不确定性原理

海森堡不确定性原理的紀念郵票

在量子力學裏，不確定性原理（uncertainty principle）表明，粒子的位置與動量不可同時被確定，位置的不確定性 $\Delta {x}$ 與動量的不確定性 $\Delta {p}$ 遵守不等式

$\Delta {x}\Delta {p} \geq \hbar/2$ ，

其中，$\hbar$ 是約化普朗克常数。

維爾納·海森堡於1927年發表論文給出這原理的原本啟發式論述，因此這原理又稱為「海森堡不确定性原理」。同年稍後，厄爾·肯納德（Earl Kennard）更嚴格地推導出這原理的關係不等式（赫爾曼·外爾隔年也獨立獲得這結果）。

長久以來，不確定性原理與另一種類似的物理效應（稱為觀察者效應）時常會被混淆在一起。觀察者效應指出，對於系統的測量不可避免地會影響到這系統。為了解釋量子不確定性，海森堡援用的是量子層級的觀察者效應。之後，物理學者漸漸發覺，海森堡的解釋只適用於某些特別案例，不能夠應用於其它案例。不確定性原理是所有類波系統的內秉性質，它之所以會出現於量子力學完全是因為量子物體的波粒二象性。不確定性原理實際表現出量子系統的基礎性質，而不是對於當今科技實驗觀測能力的定量評估。在這裏特別強調，測量不是只有實驗觀察者參與的過程，而是經典物體與量子物體之間的相互作用，不論是否有任何觀察者參與這過程。

类似的不确定性關係式也存在于能量和时间、角动量和角度等物理量之间。由於不確定性原理是量子力學的重要結果，很多一般實驗都時常會涉及到關於它的一些問題。有些實驗會特別檢驗這原理或類似的原理。例如，檢驗發生於超導系統或量子光學系統的「數字－相位不確定性原理」。對於不確定性原理的相關研究可以用來發展引力波干涉儀所需要的低噪聲科技。

名称

有很久一段时间，不确定性原理被称為「测不準原理」，但事实上，不确定性原理是類波系統內秉的性質，与测量準確不準確並没有关系（请查閱本条目稍後观察者效应一节），因此，该译名並未正確表達出这原理的內涵。另外，英语称此原理为「Uncertainty Principle」，直译为「不确定性原理」，并没有「测不準原理」这种说法，其他语言与英语的情况类似，除中文外，并无「测不準原理」一词。现今，在中国大陆的教科书中，该原理的正式译名也已改为「不确定性原理」。

歷史

緊跟在漢斯·克拉默斯（Hans Kramers）的開拓工作之後，1925 年 6 月，維爾納·海森堡發表論文《運動與機械關係的量子理論重新詮釋》（Quantum-Theoretical Re-interpretation of Kinematic and Mechanical Relations），創立了矩陣力學。舊量子論漸漸式微，現代量子力學正式開啟。矩陣力學大膽地假設，關於運動的經典概念不適用於量子層級。在原子裏的電子並不是運動於明確的軌道，而是模糊不清，無法觀察到的軌域；其對於時間的傅立葉變換只涉及從量子躍遷中觀察到的離散頻率。

海森堡在論文裏提出，只有在實驗裏能夠觀察到的物理量才具有物理意義，才可以用理論描述其物理行為，其它都是無稽之談。因此，他避開任何涉及粒子運動軌道的詳細計算，例如，粒子隨著時間而改變的確切運動位置。因為，這運動軌道是無法直接觀察到的。替代地，他專注於研究電子躍遷時，所發射的光的離散頻率和強度。他計算出代表位置與動量的無限矩陣。這些矩陣能夠正確地預測電子躍遷所發射出光波的強度。

同年 6 月，海森堡的上司馬克斯·玻恩，在閱讀了海森堡交給他發表的論文後，發覺了位置與動量無限矩陣有一個很顯著的關係──它們不互相對易。這關係稱為正則對易關係，以方程式表示為：

$[x,\,p] = xp - px= i \hbar$ 。

在那時，物理學者還沒能清楚地了解這重要的結果，他們無法給予合理的詮釋。

海森堡與波耳共同討論問題

1926 年，海森堡任聘為哥本哈根大學尼爾斯·波耳研究所的講師，幫尼爾斯·波耳做研究。在那裏，海森堡表述出不確定性原理，從而為後來知名為哥本哈根詮釋奠定了的堅固的基礎。海森堡證明，對易關係可以推導出不確定性，或者，使用波耳的術語，互補性：不能同時觀測任意兩個不對易的變量；更準確地知道其中一個變量，則必定更不準確地知道另外一個變量。

在他著名的1927年論文裏，海森堡寫出以下公式

$\Delta x \Delta p\approx h$ 。

這公式給出了任何位置測量所造成的最小無法避免的動量不確定值。雖然他提到，這公式可以從對易關係導引出來，他並沒有寫出相關數學理論，也沒有給予 $\Delta x$ 和 $\Delta p$ 確切的定義。他只給出了幾個案例（高斯波包）的合理估算。在海森堡的芝加哥講義裏，他又進一步改善了這關係式：

