三进制

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依底数区分的进位制系统
十进制 (10)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 16 20 60
进位制系统列表

三进制是以3为底数的进位制。

曾经被莫斯科大学科研人员用于计算机,目前在光子计算机研究领域也有涉及。

对称三进制能比二进制更方便的表示所有整数。

表示形式

三进制一般有两种表示形式：

一种是以0，1，2为基本字符的表示形式。例如，365₍₁₀₎在这种表示形式中的写法是111112₍₃₎。

一种是以-1，0，1为基本字符的表现形式。例如，365在这种表示形式中的写法是1FFFFFF(我们用F表示-1)。这种表示法也被称作对称三进制或平衡三进制

运算规则

四则运算

普通三进制的四则运算

• 加法：0＋0＝0，0＋1＝1，0+2=2，1＋0＝1，1＋1＝2，1+2=10，2+0=2，2+1=10，2+2=11
• 减法：0－0＝0，1－0＝1，2-1=1，1－1＝0，2－1＝1，10-1=2，2-2=0，10-2=1，11-2=2
• 乘法：0×0＝0，0×1＝0，0×2=2，1×0＝0，1×1＝1，1×2=2，2×0=0，2×1=2，2×2=11
• 除法：0÷1＝0，1÷1＝1，2÷1=1，1÷2=0.1111...

对称三进制的四则运算

• 加法：F+F=F1，F+0=F，F+1=0，0＋F＝F，0＋0＝0，0+1=1，1＋F＝0，1＋0＝1，1+1=1F
• 减法：F－F＝0，F－0＝F，F-1=F1，0－F＝1，0－0＝0，0-1=F，1-F=1F，1-0=1，1-1=0
• 乘法：F×F＝1，F×0＝0，F×1=F，0×F＝0，0×0＝0，0×1=0，1×F=F，1×0=0，1×1=1
• 除法：F÷F＝1，F÷1＝F，0÷F=0，0÷1=0, 1÷F=F，1÷1=1

对称三进制的逻辑运算

• 或：F∨F=F，F∨0=0，F∨1=1，0∨F＝0，0∨0＝0，0∨1=1，1∨F＝1，1∨0＝1，1∨1=1，
• 与：F∧F＝F，F∧0＝F，F∧1=F，0∧F＝F，0∧0＝0，0∧1=0，1∧F=F，1∧0=0，1∧1=1
• 非：¬F＝1，¬0＝0，¬1=F

与十进制和二进制的比较

整数的三进制表示法不如二进制那样冗长，但仍然比十进制要长。例如，365在二进制中的写法是101101101（9个数字），在三进制中的写法是111112（6个数字）。

1到27

三进制	1	2	10	11	12	20	21	22	100
对称三进制	1	1F	10	11	1FF	1F0	1F1	10F	100
二进制	1	10	11	100	101	110	111	1000	1001
十进制	1	2	3	4	5	6	7	8	9
三进制	101	102	110	111	112	120	121	122	200
对称三进制	101	11F	110	111	1FFF	1FF0	1FF1	1F0F	1F00
二进制	1010	1011	1100	1101	1110	1111	10000	10001	10010
十进制	10	11	12	13	14	15	16	17	18
三进制	201	202	210	211	212	220	221	222	1000
对称三进制	1F01	1F1F	1F10	1F11	10FF	10F0	10F1	100F	1000
二进制	10011	10100	10101	10110	10111	11000	11001	11010	11011
十进制	19	20	21	22	23	24	25	26	27

3的幂

三进制	1	10	100	1 000	10 000
对称三进制	1	10	100	1 000	10 000
二进制	1	11	1001	1 1011	101 0001
十进制	1	3	9	27	81
幂	30	31	32	33	34
三进制	100 000	1 000 000	10 000 000	100 000 000	1 000 000 000
对称三进制	100 000	1 000 000	10 000 000	100 000 000	1 000 000 000
二进制	1111 0011	10 1101 1001	1000 1000 1011	1 1001 1010 0001	100 1100 1110 0011
十进制	243	729	2 187	6 561	19 683
幂	35	36	37	38	39

