 4\cos^3\frac{\theta}{3} - 3\cos\frac{1}{3}\theta\,$

把$\cos \frac{\theta}{3}\,$當成未知數，$\cos \theta \,$當成常數項 解一元三次方程式即可求出

• x1=$\frac{1}{2 \sqrt[3]{-\sin\theta +\sqrt{\sin^2\theta -1}}} + \frac{\sqrt[3]{-\sin\theta +\sqrt{\sin^2\theta -1}}}{2}\,$
• x2=$- \frac{1 + i \sqrt{3}}{4 \sqrt[3]{-\sin \theta + \sqrt{\sin^2\theta -1}}} - \frac{(1 - i \sqrt{3}) \sqrt[3]{-\sin \theta + \sqrt{\sin^2\theta -1}}}{4}\,$
• x3=$- \frac{1 - i \sqrt{3}}{4 \sqrt[3]{-\sin \theta + \sqrt{\sin^2\theta -1}}} - \frac{(1 + i \sqrt{3}) \sqrt[3]{-\sin \theta + \sqrt{\sin^2\theta -1}}}{4}\,$
• 當-90°≤$\theta \,$≤90°時$\sin \frac{1}{3}\theta$=$x$3=$- \frac{1 - i \sqrt{3}}{4 \sqrt[3]{-\sin \theta + \sqrt{\sin^2\theta -1}}} - \frac{(1 + i \sqrt{3}) \sqrt[3]{-\sin \theta + \sqrt{\sin^2\theta -1}}}{4}\,$
• 當90°≤$\theta \,$≤450°時$\sin \frac{1}{3}\theta$=$x$1=$\frac{1}{2 \sqrt[3]{-\sin \theta + \sqrt{\sin^2\theta -1}}} + \frac{ \sqrt[3]{-\sin \theta + \sqrt{\sin^2\theta -1}}}{2}\,$
• 當450°≤$\theta \,$≤630°時$\sin \frac{1}{3}\theta$=$x$3=$- \frac{1 - i \sqrt{3}}{4 \sqrt[3]{-\sin \theta + \sqrt{\sin^2\theta -1}}} - \frac{(1 + i \sqrt{3}) \sqrt[3]{-\sin \theta + \sqrt{\sin^2\theta -1}}}{4}\,$
• 當630°≤$\theta \,$≤990°時$\sin \frac{1}{3}\theta$=$x$2=$- \frac{1 + i \sqrt{3}}{4 \sqrt[3]{-\sin \theta + \sqrt{\sin^2\theta -1}}} - \frac{(1 - i \sqrt{3}) \sqrt[3]{-\sin \theta + \sqrt{\sin^2\theta -1}}}{4}\,$

簡化

利用欧拉公式可以有效的簡化三分之一角公式

$\cos\frac{\theta}{n} = \Re\left(\sqrt[n]{\cos\theta+i\sin\theta}\right) = \frac{1}{2}\left(\sqrt[n]{\cos\theta+i\sin\theta}+\sqrt[n]{\cos\theta-i\sin\theta}\right)$

$\sin\frac{\theta}{n} = \Im\left(\sqrt[n]{\cos\theta+i\sin\theta}\right) = \frac{1}{2i}\left(\sqrt[n]{\cos\theta+i\sin\theta}-\sqrt[n]{\cos\theta-i\sin\theta}\right)$

所以

$\cos\frac{\theta}{3}=\frac{1}{2}\left(\sqrt[3]{\cos\theta+i\sin\theta}+\sqrt[3]{\cos\theta-i\sin\theta}\right)$

$\sin\frac{\theta}{3}=\frac{1}{2i}\left(\sqrt[n]{\cos\theta+i\sin\theta}-\sqrt[n]{\cos\theta-i\sin\theta}\right)$

幂简约公式

从解余弦二倍角公式的第二和第三版本得到。

正弦	餘弦	其他
$\sin^2\theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$	$\cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$	$\sin^2\theta \cos^2\theta = \frac{1 - \cos 4\theta}{8}$
$\sin^3\theta = \frac{3 \sin\theta - \sin 3\theta}{4}$	$\cos^3\theta = \frac{3 \cos\theta + \cos 3\theta}{4}$	$\sin^3\theta \cos^3\theta = \frac{3\sin 2\theta - \sin 6\theta}{32}$
$\sin^4\theta = \frac{3 - 4 \cos 2\theta + \cos 4\theta}{8}$	$\cos^4\theta = \frac{3 + 4 \cos 2\theta + \cos 4\theta}{8}$	$\sin^4\theta \cos^4\theta = \frac{3-4\cos 4\theta + \cos 8\theta}{128}$
$\sin^5\theta = \frac{10 \sin\theta - 5 \sin 3\theta + \sin 5\theta}{16}$	$\cos^5\theta = \frac{10 \cos\theta + 5 \cos 3\theta + \cos 5\theta}{16}$	$\sin^5\theta \cos^5\theta = \frac{10\sin 2\theta - 5\sin 6\theta + \sin 10\theta}{512}$

