上闭集合

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数学中,上部集合向上闭合集合)是给定偏序集合 (X,≤) 的子集 Y,使得对于所有元素 xy,如果 x 小于等于 y,并且 xY 的一个元素,则 y 也在 Y 中。更加形式的说

\forall x\forall y\left[x \le y \and x \in Y \Rightarrow \; y \in Y\right]

对偶概念是下部集合(向下闭合集合),它是给定偏序集合 (X,≤) 的任何子集 Y,使得对于所有元素 xy,如果 x 小于等于 y,并且 yY 的一个元素,则 x 也在 Y 中。更加形式的说

\forall x\forall y\left[x \le y \and y \in Y \Rightarrow \; x \in Y\right]

性质[编辑]

所有偏序集合都是自身的上闭集合。上闭集合的交集还是上闭集合。任何上闭集合的补集都是下闭集合,反之亦然。

给定偏序集合 (X,≤),用包含关系排序的 X 的下闭集合的家族是完全格下闭集合格 O(X)。

给定有序集合 X 的任意子集 Y,包含 Y 的最小的上闭集合使用上箭头指示为 ↑Y。对偶的,包含 Y 的最小下闭集合使用下箭头指示为 ↓Y。下闭集合被称为主要的,如果它有 ↓{x} 的形式,这里的 xX 的一个元素。一个有限有序集合 X 的所有的下闭集合 Y 等于包含 Y 的所有极大元的最小下闭集合:Y = ↓Max(Y),这里的 Max(Y) 指示包含 Y 的极大元素的集合。

有向下闭集合叫做序理想

任何上闭集合的极小元形成一个反链(antichain)。反过来任何反链 A 确定一个上闭集合 {x:对于 A 中某个 y, xy}。对于满足降链条件的偏序,在反链和上闭集合之间这种对应是一对一的,但对于更一般的偏序这不为真。

序数[编辑]

序数通常被当作所有更小序数的集合。所以序数严格是序数的下闭集合。

引用[编辑]

  • Blanck, J. (2000) "Domain representations of topological spaces". Theoretical Computer Science, 247, 229–255.
  • Hoffman, K. H. (2001), The low separation axioms (T0) and (T1)
  • Davey, B.A., and Priestley, H. A. Introduction to Lattices and Order Second Edition. Cambridge University Press. 2002. ISBN 0-521-78451-4. 

外部链接[编辑]