不可克隆原理

不可克隆原理 是量子物理的一个重要结论，即不可能构造一个能够完全复制任意量子比特，而不对原始量子比特产生干扰的系统。量子力学的线性特征是这个原理的根本原因。

不可克隆原理是量子信息学的基础。量子信息在信道中传输，不可能被第三方复制而窃取信息而不对量子信息产生干扰。因此这个原理也是量子密码学的基石。

证明

为了证明不可克隆原理，我们首先假定，存在一个系统能够完全拷贝任意的量子比特。

$|\phi \rangle$ 和 $|\psi \rangle$ 是两个任意的量子状态，我们要把这两个状态拷贝到另一个与他们完全无关的状态$|k \rangle$上。我们用一个幺正算符$U$来描述这个过程。则这个拷贝算符必须具备以下性质：

$U(|\phi \rangle \otimes |k \rangle) = |\phi \rangle \otimes |\phi \rangle$

$U(|\psi \rangle \otimes |k \rangle) = |\psi \rangle \otimes |\psi \rangle$

内积$\langle U(\phi \otimes k) | U(\psi \otimes k) \rangle$可得出以下两个等式：

$\langle U(\phi \otimes k) | U(\psi \otimes k) \rangle = \langle \phi \otimes \phi | \psi \otimes \psi \rangle$

$\langle U(\phi \otimes k) | U(\psi \otimes k) \rangle = \langle \phi \otimes k | \psi \otimes k \rangle$

这样便得到了：

$\langle \phi \otimes \phi | \psi \otimes \psi \rangle = \langle \phi \otimes k | \psi \otimes k \rangle,$

=>

$\langle \phi | \psi \rangle \langle \phi | \psi \rangle = \langle \phi | \psi \rangle \langle k | k \rangle\,.$

因为$\langle k | k \rangle = 1$，所以得出

$\langle \phi | \psi \rangle^2 = \langle \phi | \psi \rangle.$

这个等式仅有的两个解是$\langle \phi | \psi \rangle = 0$ 和 $\langle \phi | \psi \rangle = 1$。这意味着，要么 $\phi = \psi$ （当 $\langle \phi | \psi \rangle = 1$），要么 $\phi$ 与 $\psi$ 正交（当 $\langle \phi | \psi \rangle = 0$)。只能够克隆相同或正交的状态，这并不是我们最初假设的任意状态的完全克隆，不可克隆原理证明完毕。

举例

无法从$| \psi \rangle$造出$| \psi \rangle | \psi \rangle$。

设状态$| \psi \rangle = a|0\rangle + b|1\rangle$。 则$| \psi \rangle | \psi \rangle = a^2|00\rangle + ab|01 \rangle + ab|10 \rangle + b^2|11 \rangle$

把$| \psi \rangle$与$|0 \rangle$ 作为输入：

$| \psi \rangle |0 \rangle = \bigg( a|0\rangle + b|1\rangle \bigg)|0 \rangle = a|00\rangle + b|10 \rangle$

经过CNOT门，输出:

$a|00\rangle + b|11\rangle$

这与$| \psi \rangle | \psi \rangle$ 并不相等，状态没有被复制。