可以用一個式子表達(參閱英文的三角恆等式頁面)

	餘弦	正弦
如果n是奇數	$\cos^n\theta = \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n-1}{2}} \binom{n}{k} \cos{((n-2k)\theta)}$	$\sin^n\theta = \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n-1}{2}} (-1)^{(\frac{n-1}{2}-k)} \binom{n}{k} \sin{((n-2k)\theta)}$
如果n是偶數	$\cos^n\theta = \frac{1}{2^n} \binom{n}{\frac{n}{2}} + \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n}{2}-1} \binom{n}{k} \cos{((n-2k)\theta)}$	$\sin^n\theta = \frac{1}{2^n} \binom{n}{\frac{n}{2}} + \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n}{2}-1} (-1)^{(\frac{n}{2}-k)} \binom{n}{k} \cos{((n-2k)\theta)}$

常見的恆等式

积化和差与和差化积恆等式

數學家韋達在其三角學著作《應用於三角形的數學定律》給出积化和差与和差化积恒等式。积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的右手端来证明。

积化和差 $\sin\Theta\sin\Phi={\cos(\Theta-\Phi)-\cos(\Theta+\Phi)\over2}$ $\cos\Theta\cos\Phi={\cos(\Theta-\Phi)+\cos(\Theta+\Phi)\over2}$ $\sin\Theta\cos\Phi={\sin(\Theta+\Phi)+\sin(\Theta-\Phi)\over2}$ $\cos\Theta\sin\Phi={\sin(\Theta+\Phi)-\sin(\Theta-\Phi)\over2}$

和差化积 $\sin\Theta+\sin\Phi=2\sin\frac{\Theta+\Phi}{2}\cos\frac{\Theta-\Phi}{2}$ $\cos\Theta+\cos\Phi=2\cos\frac{\Theta+\Phi}{2}\cos\frac{\Theta-\Phi}{2}$ $\cos\Theta-\cos\Phi=-2\sin{\Theta+\Phi\over2}\sin{\Theta-\Phi\over2}$ $\sin\Theta-\sin\Phi=2\cos{\Theta+\Phi\over2}\sin{\Theta-\Phi\over2}$

其他恆等式

如果 $x + y + z =n \pi \,$ ，

那么 $\tan x + \tan y + \tan z = \tan x\tan y\tan z.\,$

　　 $\cot x\cot y + \cot y\cot z + \cot z\cot x = 1.\,$

如果 $x + y + z =n \pi + \frac{\pi}{2}\,$ ，

那么 $\tan x\tan y + \tan y\tan z + \tan z\tan x = 1.\,$

　　 $\cot x + \cot y + \cot z = \cot x\cot y\cot z.\,$

如果 $x, y, z \,$任何一个是直角，则两端都应为无穷大

如果 $x + y + z = \pi \,$ ，

那么$\sin 2x + \sin 2y + \sin 2z = 4\sin x\sin y\sin z.\,$

$\sin(x+y)\sin(x-y) = \sin^2 {x} - \sin^2 {y} = \cos^2 {y} - \cos^2 {x}.\,$

$\cos(x+y)\cos(x-y) = \cos^2 {x} - \sin^2 {y} = \cos^2 {y} - \sin^2 {x}.\,$

托勒密定理

$\mbox{If }w + x + y + z = \pi = \mbox{half circle,} \,$

$\begin{align} \mbox{then } & \sin(w + x)\sin(x + y) \\ &{} = \sin(x + y)\sin(y + z) \\ &{} = \sin(y + z)\sin(z + w) \\ &{} = \sin(z + w)\sin(w + x) = \sin w \sin y + \sin x \sin z. \end{align}$

（前三个等式是平凡的；第四个是这个恒等式的实质。）本质上这是使用三角学语言的托勒密定理。

三角函數和雙曲函數的恆等式

利用三角恒等式的指數定義和雙曲函數的指數定義即可求出下列恆等式:

