不可數集

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不可數集無窮集合中的一種。一個無窮集合和自然数之間要是不存在一個双射,那麼它就是一個不可數集。集合的不可数性与它的基数密切相关:如果一个集合的基数大于自然数的基数,那么它就是不可数的。

定義[编辑]

不可数集有许多等价的定義。一个集合X是不可数集,当且仅当以下任何一个条件成立:

  • 不存在从X到自然数集合的单射函数
  • X基数既不是有限的,又不等于\aleph_0阿列夫-0,自然数集合的基数)。
  • X的基数严格大于\aleph_0

性质[编辑]

  • 如果不可数集X是集合Y的子集,则Y是不可数集。

例子[编辑]

不可数集的最广为人知的例子,是所有实数的集合R对角论证法证明了这个集合是不可数的。对角论证法也可以用来证明一些其它的集合是不可数的,例如所有自然数的无穷序列的集合(甚至是所有只由0和1所组成的无穷序列的集合),以及自然数集合的所有子集所组成的集合。R的基数通常记为c2^{\aleph_0},或\beth_1

康托尔集R的一个不可数子集。它是一个分形,其豪斯多夫维大于零,但小于一(R的维数是一)。这是以下事实的一个例子:如果R的某個子集有严格大于零的豪斯多夫维,那麼它一定是不可数的。

另外一个不可数集的例子,是所有从RR的函数的集合。这个集合比R更“不可数”,因为它的基数是\beth_2,它比\beth_1还要大。

一个更加抽象的例子,是所有可数序数的集合,记为Ω或ω1。Ω的基数记为\aleph_1。利用选择公理,可以证明\aleph_1是最小的不可数基数。于是,实数的基数\beth_1,要么等于\aleph_1,要么严格比它大。康托尔是第一个提出\beth_1是否等于\aleph_1的问题的人。在1900年,希尔伯特把这个问题作为它的23个问题之一。\aleph_1 = \beth_1的陈述现在称为连续统假设,現已知道它獨立于集合论ZF公理(包括选择公理)。

参见[编辑]

参考文献[编辑]

外部链接[编辑]