$\Delta x\Delta p\gtrsim h$ 。

1927年厄爾·肯納德（Earl Kennard）首先證明了現代不等式：

$\Delta x\Delta p\ge\hbar/2$ ；

其中，$\Delta x$ 是位置標準差，$\Delta p$ 是動量標準差，$\hbar$ 是約化普朗克常數。

1929年，霍華德·羅伯森（Howard Robertson）給出怎樣從對易關係求出不確定關係式。

觀察者效應

不確定性原理時常會被這樣解釋：粒子位置的測量不可避免地擾亂了粒子的動量；反之亦然，粒子動量的測量不可避免地擾亂了粒子的位置。換句話說，不確定性原理是一種觀察者效應。

從現代角度來看，這解釋時常會造成誤導，在概念上，似乎這擾亂是可以避免的，因為粒子的量子態可以同時擁有明確的位置和明確的動量，問題是現今最先進實驗儀器仍舊無法製備出這些量子態。但是，這概念並不正確，同時具有明確位置與明確動量的量子態並不存在，不能歸咎於實驗儀器。因此，最洽當的名稱應該是「不确定性原理」，而不是「测不準原理」。

海森堡並沒有專注於量子力學的數學表述，他主要的目標是在建立一種事實──不確定性是宇宙的一種特性； 任何實驗絕對無法，超過量子力學所允許範圍，更準確地測量一個粒子的位置和動量。在證明這事實時，海森堡的物理論點是以量子的存在為基礎，而不是使用整個量子力學形式論。

海森堡這樣做的主要原因是，在那時，量子力學尚未被學術界廣泛的接受。不確定性原理是個相當詫異的結果。許多物理學家認為，明確位置與明確動量的量子態的不存在，是量子力學的一個瑕疵。海森堡試圖表明這不是一個瑕疵，而是一個特色，宇宙的一個又深奧微妙，又令人驚訝的特色。為了要達到這目的，他不能使用量子力學形式論，因為他要辯護的正是量子力學形式論本身。

海森堡顯微鏡實驗

海森堡假想測量電子（藍點）位置的伽瑪射線顯微鏡。波長為 $\lambda$ 的偵測伽瑪射線（以綠色表示），被電子散射後，進入孔徑角為 $\theta$ 的顯微鏡。散射後的伽瑪射線以紅色表示。在經典光學裏，分辨電子位置的不確定性是 $\Delta x=\lambda/2\theta$ 。

為了辯解不確定性原理，海森堡設計出伽瑪射線顯微鏡思想實驗。在這實驗裏，實驗者朝著電子發射出一個光子來測量電子的位置和動量。波長短的光子可以很準確地測量到電子位置；但是，它的動量很大，而且會因為被散射至隨機方向，轉移了一大部分不確定的動量給電子。波長很長的光子動量很小，這散射不會大大地改變電子的動量。可是，電子的位置也只能大約地被測知。 根據瑞利準則，顯微鏡準確分辨電子位置的不確定性 $\Delta x$ 大約為

$\Delta x\approx f\lambda/D$ ；

其中，$f$ 是顯微鏡的焦距，$\lambda$ 是光子波長，$D$ 是孔徑的直徑。

假設電子原本的位置是在顯微鏡的焦點，

$\tan\theta=D/2f$ ；

其中，$\theta$ 是孔徑角，對於小角弧，$\tan\theta\approx \theta$ 。

所以，

$\Delta x\approx \lambda/2\theta$ 。

由於動量守恆定律，光子的碰撞會改變電子的動量。根據康普頓散射理論，電子動量的不確定性 $\Delta p$ 是

$\Delta p\approx p\sin(2\theta)\approx 2h\theta/\lambda$ ；

其中，$p=h/\lambda$ 是光子的動量，$h$ 是普朗克常數。

對於這測量運作，位置不確定性和動量不確定性的乘積關係為

$\Delta x\Delta p\approx h$ 。

這是海森堡不確定性原理的近似表達式。

單狹縫衍射

單狹縫實驗示意圖。

粒子的波粒二象性的概念可以用來解釋位置不確定性和動量不確定性的關係。自由粒子的波函數為平面波。假設，這平面波入射於刻有一條狹縫的不透明擋板，平面波會從狹縫衍射出去，在檔牆後面的偵測屏，顯示出干涉圖案。根據單狹縫衍射公式，從中央極大值位置（最大波強度之點）到第一個零點（零波強度之點）的夾角 $\theta$ 為

$\sin\theta= \lambda/w$ ；

其中，$\lambda$ 是平面波的波長，$w$ 是狹縫寬度。

給定平面波的波長，狹縫越窄，衍射現象越寬闊，$\theta$ 越大；狹縫越寬，衍射現象越窄縮，$\theta$ 越小。

當粒子穿過狹縫之前，在 y 方向（垂直於粒子前進方向，x 方向）的動量 $p_y$ 是零。穿過狹縫時，粒子的 $p_y$ 遭遇擾亂。新的 $p_y$ 可以由粒子抵達偵測屏的位置計算出來。$p_y$ 的不確定性 $\Delta p_y$ 大約是

