下推自动机

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在自动机理论中，下推自动机(PDA)是使用了包含数据的栈的有限自动机。

目录

[编辑] 综述

下推自动机比有限状态自动机复杂：除了有限状态组成部分外，还包括一个长度不受限制的栈；下推自动机的状态迁移不但要参考有限状态部分，也要参照栈当前的状态；状态迁移不但包括有限状态的变迁，还包括一个栈的出栈或入栈过程。下推自动机可以形象的理解为，藉由加上讀取一個容量無限堆疊的能力，擴充一個能做ε-轉移的非確定有限狀態自動機。

下推自动机存在“确定”与“非确定”两种形式，两者并不等价。﹙对有限状态自动机两者是等价的﹚

每一个下推自动机都接受一个形式语言。被“非确定下推自动机”接受的语言是上下文无关语言。

如果我们把下推自动机扩展，允许一个有限状态自动机存取两个栈，我们得到一个能力更强的自动机，这个自动机与图灵机等价。

下推自动机作为一个形式系统最早于1961年出现在 Oettinger 的论文中。它与上下文无关文法的等价性是由乔姆斯基于1962年发现的。

[编辑] 形式定义

PDA 形式定义为 6-元组:

M=(Q,\ \Sigma,\ \Gamma,\ \delta, \ q_{0}, \ F) 这里的

  • \, Q 是状态的有限集合
  • \,\Sigma 是输入字母表的有限集合
  • \,\Gamma 是栈字母表的有限集合
  • \,\delta: Q \times \Sigma_{\epsilon} \times \Gamma_{\epsilon} \longrightarrow \mathcal{P}( Q \times \Gamma_{\epsilon} ) 是转移函数
  • q0 是“开始状态”
  • F\subset Q 是“接受状态”的集合
  • \Gamma_{\epsilon} = \Gamma\cup\{\epsilon\}
  • \Sigma_{\epsilon} = \Sigma\cup\{\epsilon\}

计算定义 1

对于任何 PDA M=(Q,\ \Sigma,\ \Gamma,\ \delta, \ q_{0}, \ F)，计算路径是一个有序的(n+1)-元组 (q_{0},\, q_{1}, ...., \,q_{n}) ，这里的 q_{i} \in Q, n \geq 0，它满足如下条件:

(i) \ \ (q_{i+1}, b_{i+1}) \in \delta (q_{i}, w_{i+1}, a_{i+1}) 对于 i = 0, 1, 2,......, n-1,

这里的 w_{i+1}\in \Sigma_{\epsilon}, \ a_{i+1}, \ b_{i+1}\in \Gamma_{\epsilon}

(ii) \exists\, s_{0},\, s_{1},\,s_{2},\,s_{3},\,\cdots,\,s_{n}\,\in\Gamma^{*} 使得

s_{i} = a_{i+1}t_{i},\,s_{i+1} = b_{i+1}t_{i},\, t_{i}\in\Gamma^{*}

在直觉上，PDA 在计算过程中任何一点上都面对着多种可能性，从栈顶读一个符号并把它替代为另一个符号，从栈顶读一个符号并删除它而不替换，不从栈顶读任何符号但压入另一个符号进去，或什么都不做。所有这些都同时由等式 s_{i} = a_{i+1}t_{i} \, 和 s_{i+1} = b_{i+1}t_{i} \, 来支配。s_{i} \, 是紧接在第 i+1 次转移移动之前的栈内容，而 a_{i+1} \, 是要从栈顶去除的符号。s_{i+1} \, 是紧接在第 i+1 次转移移动之后栈内容，而 b_{i+1} \, 是在第 i+1 次转移移动期间要增加到栈上的符号。

