三角积分

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Si(x)(红)和Ci(x)(蓝)

三角积分是含有三角函数的一种积分。一些简单的含有三角函数的积分,可在三角函数积分表中找到。

正弦积分[编辑]

有两种不同的正弦积分:

{\rm Si}(x) = \int_0^x\frac{\sin t}{t}\,dt
{\rm si}(x) = -\int_x^\infty\frac{\sin t}{t}\,dt

{\rm Si}(x)\,\frac{\sin x}{x}\,的原函数,当x=0\,时为零;{\rm si}(x)\,\frac{\sin x}{x}\,的原函数,当x=\infty时为零。我们有:

{\rm si}(x) = {\rm Si}(x) - \frac{\pi}{2}

注意到\frac{\sin t}{t}sinc函数,也是第零个球贝塞尔函数

余弦积分[编辑]

有两种不同的余弦积分:

{\rm Ci}(x) = \gamma + \ln x + \int_0^x\frac{\cos t-1}{t}\,dt
{\rm ci}(x) = -\int_x^\infty\frac{\cos t}{t}\,dt
{\rm Cin}(x) = \int_0^x\frac{1-\cos t}{t}\,dt

{\rm ci}(x)\,\frac{\cos x}{x}的原函数,当x=\infty时为零。我们有:

{\rm ci}(x)={\rm Ci}(x)\,
{\rm Cin}(x)=\gamma+\ln x-{\rm Ci}(x)\,

双曲正弦积分[编辑]

{\rm Shi}(x) = \int_0^x\frac{\sinh t}{t}\,dt = {\rm shi}(x).

双曲余弦积分[编辑]

{\rm Chi}(x) = \gamma+\ln x + \int_0^x\frac{\cosh t-1}{t}\,dt = {\rm chi}(x)

其中\gamma\,欧拉-马歇罗尼常数

展开式[编辑]

有各种各样的展开式,可以用于计算三角积分。

渐近展开式[编辑]

{\rm Si}(x)=\frac{\pi}{2} 
                 - \frac{\cos x}{x}\left(1-\frac{2!}{x^{2}}+...\right)
                 - \frac{\sin x}{x}\left(\frac{1}{x}-\frac{3!}{x^{3}}+...\right)
{\rm Ci}(x)= \frac{\sin x}{x}\left(1-\frac{2!}{x^{2}}+...\right)
                   -\frac{\cos x}{x}\left(\frac{1}{x}-\frac{3!}{x^{3}}+...\right)

这些级数是发散的,但可以用来估计,甚至是精确计算三角积分。

收敛级数[编辑]

{\rm Si}(x)= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)(2n+1)!}=x-\frac{x^3}{3!\cdot3}+\frac{x^5}{5!\cdot5}-\frac{x^7}{7! \cdot7}\pm\cdots
{\rm Ci}(x)= \gamma+\ln x+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{2n(2n)!}=\gamma+\ln x-\frac{x^2}{2!\cdot2}+\frac{x^4}{4! \cdot4}\mp\cdots

这些级数对于任何复数的~x~都是收敛的,但当|x|\gg 1时,计算非常缓慢,也不是很精确。

与指数积分的关系[编辑]

函数
{\rm E}_1(z) = \int_1^\infty
\frac
{\exp(-zt)}
{t}
{\rm d} t
~~,~~~~({\rm Re}(z) \ge 0)
称为指数积分,与正弦和余弦积分有以下的关系:


{\rm E}_1( {\rm i}\!~ x)=
-\frac{\pi}{2}
+{\rm Si}(x)-{\rm i}\cdot {\rm Ci}(x)~~~~,~~~~~(x>0)

参见[编辑]

参考文献[编辑]