$\Delta p_y\approx p\sin\theta\approx p\theta\approx p\lambda/w$

當粒子穿過狹縫時，粒子的位置不確定性 $\Delta y$ 是狹縫寬度：$\Delta y\approx w$ 。

所以，位置不確定性與動量不確定性的乘積大約為

$\Delta y\Delta p_y\approx\lambda p$ 。

從德布羅意假說，

$\lambda=h/p$ 。

所以，位置不確定性與動量不確定性遵守近似式

$\Delta y\Delta p_y\approx h$ 。

理論概述

在數學方面，位置與動量之所以會存在有不確定性關係，純然是因為表達於位置空間與動量空間的波函數分別是彼此的傅立葉變換（也就是說，位置與動量是共軛對偶）。在傅立葉分析裏，類似的關係式也會出現於其它傅立葉共軛對偶。例如，在聲學裏，純音的音波頻率集中於單一頻率，其傅立葉變換給出的在時域內的聲波形狀完全不具局域性（去局域性）的正弦波。在量子力學裏，粒子的位置與動量是共軛對偶，粒子在位置空間的位置呈物質波的形狀，動量可以用德布羅意關係式 $p=\hbar k$ 給出，其中，$k$ 是物質波的波數。

按照量子力學的數學表述，任意代表不相容可觀察量的共軛對偶必須遵守類似的不確定性限制。可觀察量的本徵態代表測量結果為其對應本徵值的量子態。例如，給定不相容可觀察量 $A$ 、$B$ 。假若對於可觀察量 $A$ 做測量，則在測量之後，系統的量子態會是 $A$ 的某個本徵態 $|a\rang$ 。這本徵態 $|a\rang$ 通常不會是 $B$ 的本徵態。

平面波

波包

德布羅意波的1維傳播，複值波幅的實部以藍色表示、虛部以綠色表示。在某位置找到粒子的機率（以顏色的不透明度表示）呈波形狀延展。

波動力學裏，波函數描述粒子的量子行為。在任意位置，波函數絕對值的平方是粒子處於那位置的機率；機率越高，則粒子越常處於那位置。動量則與波函數的波數有關。

根據德布羅意假說，物體是物質波，這性質稱為波粒二象性。粒子的位置可以用波函數 $\Psi(x,t)$ 描述。假設這波函數的空間部分 $\psi(x)$ 是單色平面波，以方程式表示

$\psi(x) \propto e^{ik_0 x} = e^{ip_0 x/\hbar}$；

其中，$k_0$ 是波數，$p_0$ 是動量。

玻恩定則（Born rule）表明，波函數可以用來計算機率，在位置 $a$ 與 $b$ 之間找到粒子的機率 $P$ 為

$P[a \leq x \leq b] = \int_a^b |\psi(x)|^2 \, \mathrm{d}x$ 。

對於單色平面波案例，$|\psi(x)|^2$ 是均勻分佈，這粒子的位置極端不確定，因為，它在 $a$ 與 $b$ 之間任意位置的機率都一樣。

假設某波函數是很多正弦波的疊加：

$\psi(x) \propto \sum_{n} A_n e^{i p_n x/\hbar}$ ；

其中，係數 $A_n$ 是動量為 $p_n$ 的粒子模態的貢獻。

取連續性極限，波函數是所有可能模態的積分：

$\psi(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \int_{-\infty}^{\infty} \phi(p) \cdot e^{i p x/\hbar} \, \mathrm{d}p$ ；

其中，$\phi(p)$ 是這些連續性模態的數值，稱為動量空間的波函數。

以數學術語表達，$\psi(x)$ 的傅立葉變換是 $\phi(p)$ ，位置 $x$ 與動量 $p$ 是共軛對偶。將這些平面波疊加在一起的副作用是動量的不確定性變大，$\psi(x)$ 是很多不同動量的平面波組成的混合波。標準差 $\sigma$ 定量地描述位置與動量的不確定性。粒子位置的機率密度函數 $|\psi(x)|^2$ 可以用來計算其標準差。使用更多平面波，可以減低位置的不確定性，即減低 $\sigma_x$ ，但也因此增加動量的不確定性，即增加 $\sigma_p$ 。這就是不確定性原理的概念。

導引

當兩個算符 $\hat{A}$ 和 $\hat{B}$ 作用於一個函數 $\psi(x)$ 時，它們不一定會對易。例如，設定 $\hat{B}$ 為乘以 $x$ ，設定 $\hat{A}$ 為對於 $x$ 的導數。那麼，

$(\hat{A}\hat{B} - \hat{B}\hat{A}) \psi = \frac{d}{dx} ( x \psi) - x \frac{d}{dx} \psi = \psi$ 。

使用算符語言，可以表達為

${d\over dx} x - x {d\over dx} = 1$ 。

這例子很重要。因為，它很像量子力學的正則對易關係。特別地，位置 $x$ 和動量 $p$ 的正則對易關係是

$[x,p]=(\hat{x}\hat{p} - \hat{p}\hat{x})= - i\hbar x\frac{d}{dx}+i\hbar\frac{d}{dx}x =i\hbar$ 。

在希爾伯特空間內，任意兩個態向量 $|\alpha\rangle$ 和 $|\beta\rangle$ ，必定滿足柯西-施瓦茨不等式：

$\langle\alpha|\alpha\rangle \langle\beta|\beta\rangle\ge|\langle\alpha|\beta\rangle|^2$ 。

