三重积

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微积分学
\int_M \mathrm{d}\omega = \oint_{\partial M} \omega
函数 · 导数 · 微分 · 积分

向量分析中,有两种方法将三个向量相乘,得到三重积

  • 标量三重积:三个向量中的一个和另两个向量的叉积相乘得到点积,其结果是个赝标量

\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c})=
\mathbf{b}\cdot(\mathbf{c}\times \mathbf{a})=
\mathbf{c}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b})

几何上,该结果就是由这三个向量组成的平行六面体的(有符号的)体积

  • 向量三重积:三个向量中的一个和另两个向量的叉积相乘得到的叉积,其结果是个向量。
\mathbf{a}\times (\mathbf{b}\times \mathbf{c}) = \mathbf{b}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}) - \mathbf{c}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})
(\mathbf{a}\times \mathbf{b})\times \mathbf{c} = -\mathbf{c}\times(\mathbf{a}\times \mathbf{b}) = -\mathbf{a}(\mathbf{c}\cdot\mathbf{b}) + \mathbf{b}(\mathbf{c}\cdot\mathbf{a})

英文中有對於第一式有助記口訣BAC-CAB (BACK-CAB,後面的出租車),但是不容易記住第一式跟第二式的變化,很容易搞混。 觀察兩個公式,可得到以下三點:

  • 兩個分項都帶有三個向量 (\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}
  • 三重積一定是先做叉积的兩向量之線性組合
  • 中間的向量所帶的係數一定為正(此處為向量\mathbf{b}

解釋:
根據叉积的定義,\mathbf{a}\times (\mathbf{b}\times \mathbf{c})(\mathbf{b}\times \mathbf{c})垂直,也與\mathbf{a}垂直;而(\mathbf{b}\times \mathbf{c})又是向量\mathbf{b}\mathbf{c}張開平面的法向量,因此\mathbf{a}\times (\mathbf{b}\times \mathbf{c})必然是\mathbf{b}\mathbf{c}的線性組合。

\mathbf{a}\times (\mathbf{b}\times \mathbf{c}) = x\mathbf{b} + y\mathbf{c}
\mathbf{a}\cdot[\mathbf{a}\times (\mathbf{b}\times \mathbf{c})] = x\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} + y\mathbf{a}\cdot\mathbf{c} = 0

可得

 x:y = -(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}):(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})

因此

\mathbf{a}\times (\mathbf{b}\times \mathbf{c}) = -k(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})\mathbf{b} + k(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})\mathbf{c}