$e^{i x} = \cos x + i \;\sin x \qquad , \; e^{-i x} = \cos x - i \;\sin x$

$e^x = \cosh x + \sinh x\! \qquad , \; e^{-x} = \cosh x - \sinh x \!$

所以

$\cosh ix = \tfrac12(e^{i x} + e^{-i x}) = \cos x$

$\sinh ix = \tfrac12(e^{i x} - e^{-i x}) = i \sin x$

下表列出部分的三角函數與雙曲函數的恆等式:

三角函數	雙曲函數
$\sin \theta =-i\sinh{i\theta}\,$	$\sinh{\theta}=i\sin{(-i\theta)}\,$
$\cos{\theta}=\cosh{i\theta}\,$	$\cosh{\theta}=\cos{(-i\theta)}\,$
$\tan \theta =-i\tanh{i\theta}\,$	$\tanh{\theta}=i\tan{(-i\theta)}\,$
$\cot{\theta}=i\coth{i\theta}\,$	$\coth \theta =-i\cot{(-i\theta)}\,$
$\sec{\theta}=\operatorname{sech}{\,i\theta}\,$	$\operatorname{sech}{\theta}=\sec{(-i\theta)}\,$
$\csc{\theta}=i\;\operatorname{csch}{\, i\theta}\,$	$\operatorname{csch} \theta =-i\csc{(-i\theta)}\,$

• 其他恆等式:

$\cosh ix = \tfrac12(e^{i x} + e^{-i x}) = \cos x$

$\sinh ix = \tfrac12(e^{i x} - e^{-i x}) = i \sin x$

$\cosh(x+iy) = \cosh(x) \cos(y) + i \sinh(x) \sin(y) \,$

$\sinh(x+iy) = \sinh(x) \cos(y) + i \cosh(x) \sin(y) \,$

$\tanh ix = i \tan x \,$

$\cosh x = \cos ix \,$

$\sinh x = -i \sin ix \,$

$\tanh x = -i \tan ix \,$

线性组合

对于某些用途，知道同样周期但不同相位移动的正弦波的任何线性组合是有相同周期但不同相位移动的正弦波是重要的。在正弦和余弦波的线性组合的情况下，我们有

$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\cdot\sin(x+\varphi)\,$

这里的

$\varphi = \arctan \left(\frac{b}{a}\right)$

更一般的说，对于任何相位移动，我们有

$a\sin x+b\sin(x+\alpha)= c \sin(x+\beta)\,$

这里

$c = \sqrt{a^2 + b^2 +2ab\cos \alpha},$

而

$\beta = {\rm arctan} \left(\frac{b\sin \alpha}{a + b\cos \alpha}\right).$

反三角函数

$\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi}{2}\;$

$\arctan x+\arccot x=\frac{\pi}{2}.\;$

$\arctan x+\arctan \frac{1}{x}=\left\{\begin{matrix} \frac{\pi}{2}, & \mbox{if }x > 0 \\ -\frac{\pi}{2}, & \mbox{if }x < 0 \end{matrix}\right.$

$\arctan x+\arctan y=\arctan \frac{x+y}{1-xy}+\left\{\begin{matrix} \pi, & \mbox{if }x,y>0 \\ -\pi, & \mbox{if }x,y<0 \\ 0, & \mbox{otherwise } \end{matrix}\right.$

$\sin ( \arccos x)=\sqrt{1-x^2} \,$

$\sin ( \arctan x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$

$\cos ( \arctan x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

$\cos ( \arcsin x)=\sqrt{1-x^2} \,$

$\tan ( \arcsin x)=\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$

$\tan ( \arccos x)=\frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}$

无限乘积公式

为了用于特殊函数，有下列三角函数无限乘积公式：

$\sin x = x \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \frac{x^2}{\pi^2 n^2}\right)$

$\sinh x = x \prod_{n = 1}^\infty\left(1 + \frac{x^2}{\pi^2 n^2}\right)$

$\frac{\sin x}{x} = \prod_{n = 1}^\infty\cos\left(\frac{x}{2^n}\right)$

$\cos x = \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \frac{x^2}{\pi^2(n - \frac{1}{2})^2}\right)$

$\cosh x = \prod_{n = 1}^\infty\left(1 + \frac{x^2}{\pi^2(n - \frac{1}{2})^2}\right)$

微積分

在微積分中，下面陳述的關係要求角用弧度來度量；如果用其他方式比如角度來這些關係會變得更加複雜。如果三角函數以幾何的方式來定義，它們的導數可以通過驗證兩個極限而找到。 第一個是：