在三进制中表示三分之一是很方便的，不像在十进制中，需要用无限小数来表示。但是，二分之一、四分之一之类的分数在三进制中都是无穷小数，这是因为2不是3的因子。

小数

三进制	0.111111111111...	0.1	0.020202020202...	0.012101210121...	0.011111111111...	0.010212010212...
对称三进制	0.111111111111...	0.1	0.1F1F1F1F1F...	0.1FF11FF11FF1...	0.011111111111...	0.0110FF0110FF...
二进制	0.1	0.010101010101...	0.01	0.001100110011...	0.00101010101...	0.001001001001...
十进制	0.5	0.333333333333...	0.25	0.2	0.166666666666...	0.142857142857...
分数	1/2	1/3	1/4	1/5	1/6	1/7
三进制	0.010101010101...	0.01	0.002200220022...	0.002110021100...	0.002020202020...	0.002002002002...
对称三进制	0.010101010101...	0.01	0.010F010F010F...	0.01F1101F1100...	0.01F1F1F1F0...	0.01F01F01F01F...
二进制	0.001	0.000111000111...	0.000110011001...	0.000101110100...	0.000101010101...	0.000100111011...
十进制	0.125	0.111111111111...	0.1	0.090909090909...	0.083333333333...	0.076923076923...
分数	1/8	1/9	1/10	1/11	1/12	1/13

对称三进制和三进制的比较

1.对称三进制采用-1，0，1作为基本字符，而普通三进制采用0，1，2作为基本字符。

2.对称三进制不需要符号位就能表示负数，而普通三进制需要符号位才能表示负数。

3.对称三进制乘法比较简单，移位、取非、相加就可以完成，便于处理；普通三进制，处理起来比较麻烦。

4.对称三进制在表示自然数的时候，比普通三进制要长

5.对称三进制在表示0.5₁₀~1₁₀之间的数的时候,整数部分为1,不直观;普通三进制没有这种现象

其他进制到三进制的转换

整数部分,一般使用长除法, 用基数除待转换数或上一步的商,求得余数或补数,直至最后的商为零.将各次余数从后往前排列,即为目标进制下的整数部分. 小数部分,一般使用长乘法,用基数乘待转换数或上一步的积,求得整数部分,将整数部分从前往后排列,即为目标进制下的小数部分 正负数需要分别处理.

十进制到普通三进制

例如，2356

2356/3=785余1，785/3=261余2，261/3=87，87/3=29，29/3=9余2，9/3=3，3/3=1，1/3=0余1

以上得知，2356的三进制为10020021

十进制到对称三进制

例如，2356，

2356/3=785余1；785/3=262少1，262/3=87余1，87/3=29，29/3=10少1，10/3=3余1，3/3=1，1/3=0余1

以上得知，2356的对称三进制为101F01F1

二进制到对称三进制

正数

比如0111 1010(十进制122)

01111010/11=101001少1;101001/11=1110少1;1110/11=101少1;101/11=10少1;10/11=1少1;1/11=0余1

01111010的对称3进制为1FFFFF

负数

比如1011 1010(-70)

取原码-1000110

1000110/11=10111余1;10111/11=1000少1;1000/11=11少1;11/11=1;1/11=0余1

得10FF1,逐位取非,得对称三进制为F011F

三进制计算机

早在上世纪50、60年代，一批莫斯科国立大学的研究员就设计了人类历史上第一批三进制计算机“Сетунь”和“Сетунь 70”（“Сетунь”是莫大附近一条流入莫斯科河的小河的名字）。

“Сетунь”是一台带有快速乘法器的时序计算机。小型的铁氧体随机存储器（容量为3页，即54字）充当缓存，在主磁鼓存储器中交换页面。这台计算机支持24条指令，其中3条为预留指令，目前不用。“Сетунь”总共生产了50台（包括样机）。从加里宁格勒到雅库茨克，从阿什哈巴德到新西伯利亚，全苏都能看到“Сетунь”的身影。各地都对“Сетунь”的反应不错，认为它编程简单（不需要使用汇编语言），适用于工程计算、工业控制、计算机教学等各个领域。

“Сетунь 70”是一台双堆栈计算机。其回叫堆栈用来调用子程序。这一简单的改进启发了荷兰计算机科学家艾兹格•W•迪科斯彻，为他日后提出“结构化程序设计”思想打下了基础。“Сетунь 70”成了莫斯科国立大学三进制计算机的绝唱。由于得不到上级的支持，这个科研项目不得不无限期停顿下来。

外部链接

• 三进制
• 三进制算术
• 三进制计算器
• 三进制转换