丟番圖方程

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丟番圖方程又名整係數多項式方程,是變數僅容許是整數的整數係數多項式等式;即形式如a_1 x_1^{b_1}+a_2 x_2^{b_2}+......+a_n x_n^{b_n}=c 的等式,並且其中所有的a_jb_jc均是整數,若其中能找到一組整數解m_1,m_2...m_n者則稱之有整數解。

丟番圖問題一般可以有數條等式,其數目比未知數的數目少;丟番圖問題要求找出對所有等式都成立的整數組合。用另一種語言來說,丟番圖問題定義了代數曲綫或者代數曲面,或更爲一般的幾何形,要求找出其中的柵格點。對丟番圖問題的數學研究稱為丟番圖分析。綫性丟番圖方程爲綫性整數係數多項式等式,即此多項式爲次數爲0或1的單項式的和。

丟番圖方程的名字來源於3世紀希臘數學家亞歷山大城丟番圖,他曾對這些方程進行研究,並且是第一個將符號引入代數的數學家。

關於丟番圖方程的理論的形成和發展是二十世紀數學一個很重要的發展。丟番圖方程的例子有貝祖等式勾股定理的整數解、佩爾方程四平方和定理費馬最後定理等。

一次不定方程[编辑]

一次不定方程是形式如a_1 x_1+a_2 x_2+...+a_n x_n=c的方程,一次不定方程有整數解的充要條件為:

gcd(a_1, ... ,a_n)|c

換言之gcd(a_1, ... ,a_n)須是c因數,其中gcd(a_1, ... ,a_n)表示a_1, ... ,a_n最大公因數

若有二元一次不定方程ax+by=c,且(a,b)|c,則其必有一組整數解x_1, y_1,並且還有以下關係式:

  • x=x_1+[b/(a,b)]t
  • y=y_1-[a/(a,b)]t

t為任意整數,故此一次不定方程有無限多解。請參見貝祖等式

丟番圖分析[编辑]

經典問題[编辑]

  • 有解答嗎?
  • 除了一些顯然易見的解答外,還有哪些解答?
  • 解答的數目是有限還是無限?
  • 理論上,所有解答是否都能找到?
  • 實際上能否計算出所有解答?

希爾伯特第十問題[编辑]

1900年,希爾伯特提出丟番圖問題的可解答性為他的23個問題中的第10題。1970年,一個數理邏輯的結果馬蒂雅謝維奇定理Matiyasevich's theorem)說明:一般來說,丟番圖問題都是不可解的。更精確的說法是,不可能存在一個演算法能夠判定任何丟番圖方程是否有解,甚至,在任何相容於皮亚诺算數的系統當中,都能具體構造出一個丟番圖方程,使得沒有任何辦法可以判斷它是否有解。

現代研究[编辑]

參見[编辑]

參考文獻[编辑]