限制算符 $\hat{A}$ 和 $\hat{B}$ 為厄米算符。它們所代表的都是可觀察量。設定

$\alpha=\hat{A}\psi$ ，

$\beta=\hat{B}\psi$ 。

那麼，按照柯西-施瓦茨不等式，

$\langle \hat{A}\psi|\hat{A}\psi\rangle \langle \hat{B}\psi|\hat{B}\psi\rangle\ge |\langle \hat{A}\psi|\hat{B}\psi\rangle|^2$ 。

注意到任意複數的絕對值平方必定大於或等於其虛數部分的絕對值平方：

$|\langle \hat{A}\psi|\hat{B}\psi\rangle|^2 \ge |\mathfrak{im}(\langle \hat{A}\psi|\hat{B}\psi\rangle)|^2 =\frac{1}{4} |2\ \mathfrak{im}(\langle \hat{A}\psi|\hat{B}\psi\rangle)|^2$ ；

其中，$\mathfrak{im}$ 表示取右邊項目的虛數。

複數的虛數部分等於這複數與其共軛複數的差額除以 $2i$ ：

$\mathfrak{im}(\langle \hat{A}\psi|\hat{B}\psi\rangle)=\frac{\langle \hat{A}\psi|\hat{B}\psi\rangle - \langle \hat{A}\psi|\hat{B}\psi\rangle^*}{2i}=\frac{\langle\psi|[A,B]|\psi\rangle}{2i}$ 。

從上述這三條公式，可以得到羅伯森-薛丁格關係式的一種形式：

$\langle A^2 \rangle \langle B^2 \rangle \ge \frac{1}{4}|\langle [A,B]\rangle|^2$。

羅伯森-薛丁格不確定性關係式還不是不確定性原理的關係式。為了要求得不確定性原理的關係式，執行以下替換：

$A\to A - \langle A\rangle$ ，

$B\to B - \langle B\rangle$ 。

那麼，

$\langle ( A - \langle A\rangle)^2 \rangle \langle (B - \langle B\rangle)^2 \rangle \ge \frac{1}{4}|\langle [A - \langle A\rangle,B - \langle B\rangle]\rangle|^2=\frac{1}{4}|\langle [A,B]\rangle|^2$。

定義標準差 $\Delta X$ 為

$\Delta X\ \stackrel{def}{=}\ \sqrt{\langle(X - \langle X\rangle)^2\rangle}=\sqrt{\langle X^2\rangle - \langle X\rangle^2}$ 。

標準差就是不確定性。任意兩個可觀察量的不確定性原理為

$\Delta A\Delta B\ge\frac{1}{2}|\langle [A,B]\rangle|$ 。

實驗檢試

粒子的位置頻率分佈圖與動量頻率分佈圖顯示出標準差 $\Delta x$ 、$\Delta p$ 與測量誤差 $\delta x$ 、$\delta p$ 的不同之處。不確定性原理表明，$\Delta x\Delta p\ge \hbar/2$ 。

給定一個由很多單粒子系統組成的系綜，在這系綜裏，每一個單粒子系統都是按照同樣方法製備而成，都可以用同樣的量子態來描述。現在，獨立重複地以同樣方法對每一個單粒子系統只測試位置或只測試動量（不是同時測試位置與動量），所得到的數據，可以繪成右邊所示粒子位置與動量的頻率分佈圖頻率分佈圖。圖內也顯示出標準差 $\Delta x$ 、$\Delta p$ （統計分佈的半寬）與測量的分辨率 $\delta x$ 、$\delta p$ （測量的誤差），兩者之間的不同。根據不確定性原理，位置標準差與動量標準差的乘積至少為 $\hbar/2$ 。不確定性原理給出的不是分辨率關係式。

二十世紀初期，實驗儀器不夠優良，測量的分辨率很大，時常會大於統計分佈的標準差，因此無法嚴格檢驗不確定性原理。現今時代，由於科技快速進步，實驗儀器發展製作非常精良，已達到分辨率小於標準差的水準。

局域性波包

一個局域性的波包必定沒有很明確的波數。假設一個波包的尺寸大約為 $L$ ．那麼，通過點數波包的週期數 $N$ ，可以知道其波數 $k$ ：

$k=2\pi N/L$ 。

假若，點數 $N$ 的不確定性為 $\Delta N=1$ ，那麼，波數的不確定性是

$\Delta k=2\pi /L$ 。

根據德布羅意假說，$P=\hbar k$ 。因此，動量的不確定性是

$\Delta P=\hbar \Delta k=\frac{h}{L}$ 。

由於粒子位置的不確定性是 $\Delta X\approx L$ ，所以，不確定性原理成立：

$\Delta P \Delta X \approx h$ 。

高斯波包

高斯波函數的動量與位置不確定性關係式的計算，是一個很有啟發性的練習。設定一個粒子的波函數 $\psi(x)$ 是高斯函數：

$\psi(x) =\left(\frac{A}{\pi}\right)^{1/4} e^{- {Ax^2 / 2}}$ 。

由於對稱性，這粒子的位置期望值 $\langle x\rangle$ 等於零。經過查閱積分手冊，位置標準差 $\sigma_x$ 是

$\sigma_x^2=\langle x^2 \rangle =\left(\frac{A}{\pi}\right)^{1/2} \int_{-\infty}^{\infty} x^2 e^{ - A x^2} \, \mathrm{d}x=\frac{1}{2A}$ 。