a_{i+1} \, 和 b_{i+1} \, 二者都可以 \epsilon \,。

如果 a_{i+1}\neq\epsilon \, 而 b_{i+1}\neq\epsilon \,，则 PDA 从栈读一个符号并把它替代为另一个符号。

如果 a_{i+1}\neq\epsilon \, 而 b_{i+1} = \epsilon \,，则 PDA 从栈读一个符号并删除它而不替换。

如果 a_{i+1} = \epsilon \, 而 b_{i+1}\neq\epsilon \,，则 PDA 简单的增加一个符号到栈上。

如果 a_{i+1} = \epsilon \, 而 b_{i+1} = \epsilon \,，则 PDA 保持栈不变动。

注意当 n=0 时，计算路径就是单元素集合 (q_0) \,。

计算定义 2

对于任何输入 w = w_1w_2 \cdots w_m, \ w_i \in \Sigma , m \geq 0，M 接受 w，如果存在计算路径 (q_{0},\, q_{1}, ...., \,q_{n}) \, 和有限序列 r_0, r_1, r_2,\cdots r_m \in Q, \ m \leq n，使得

(i) 对于每个 i = 0, 1, 2,...m，r_i \, 都在计算路径上。就是说

\exists f(i) 这里的 i \leq f(i) \leq n 使得 r_i = q_{f(i)} \,

(ii) (q_{f(i)+1}, b_{f(i)+1}) \in \delta(r_i, w_{i+1}, a_{f(i)+1}) 对于每个 i = 0, 1, 2,...m-1。

这里的 a_{f(i)+1} \, 和 b_{f(i)+1} \, 定义同于计算定义 1。

(iii) (q_{j+1}, b_{j+1}) \in \delta(q_j, \epsilon, a_{j+1})，如果 q_j \notin \{ r_0, r_1, \cdots r_m \}

这里的 a_{j+1} \, 和 b_{j+1} \, 定义同于计算定义 1。

(iv) r_m = q_n \, 且 r_m \in F

注意上述定义不提供测试空栈的机制。要这么做你需要在所有计算开始前在栈上写一个特殊符号，使得 PDA 可以在检测到这个符号的时候有效的识别出栈已经空了。形式的说，实现它可通过介入转移 \delta (q_0, \epsilon,\,\epsilon) = \{(q_1, $)\} 这里的 $ 是特殊符号。

[编辑] 例子

下面是识别语言 \{0^n1^n | n \ge 0 \} 的 PDA 的形式描述:

M=(Q,\ \Sigma,\ \Gamma,\ \delta, \ q_{1}, \ F)

  • Q = \{ q_1, q_2, q_3, q_4 \} \,
  • \Sigma = \{ 0, 1 \} \,
  • \Gamma = \{0, $ \} \,
  • F = \{q_1, q_4 \} \,
  • \delta (q_1, \epsilon, \epsilon) = \{ (q_2, $), (q_1, \epsilon) \} \,
  • \delta (q_2, 0, \epsilon) = \{ (q_2, 0) \} \,
  • \delta (q_2, 1, 0) = \{ (q_3, \epsilon) \} \,
  • \delta (q_3, 1, 0) = \{ (q_3, \epsilon) \} \,
  • \delta (q_3, \epsilon, $) = \{ (q_4, \epsilon) \} \,
  • \delta (q, w, a) = \varnothing 对于任何其他状态、输入和栈符号的值。

[编辑] 理解计算过程

下面展示上述 PDA 如何计算不同的输入字符串。

(a) 输入字符串 = 0011

(i) 写 δ(q1, ε, ε) \rightarrow (q2, $) 来表示 (q2, $) \in δ(q1, ε, ε)
s0 = ε, s1 = $, t = ε, a = ε, b = $
设置 r0 = q2
(ii) δ(r0, 0, ε) = δ(q2, 0, ε) \rightarrow (q2, 0)
s1 = $, a = ε, t = $, b = 0, s2 = 0$
设置 r1 = q2
(iii) δ(r1, 0, ε) = δ(q2, 0, ε) \rightarrow (q2, 0)
s2 = 0$, a = ε, t = 0$, b = 0, s3 = 00$
设置 r2 = q2
(iv) δ(r2, 1, 0) = δ(q2, 1, 0) \rightarrow (q3, ε)
s3 = 00$, a = 0, t = 0$, b = ε, s4 = 0$
设置 r3 = q3
(v) δ(r3, 1, 0) = δ(q3, 1, 0) \rightarrow (q3, ε)
s4 = 0$, a = 0, t = $, b = ε, s5 = $
(vi) δ(q3, ε, $) \rightarrow (q4, ε)
s5 = $, a = $, t = ε, b = ε, s6 = ε
设置 r4 = q4
因为 q4 是接受状态，0011 被接受。
作为总结，计算路径 = (q1, q2, q2, q2, q3, q3, q4)
而 (r0, r1, r2, r3, r4) = (q2, q2, q2, q3, q4)

