三角积分

Si(x)（红）和Ci(x)（蓝）

三角积分是含有三角函数的一种积分。一些简单的含有三角函数的积分，可在三角函数积分表中找到。

正弦积分

有两种不同的正弦积分：

${\rm Si}(x) = \int_0^x\frac{\sin t}{t}\,dt$

${\rm si}(x) = -\int_x^\infty\frac{\sin t}{t}\,dt$

${\rm Si}(x)\,$是$\frac{\sin x}{x}\,$的原函数，当$x=0\,$时为零；${\rm si}(x)\,$是$\frac{\sin x}{x}\,$的原函数，当$x=\infty$时为零。我们有：

${\rm si}(x) = {\rm Si}(x) - \frac{\pi}{2}$

注意到$\frac{\sin t}{t}$是sinc函数，也是第零个球贝塞尔函数。

余弦积分

有两种不同的余弦积分：

${\rm Ci}(x) = \gamma + \ln x + \int_0^x\frac{\cos t-1}{t}\,dt$

${\rm ci}(x) = -\int_x^\infty\frac{\cos t}{t}\,dt$

${\rm Cin}(x) = \int_0^x\frac{1-\cos t}{t}\,dt$

${\rm ci}(x)\,$是$\frac{\cos x}{x}$的原函数，当$x=\infty$时为零。我们有：

${\rm ci}(x)={\rm Ci}(x)\,$

${\rm Cin}(x)=\gamma+\ln x-{\rm Ci}(x)\,$

双曲正弦积分

${\rm Shi}(x) = \int_0^x\frac{\sinh t}{t}\,dt = {\rm shi}(x).$

双曲余弦积分

${\rm Chi}(x) = \gamma+\ln x + \int_0^x\frac{\cosh t-1}{t}\,dt = {\rm chi}(x)$

其中$\gamma\,$是欧拉-马歇罗尼常数。

展开式

有各种各样的展开式，可以用于计算三角积分。

渐近展开式

${\rm Si}(x)=\frac{\pi}{2} - \frac{\cos x}{x}\left(1-\frac{2!}{x^{2}}+...\right) - \frac{\sin x}{x}\left(\frac{1}{x}-\frac{3!}{x^{3}}+...\right)$

${\rm Ci}(x)= \frac{\sin x}{x}\left(1-\frac{2!}{x^{2}}+...\right) -\frac{\cos x}{x}\left(\frac{1}{x}-\frac{3!}{x^{3}}+...\right)$

这些级数是发散的，但可以用来估计，甚至是精确计算三角积分。

收敛级数

${\rm Si}(x)= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)(2n+1)!}=x-\frac{x^3}{3!\cdot3}+\frac{x^5}{5!\cdot5}-\frac{x^7}{7! \cdot7}\pm\cdots$

${\rm Ci}(x)= \gamma+\ln x+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{2n(2n)!}=\gamma+\ln x-\frac{x^2}{2!\cdot2}+\frac{x^4}{4! \cdot4}\mp\cdots$

这些级数对于任何复数的$~x~$都是收敛的，但当$|x|\gg 1$时，计算非常缓慢，也不是很精确。

与指数积分的关系

函数${\rm E}_1(z) = \int_1^\infty \frac {\exp(-zt)} {t} {\rm d} t ~~,~~~~({\rm Re}(z) \ge 0)$称为指数积分，与正弦和余弦积分有以下的关系：

${\rm E}_1( {\rm i}\!~ x)= -\frac{\pi}{2} +{\rm Si}(x)-{\rm i}\cdot {\rm Ci}(x)~~~~,~~~~~(x>0)$

参见

• 指数积分
• 对数积分

参考文献

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. （See Chapter 5）
  • 第5.2节，正弦和余弦积分