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin(x)}{x}=1,$

使用單位圓和夾擠定理來驗證。使用洛必達法則來確立這個極限的建議是誘人的。但是，如果你使用這個極限來證明正弦的導數是餘弦，並因此在應用洛必達法則中使用正弦的導數是餘弦的事實，就是邏輯謬論中的循環論證了。第二個極限是：

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos(x)}{x}=0,$

使用恆等式 tan(x/2) = (1 − cos(x))/sin(x) 驗證。已經確立了這兩個極限，你可以使用導數的極限定義和加法定理來證明 sin′(x) = cos(x) 和 cos′(x) = −sin(x)。如果正弦和餘弦函數用它們的泰勒級數來定義，則導數可以通過冪級數逐項微分得到。

${d \over dx}\sin(x) = \cos(x)$

結果的三角函數可以使用上述恆等式和微分規則來做微分。

$\begin{matrix} {d \over dx} \sin x =& \cos x ,& {d \over dx} \arcsin x =&{1 \over \sqrt{1 - x^2} } \\ \\ {d \over dx} \cos x =& -\sin x ,& {d \over dx} \arccos x =&{-1 \over \sqrt{1 - x^2}} \\ \\ {d \over dx} \tan x =& \sec^2 x ,& {d \over dx} \arctan x =&{ 1 \over 1 + x^2} \\ \\ {d \over dx} \cot x =& -\csc^2 x ,& {d \over dx} \arccot x =&-{1 \over 1 + x^2} \\ \\ {d \over dx} \sec x =& \tan x \sec x ,& {d \over dx} \arcsec x =&{ 1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}} \\ \\ {d \over dx} \csc x =& -\csc x \cot x ,& {d \over dx} \arccsc x =&-{1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}} \end{matrix}$

在三角函數積分表中可以找到積分恆等式。

蘊涵

三角函數（正弦和餘弦）的微分是同樣兩個函數線性組合的事實在很多數學領域包括微分方程和傅立葉變換中是重要的基本原理。

指数定义

函数	反函数
$\sin \theta = \frac{e^{{\mathrm{i}}\theta} - e^{-{\mathrm{i}}\theta}}{2{\mathrm{i}}} \,$	$\arcsin x = -{\mathrm{i}}\ln \left({\mathrm{i}}x + \sqrt{1 - x^2}\right) \,$
$\cos \theta = \frac{e^{{\mathrm{i}}\theta} + e^{-{\mathrm{i}}\theta}}{2} \,$	$\arccos x = -{\mathrm{i}}\ln \left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right) \,$
$\tan \theta = \frac{e^{{\mathrm{i}}\theta} - e^{-{\mathrm{i}}\theta}}{{\mathrm{i}}(e^{{\mathrm{i}}\theta} + e^{-{\mathrm{i}}\theta})} \,$	$\arctan x = \frac{\mathrm{i}}{2}\ln \left(\frac{{\mathrm{i}}+ x}{{\mathrm{i}}- x}\right)\,$
$\csc \theta = \frac{2{\mathrm{i}}}{e^{{\mathrm{i}}\theta} - e^{-{\mathrm{i}}\theta}} \,$	$\arccsc x = -{\mathrm{i}}\ln \left(\tfrac{\mathrm{i}}{x} + \sqrt{1 - \tfrac{1}{x^2}}\right) \,$
$\sec \theta = \frac{2}{e^{{\mathrm{i}}\theta} + e^{-{\mathrm{i}}\theta}} \,$	$\arcsec x = -{\mathrm{i}}\ln \left(\tfrac{1}{x} + \sqrt{1 - \tfrac{\mathrm{i}}{x^2}}\right) \,$
$\cot \theta = \frac{{\mathrm{i}}(e^{{\mathrm{i}}\theta} + e^{-{\mathrm{i}}\theta})}{e^{{\mathrm{i}}\theta} - e^{-{\mathrm{i}}\theta}} \,$	$\arccot x = \frac{\mathrm{i}}{2}\ln \left(\frac{{\mathrm{i}}- x}{{\mathrm{i}}+ x}\right) \,$
$\operatorname{cis} \, \theta = e^{{\mathrm{i}}\theta} \,$	$\operatorname{arccis} \, x =-{\mathrm{i}} \ln x \,$

参见

• 余弦定理
• 三角函数
• 正弦定理
• 正切定理
• 中线长公式
• 角平分线长公式
• 雙曲函數恆等式

參考文獻

• A one-page proof of many trigonometric identities using Euler's formula，by Connelly Barnes.
• Useful Formulae for Hong Kong Advanced Level Examination Pure Mathematics.