(b) 输入字符串 = 001

计算移动 (i), (ii), (iii), (iv) 将必定同于情况 (a)，否则，PDA 在到达 (v) 之前就已经进入死胡同。
(v) δ(r3, ε, a) = δ(q3, ε, a)
因为 s4 = 0$，要么 a = ε 要么 a = 0
在任何一种情况下，δ(q3, ε, a) = \varnothing
因此计算在 r3 = q3 进入死胡同，这不是接受状态。所以 001 被拒绝。

(c) 输入字符串 = ε

设置 r0 = q1, r1 = q1
δ(r0, ε, ε) \rightarrow (q1, ε)
因为 q1 是接受状态，ε 被接受。

[编辑] 广义下推自动机(GPDA)

GPDA 是在一个步骤内写入整个字符串到栈上或从栈上去除整个字符串的 PDA。

GPDA 形式定义为 6-元组 M=(Q,\ \Sigma,\ \Gamma,\ \delta, \ q_{0}, \ F)

这里的 Q, \Sigma\,, \Gamma\,, q0 和 F 的定义同于 PDA。
\,\delta: Q \times \Sigma_{\epsilon} \times \Gamma^{*} \longrightarrow \mathcal{P}( Q \times \Gamma^{*} ) 是转移函数。

GPDA 的计算规则同于 PDA，除了 ai+1 和 bi+1 现在是字符串而不是符号之外。

GPDA 和 PDA 是等价的，如果一个语言可被一个 PDA 识别，它也可被一个 GPDA 识别，反之亦然。

可以使用下列模拟公式化对 GPDA 和 PDA 的等价性的一个分析式证明:

设 δ(q1, w, x1x2...xm) \longrightarrow (q2, y1y2...yn) 是 GPDA 的转移。

这里的 q1, q2 \in Q, w \in\Sigma_{\epsilon}\,, x1x2...xm \in\Gamma^{*}, m\geq0, y1y2...yn \in\Gamma^{*}, n\geq0。

构造 PDA 的下列转移:

δ'(q1, w, x1) \longrightarrow (p1, ε)
δ'(p1, ε, x2) \longrightarrow (p2, ε)
\vdots
δ'(pm-1, ε, xm) \longrightarrow (pm, ε)
δ'(pm, ε, ε ) \longrightarrow (pm+1, yn)
δ'(pm+1, ε, ε ) \longrightarrow (pm+2, yn-1)
\vdots
δ'(pm+n-1, ε, ε ) \longrightarrow (q2, y1)

[编辑] 参见

[编辑] 外部链接

[编辑] 参考书目

  • 《自动机理论、语言和计算导引》，John E. Hopcroft，Jeffery D. Ullman，徐美瑞译，洪加威校，科学出版社，1986年
  • Michael Sipser（1997）．Introduction to the Theory of Computation．PWS Publishing．ISBN 0-534-94728-X．  Section 2.2: Pushdown Automata, pp.101–114.
自动机理论: 形式语言和形式文法
乔姆斯基层级 文法 语言 极小自动机
类型 0 无限制 递归可枚举 图灵机
n/a (无公用名) 递归 判定器
类型 1 上下文有关 上下文有关 线性有界
n/a 附标 附标 嵌套堆栈
n/a 树-邻接 适度上下文有关 嵌入下推
类型 2 上下文无关 上下文无关 非确定下推
n/a 确定上下文无关 确定上下文无关 确定下推
类型 3 正则 正则 有限
每个语言或文法范畴都是其直接上面的范畴的真子集。
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