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不可壓縮流

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連續介質力學裏,不可壓縮流流速散度等於零的流動,更精確地稱為等容流。這理想流動可以用來簡化理論分析。實際而言,所有的物質多多少少都是可壓縮的。請注意「等容」這術語指的是流動性質,不是物質性質;意思是說,在某種狀況,一個可壓縮流體會有不可壓縮流的動作。由於做了不可壓縮這假設,物質流動的主導方程式能夠極大地簡化。

不可壓縮流遵守以下方程式:

\nabla \cdot \mathbf{u} = 0\,\!

其中,\mathbf{u}\,\! 是物質流動的速度

根據連續方程式

 \frac{\partial{\rho}}{\partial{t}} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{u} ) = 0\,\!

其中,\rho\,\! 是物質密度

隨體導數(material derivative)表達,

 \frac{D\rho}{Dt}\ \stackrel{def}{=}\ \frac{\partial{\rho}}{\partial{t}}+ (\nabla \rho) \cdot\mathbf{u}= - \rho (\nabla \cdot \mathbf{u} )\,\!

由於  \rho > 0\,\! ,一個流動是不可壓縮流,若且唯若

\frac{D\rho}{Dt} = 0\,\!

也就是說,隨著物質元素的移動,質量密度是常數。

與壓縮因子的關係[编辑]

在某些學術領域,一個流動的不可壓縮性質的度量,是由壓強的變化而造成的密度改變給出。這最好以壓縮因子 Z\,\! 表達:

Z = \frac{1}{\rho} \frac{d\rho}{dp}\,\!

其中,p\,\! 是壓強。

假若壓縮因子足夠微小,則視此流動為不可壓縮流。

與螺線向量場的關係[编辑]

一個不可壓縮流的速度場 \mathbf{u}\,\!螺線向量場,又稱零散度場,其速度的散度等於零。不可壓縮流的速度場 \mathbf{u}\,\! 可以表示為一向量勢 \mathbf{A}\,\!旋度

\mathbf{u}=\nabla\times\mathbf{A}\,\!

假設,這不可壓縮流的速度的旋度也等於零,則其速度場也是無旋場。對於這狀況 \mathbf{u}\,\! 是一個拉普拉斯向量場(Laplacian vector field),可以表示為一純量勢 \phi\,\!梯度

\mathbf{u}=\nabla\phi\,\!

這純量勢 \phi\,\! 滿足拉普拉斯方程式

\nabla^2\phi=0\,\!

不可壓縮物質[编辑]

不可壓縮物質定義為,在任何位置 \mathbf{r}\,\! 與時間,密度恆定的物質。以方程式表達,

\rho(\mathbf{r},t) = constant \,\!

這意味著密度不會因時間而改變:

 \frac{\partial{\rho}}{\partial{t}} = 0 \,\!

而且,密度是均勻的:

\nabla \rho = 0\,\!

連續方程式,可以推論

 \frac{D\rho}{Dt} = \frac{\partial{\rho}}{\partial{t}} + \mathbf{u}  \cdot \nabla \rho = 0 \implies \nabla \cdot \mathbf{u}  = 0 \,\!

所以,不可壓縮物質的流動永遠是不可壓縮流;但是,反過來推論則不正確。

參考文獻[编辑]

參閱[编辑]