三重积

向量分析中，有两种方法将三个向量相乘，得到三重积。

• 标量三重积：三个向量中的一个和另两个向量的叉积相乘得到点积，其结果是个赝标量。

$\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c})= \mathbf{b}\cdot(\mathbf{c}\times \mathbf{a})= \mathbf{c}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b})$

几何上，该结果就是由这三个向量组成的平行六面体的（有符号的）体积。

• 向量三重积：三个向量中的一个和另两个向量的叉积相乘得到的叉积，其结果是个向量。

$\mathbf{a}\times (\mathbf{b}\times \mathbf{c}) = \mathbf{b}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}) - \mathbf{c}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})$

$(\mathbf{a}\times \mathbf{b})\times \mathbf{c} = -\mathbf{c}\times(\mathbf{a}\times \mathbf{b}) = -\mathbf{a}(\mathbf{c}\cdot\mathbf{b}) + \mathbf{b}(\mathbf{c}\cdot\mathbf{a})$

英文中有對於第一式有助記口訣 BAC-CAB (BACK-CAB，後面的出租車)，但是不容易記住第一式跟第二式的變化，很容易搞混。 觀察兩個公式，可得到以下三點:

• 兩個分項都帶有三個向量 ($\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$)
• 三重積一定是先做叉积的兩向量之線性組合
• 中間的向量所帶的係數一定為正(此處為向量$\mathbf{b}$)

解釋：
根據叉积的定義，$\mathbf{a}\times (\mathbf{b}\times \mathbf{c})$ 與 $(\mathbf{b}\times \mathbf{c})$ 垂直，也與$\mathbf{a}$垂直；而$(\mathbf{b}\times \mathbf{c})$又是向量$\mathbf{b}$與$\mathbf{c}$張開平面的法向量，因此$\mathbf{a}\times (\mathbf{b}\times \mathbf{c})$必然是$\mathbf{b}$與$\mathbf{c}$的線性組合。

$\mathbf{a}\times (\mathbf{b}\times \mathbf{c}) = x\mathbf{b} + y\mathbf{c}$

$\mathbf{a}\cdot[\mathbf{a}\times (\mathbf{b}\times \mathbf{c})] = x\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} + y\mathbf{a}\cdot\mathbf{c} = 0$

可得

$x:y = -(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}):(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})$

因此

$\mathbf{a}\times (\mathbf{b}\times \mathbf{c}) = -k(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})\mathbf{b} + k(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})\mathbf{c}$