接下來，傅立葉變換高斯函數 $\psi(x)$ 至波數空間的波函數 $\phi(k)$ ：

$\begin{align}\phi(k) & =\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{A}{\pi}\right)^{1/4} e^{- {A\over 2}x^2}e^{ - ikx} \, \mathrm{d}x \\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \left(\frac{A}{\pi}\right)^{1/4}\int_{-\infty}^{\infty} e^{ - {A\over 2}(x + ik/A)^2 - {k^2/2A} } \, \mathrm{d}x \\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\left(\frac{A}{\pi}\right)^{1/4}e^{-{k^2/2A}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{- {A\over 2}(x+ik/A)^2} \, \mathrm{d}x \\ \end{align}$ 。

為了要除去最右邊的積分對於波數 $k$ 的相依，做連續變數替換，$x\rightarrow x - ik/A$ 。那麼，

$\phi(k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\left(\frac{A}{\pi}\right)^{1/4}e^{-{k^2/2A}} \int_{-\infty + ik/A}^{\infty + ik/A} e^{- {A\over 2}x^2} \, \mathrm{d}x$ 。

由於這複平面的積分路徑的改變並沒有經過任何奇異點，得到的積分不相依於 $k$ 。查閱積分手冊，可以得到波數空間的波函數

$\phi(k) =\left(\frac{1}{A\pi}\right)^{1/4}e^{- k^2/2A}$ 。

由於對稱性，波數期望值 $\langle k\rangle$ 等於零。經過查閱積分手冊，波數標準差 $\sigma_k$ 是

$\sigma_k^2=\left(\frac{1}{A\pi}\right)^{1/2} \int_{ - \infty}^{\infty} k^2 e^{ - k^2/A} \, \mathrm{d}k=\frac{A}{2}$ 。

根據德布羅意假說，$p=\hbar k$ 。所以，

$\sigma_p^2=\frac{A\hbar^2}{2}$ 。

因此，可以得到位置和動量的不確定性關係式：

$\sigma_x \sigma_p = \sqrt{1\over 2A}\sqrt{ A\hbar^2\over 2} =\frac{\hbar}{2}$ 。

特別注意，由於波函數是高斯函數，這關係式很緊密，是個等號關係式。

羅伯森-薛丁格關係式

假設量子態 $\psi$ 的任意兩個可觀察量分別標記為 $A$ 、$B$ ，對應的測量標準差分別為 $\sigma_A$ 、$\sigma_B$ ，那麼，「羅伯森-薛丁格關係式」表示為

$\sigma_{A}^2\sigma_{B}^2 \geq \left( \frac{1}{2}\langle\{{A},{B}\}\rangle - \langle {A} \rangle\langle {B}\rangle \right)^{2}+ \left(\frac{1}{2i}\langle[{A},{B}]\rangle\right)^{2}$ ；

其中，$\{{A},\,{B}\}={A}{B}+{B}{A}$ 是 ${A}$ 和 ${B}$ 的反對易算符。

由於羅伯森-薛丁格關係式對於一般厄米算符都成立，這關係式可以給出任意兩種可觀察量的不確定關係式。以下為一些在文獻裏常見的關係式：

• 對於位置與動量，從正則對易關係 $[{x},{p}]=i\hbar$ ，可以推導出肯納德不等式：

$\sigma_{x}\sigma_{p} \geq \frac{\hbar}{2}$ 。

• 總角動量 $\mathbf{J}$ 的任意兩個直角分量的不確定性關係式為

$\sigma_{J_i} \sigma_{J_j} \geq \frac{\hbar}{2} \left|\left\langle J_k\right\rangle\right|$ ；

其中，$i\neq j\neq k$ ，$J_i$ 標記角動量沿著$x_i$-軸的分量。

這關係式意味著，除非 $\mathbf{J}$ 的三個分量全部都為零，只有一個分量可以被明確設定。在做實驗時，這分量通常平行於外磁場或外電場。

• 根據金茲堡-朗道方程，在超導體內的電子數量 $N$ 和相位 $\phi$ 的不確定性關係式為

$\Delta N \Delta \phi \geq 1$ 。

能量-時間不確定性原理

除了位置-動量不確定性關係式以外，最重要的應屬能量與時間之間的不確定性關係式無疑。能量-時間不確定性關係式並不是羅伯森-薛丁格關係式的明顯後果。但是，在狹義相對論裏，四維動量是由能量與動量組成，而四維坐標是由時間與位置組成，因此，很多早期的量子力學先驅認為能量-時間不確定性關係式成立：

$\Delta E \Delta t \gtrapprox \frac{\hbar}{2}$ 。

可是，他們並不清楚 $\Delta t$ 的含意到底是什麼？在量子力學裏，時間扮演了三種不同角色：

1. 時間是描述系統演化的參數，稱為「外在時間」，它是含時薛丁格方程式的參數，可以用實驗室計時器來量度。
2. 對於隨時間而演化的物理系統，時間可以用動態變量來定義或量度，稱為「內秉時間」。例如，單擺的週期性震盪，自由粒子的直線運動。
3. 時間是一種可觀察量。在做衰變實驗時，衰變後粒子抵達偵測器的時刻，或衰變後粒子的飛行時間是很重要的數據，可以用來找到衰變事件的時間分佈。在這裏，時間可以視為可觀察量，稱為「可觀察時間」。

