不可數集

不可數集是無窮集合中的一種。一個無窮集合和整數集之間要是不存在一個双射，那麼它就是一個不可數集。集合的不可数性与它的基数密切相关：如果一个集合的基数大于自然数的基数，那么它就是不可数的。

特征

不可数集有许多等价的特征。一个集合X是不可数集，当且仅当以下任何一个条件成立：

• 不存在从X到自然数集合的单射函数。

• X的基数既不是有限的，又不等于$\aleph_0$（阿列夫-0，自然数集合的基数）。
• X的基数严格大于$\aleph_0$。

性质

• 如果不可数集X是集合Y的子集，则Y是不可数集。

例子

不可数集的最广为人知的例子，是所有实数的集合R；对角论证法证明了这个集合是不可数的。对角论证法也可以用来证明一些其它的集合是不可数的，例如所有自然数的无穷序列的集合（甚至是所有只由0和1所组成的无穷序列的集合），以及自然数集合的所有子集所组成的集合。R的基数通常记为c、$2^{\aleph_0}$，或$\beth_1$。

康托尔集是R的一个不可数子集。它是一个分形，其豪斯多夫维大于零，但小于一（R的维数是一）。这是以下事实的一个例子：R的任何豪斯多夫维严格大于零的子集都一定是不可数的。

另外一个不可数集的例子，是所有从R到R的函数的集合。这个集合比R更“不可数”，因为它的基数是$\beth_2$，它比$\beth_1$还要大。

一个更加抽象的例子，是所有可数序数的集合，记为Ω或ω₁。Ω的基数记为$\aleph_1$。利用选择公理，可以证明$\aleph_1$是最小的不可数基数。于是，实数的基数$\beth_1$，要么等于$\aleph_1$，要么严格比它大。康托尔是第一个提出$\beth_1$是否等于$\aleph_1$的问题的人。在1900年，希尔伯特把这个问题作为它的23个问题之一。$\aleph_1 = \beth_1$的陈述现在称为连续统假设，不依赖于集合论的策梅洛-弗兰克尔公理（包括选择公理）。

参见

• 阿列夫数
• 自然数
• 单射函数

参考文献

• Halmos, Paul，Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
• Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.

外部链接

• 证明R是不可数集