列夫·朗道曾經開玩笑說：「違反能量-時間不確定性很容易，我只需很精確地測量能量，然後緊盯著我的手錶就行了！」儘管如此，愛因斯坦和波耳很明白這關係式的啟發性意義：一個只能暫時存在的量子態，不能擁有明確的能量；為了要擁有明確的能量，必須很準確地測量量子態的頻率，這連帶地要求量子態持續很多週期。

例如，在光譜學裏，激發態（excited state）的壽命是有限的。根據能量-時間不確定性原理，激發態沒有明確的能量。每次衰變所釋放的能量都會稍微不同。發射出的光子的平均能量是量子態的理論能量，可是，能量分佈的峰寬是有限值，稱為自然線寬（natural linewidth）。 衰變快的量子態線寬比較寬闊；而衰變慢的量子態線寬比較狹窄。衰變快的量子態的線寬，因為比較寬闊，不確定性比較大。為了要得到清晰的能量，實驗者甚至會使用微波空腔（microwave cavity）來減緩衰變率。這線寬效應，使得對於測量衰變快粒子靜止質量的工作，也變得很困難。粒子衰變越快，它的質量的測量越不確定。

關於能量與時間的不確定性原理時常會被錯誤地表述：假若，測量一個量子系統的能量至不確定性至多為 $\Delta E$ ，那麼，需要的測量時間間隔為 $\Delta t > h/\Delta E$ 。這表述與蘭道的評論所提到的表述類似。亞基爾·阿哈羅諾夫和戴維·玻姆指出這表述不成立。時間間隔 $\Delta t$ 是系統維持大致不變、不受到擾動的時間間隔；而不是實驗儀器開啟關閉的測量時間間隔。

另外還有一種常見的錯誤概念，即能量-時間不確定性原理允許物理系統暫時違背能量守恆，物理系統可以從宇宙中暫時借用能量，只要能在短時間內全數還回就行。雖然這符合相對論性量子力學的精髓，但這是基於錯誤公理──在所有時間宇宙能量是完全已知參數。更正確地說，假若事件發生的時間間隔很短，則這事件的能量不確定性很大。因此，假設量子場論的計算涉及到暫時電子正子偶，這並不表示能量守恆被違背，而是量子系統的能量的不確定性並不能狹窄限制其物理行為。這樣，所有可能物理行為與相關影響都必須納入量子計算，包括那些具有能量比能量分佈平均值大很多或小很多的物理行為。真實系統的能量與無擾動系統的能量不同，不應混淆在一起。

1945 年，雷歐尼·曼德斯坦（Leonid Mandelshtam）和伊戈爾·塔姆共同給出能量-時間不確定性原理的一種表述。假設某量子系統的含時量子態為 $|\psi\rangle$ ，可觀察量為 $B$ 。設定 $\Delta t\ \stackrel{def}{=}\ \cfrac{\Delta B}{\left|\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\langle B \rangle\right|}$ ，則能量-時間不確定性關係式為

$\Delta E \Delta t\ge \frac{\hbar}{2}$ ；

其中，$\Delta E$ 是 $|\psi\rangle$ 的能量標準差，而 $\Delta t$ 是期望值 $\langle B\rangle$ 減少或增加一個標準差 $\Delta B$ 所需的時間間隔，即期望值 $\langle B\rangle$ 明顯改變所需的時間間隔。

導引

根據埃倫費斯特定理，

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\langle B\rangle = \frac{i}{\hbar}\langle [{H},\, {B}]\rangle + \left\langle \frac{\partial B}{\partial t}\right\rangle$ 。

其中，$t$ 是時間，$H$ 是哈密頓量。

一般而言，算符不顯性地相依於時間。所以，稍加編排，取絶對值，可以得到

$|\langle [{H},\, {B}]\rangle| =\hbar\left|\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\langle B\rangle\right|$ 。

不確定性原理闡明，對於任意兩個可觀察量 $H$ 和 $B$ ，

$\Delta H\Delta B\ge \frac{1}{2}|\langle [{H},\, {B}]\rangle|$ 。

所以，

$\Delta H\Delta B\ge \frac{\hbar}{2}\left|\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\langle B\rangle\right|$ 。

對於量子態 $|\psi\rangle$ ，哈密頓算符與能量 $E$ 的關係是

$H|\psi\rangle=E|\psi\rangle$ 。

設定$\Delta t=\frac{\Delta B}{\left|\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\langle B\rangle\right|}$ 。那麼，能量-時間不確定性關係式成立：

$\Delta E\Delta t\ge \frac{\hbar}{2}$ 。

在這裏，微分元素 $dt$ 指的是外在時間，而時間間隔 $\Delta t$ 指的是內秉時間，它與可觀察量 $B$ 有關，並且與系統的量子態有關。

批評與反應

決定論與實在論的追隨者酷嗜將哥本哈根詮釋與海森堡不確定理論視為可供批評的雙重標靶。根據哥本哈根詮釋，量子態描述的並不是基礎實在，而是實驗計算求得的結果。沒有任何量子理論可以得知系統狀態的基礎本質，量子理論只能預測做實驗觀察的結果。

愛因斯坦認為，不確定性原理顯示出波函數並沒有給出一個粒子的量子行為的完全描述；波函數只預測了一個粒子系綜的機率性量子行為。波耳則主張，波函數已經給出了關於一個粒子量子行為的描述，從波函數求得的機率分佈是基礎的，一個粒子只能擁有明確的位置或動量，不能同時擁有兩者。這是不確定性原理的真諦，就好像魚與熊掌不可兼得，一個粒子不能同時擁有明確的位置與明確的動量。兩位物理大師的辯論，對於不確定性原理以及其所涉及的種種物理問題，延續了很多年。21世紀最初十年裏獲得的一些實驗結果對於不確定原理的適用範圍持嚴格懷疑態度。

愛因斯坦狹縫

左邊為愛因斯坦狹縫問題的固定擋板與狹縫實驗裝置。右邊為波耳設計出一個改良的實驗裝置，他將固定擋板更換為一個可上下移動的擋板。

愛因斯坦提出了一個思想實驗來挑戰不確定性原理，稱為「愛因斯坦狹縫問題」。愛因斯坦認為這個思想實驗能夠同時量度出粒子明確的位置與動量：

愛因斯坦狹縫問題的實驗裝置與單狹縫實驗的裝置類似。最大的不同就是只考慮一個粒子的量子行為。如右圖所示，假設在一塊擋板的內部刻有一條狹縫，朝著這狹縫垂直地發射一個粒子，這粒子穿過了狹縫，再移動一段行程後，抵達偵測屏。假若不確定性原理是正確的，那麼，這寬度為 $w$ 的狹縫，在粒子通過的時候，給予了粒子的朝上下方向的動量大約 $\hbar/w$ 的不確定性。但是，我們可以測量擋板的反衝作用所造成的動量至任意準確度。根據動量守恆定律，粒子的動量等於擋板的反衝動量，取至任意準確度，而粒子位置的不確定性只有 $w$ ，所以，不確定性原理不成立。

為了要更明顯地表現愛因斯坦的點子，波耳設計出一個改良的實驗裝置。波耳回應，擋板也是量子系統的一部分。假若要測量反衝作用的動量至準確度低於 $\Delta p$ ，則必須知道，在粒子通過前後，擋板的動量至準確度低於 $\Delta p$ 。這前提引出了擋板位置的不確定性 $\Delta x\approx \hbar/\Delta p$ 。這不確定性會連帶轉移成為狹縫位置的不確定性和粒子位置的不確定性，因此必須遵守不確定性原理。

愛因斯坦光盒

1930年，在第六次索爾維會議，愛因斯坦發表了一個思想實驗，來挑戰能量-時間不確定性原理， $\Delta E\Delta t\ge \hbar/2$ 。這個實驗與愛因斯坦狹縫實驗類似，只是在這裏，粒子穿過的狹縫是時間：

試想一個裝滿了光子的盒子。在盒子的一邊有一個孔徑，盒子內部的時鐘可以通過控制器將孔徑外的快門開啟短暫時間間隔 $\Delta t$ ，發射出一顆光子，然後再將快門關閉。為了要測量發射出去的光子的能量，必須量度發射前與發射後盒子的質量 $m$ ，應用狹義相對論的質能方程式 $E=mc^2$ ，就可以計算出來失去的能量 $E$ 。理論而言，快門的開啟時間間隔是個常數，只要能讓一個光子發射出去就行，而盒子的質量可以量度至任意準確度，因此 $\Delta E\Delta t< \hbar/2$ ，能量-時間不確定性原理不成立。

經過整晚思考愛因斯坦的巧妙論述，玻爾終於找到了這論述的破綻。玻爾於1948年正式發表了他的反駁，他指出，為了保證實驗的正確運作，必須用彈簧將盒子懸吊起來，在盒子的另一邊固定一個指針。盒子的支撐架固定了一根直尺。指針所指在直尺的數目，可以用來紀錄盒子的位置。根據位置-動量不確定性原理，測量盒子位置的不確定性 $\Delta q$ 與測量盒子動量的不確定性 $\Delta p$ ，兩者之間的關係式為：

$\Delta q \Delta p\approx h$ 。

從牛頓運動定律可以推論，質量的不確定性 $\Delta m$ 會造成動量的不確定性 $\Delta p$ ，所以動量的不確定性 $\Delta p$ 下限為

$\Delta p> \Delta m gT$ ；

其中，$T$ 是測量質量所需的時間間隔（不是快門開啟的時間間隔），$g$ 是萬有引力常數。

按照廣義相對論，假若將時鐘朝著引力方向移動 $\Delta q$ ，則其量度時間的不確定性 $\Delta T$ 為

$\Delta T/T=g\Delta q/c^2$ ；

從上述三個方程式，可以得到

$\Delta T\Delta m>h/c^2$ 。

將質能方程式代入，則有關係式

$\Delta T\Delta E>h$ 。

因此，能量-時間不確定性原理。波耳又一次化解了愛因斯坦提出的難題，但是，假設將光子更換為普通氣體粒子，則這問題只涉及到非相對論性量子力學，為甚麼需要使用相對論來解析這問題？實際而言，使用量子力學的理論就可以解釋這難題了。另外，愛因斯坦的 $\Delta t$ 是快門開啟的時間間隔，而玻爾的 $\Delta T$ 則是量度盒子質量的時間不確定性，兩者不是同一個變量，因此，玻爾並沒有精準地反駁愛因斯坦的問題。

EPR悖論

1935年，愛因斯坦、玻理斯·波多斯基、納森·羅森共同發表了EPR悖論，分析兩個相隔很遠粒子的量子糾纏現象。愛因斯坦發覺，測量其中一個粒子A，會同時改變另外一個粒子B 的機率分佈，但是，狹義相對論不允許信息的傳播速度超過光速，測量一個粒子A，不應該瞬時影響另外一個粒子B。這個悖論促使波耳對不確定性原理的認知做出很大的改變，他推斷不確定性並不是因直接測量動作而產生。

從這思想實驗，愛因斯坦獲得益愈深遠的結論。他相信一種「自然基礎假定」：對於物理實在的完備描述必須能夠用局域數據來預測實驗結果，因此，這描述所蘊含的信息超過了不確定性原理（量子力學）的允許範圍，這意味著或許在完備描述裏存在了一些局域隱變量（hidden variable），而當今量子力學裏並不存在這些局域隱變量，他因此推斷量子力學並不完備。

1964年，約翰·貝爾對愛因斯坦的假定提出質疑。他認為可以嚴格檢驗這假定，因為，這假定意味著幾個不同實驗所測量獲得的機率必須滿足某種理論不等式。依照貝爾的提示，實驗者做了很多關於這悖論的實驗，獲得的結果確認了量子力學的預測，因此似乎排除了局域隱變量的假定。但這不是故事的最後結局。雖然，我們仍可假定「非局域隱變量」給出了量子力學的預測。事實上，大衛·波姆就提出了這麼一種表述。對於大多數物理學家而言，這並不是一種令人滿意的詮釋。他們認為量子力學是正確的。因為經典直覺不能對應於物理實在，EPR悖論只是一個悖論。EPR悖論的意義與到底採用哪一種詮釋有關。哥本哈根詮釋主張，測量這動作造成了瞬時的波函數塌縮。但是，這並不是瞬時的因果效應。測量這動作只涉及到我們對於物理系統的定量描述，並沒有涉及到整個物理系統。多世界詮釋主張，測量動作只會影響被測量粒子的量子態，因此局域性相互作用嚴格地被遵守。採用多世界詮釋，可以對貝爾提出的質疑給予解釋。

波普爾批評

卡爾·波普爾是以做為一位邏輯學者與形而上學實在論者所持有的態度來研究不確定性問題。他認為不應該將不確定性關係應用於單獨粒子，而是應該應用於粒子系綜，即很多以同樣方法製備出來的粒子。根據這種統計詮釋，實驗者可以精心設計測量運作，使得測量運作能夠滿足任意準確度，又不違反量子理論。

1934年，波普爾發表論文《評論不確定性關係》（《Critique of the Uncertainty Relations》），同年又發表著作《科學發現的邏輯》（《The Logic of Scientific Discovery》），其中，他給出統計詮釋的論點。1982年，在著作《量子理論與物理學分歧》裏，他將自己的理論更加推進，他寫明：

無可置疑地，從量子理論的統計公式可以推導出海森堡的公式。但是，很多量子理論者慣常性地錯誤詮釋了這些公式，他們認為這些公式可以詮釋為決定測量精確度的某種上限。（原文以斜體強調）

——卡爾·波普爾

波普爾提出了一個證偽不確定性關係的實驗，但在與卡爾·馮·魏茨澤克、海森堡、愛因斯坦會談後，他又將初始版本收回。這實驗可能影響了後來EPR思想實驗的表述。1999年，波普爾實驗的一個版本成功付諸實現。

反駁實證

維也納科技大學（Vienna University of Technology）的長谷川祐司（Yuji Hasegawa）准教授與名古屋大學的小澤正直（Masanao Ozawa）教授等學者於2012年1月15日發表反駁海森堡不確定性原理的實證結果。他們用兩台儀器分別測量中子的自旋角度並計算後，得到了比海森堡不確定性原理所示誤差更小的測量結果，此即證明海森堡不確定性原理所主張的測量極限是錯誤的。但是，不確定性原理仍舊正確無誤，因為這是粒子內秉的量子性質。

參閱

• 對應原理

參考文獻

• Folland, Gerald; Sitaram, Alladi. The Uncertainty Principle: A Mathematical Survey (PDF). Journal of Fourier Analysis and Applications. 1997.May, 3 (3): 207–238. 

外部連結

• Uber den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik－1927年3月23日，萊納斯·鮑林親手註譯的發表前檢稿．
• 《Remarks on the origin of the relations of uncertainty》全文翻譯（出自台大物理系系刊《時空》第23期）
• Quantum mechanics: Myths and facts
• Uncertainty Principle –史丹佛哲學百科全書關於不確定原理的網頁
• Uncertainty Principle –美國物理學院關於不確定原理的網頁
• Time-Energy Uncertainty Relation –物理學家約翰·貝伊茲關於能量-時間不確定性關係式的網頁
• The certainty principle –確定性原理