中山引理

在交換代數中，中山引理是相當有用的一個技術工具。

陳述

它的眾多等價陳述之一如下：

引理（中山正）。設 R 為含單位元的交換環，I 為一理想，M 為有限生成 R-模。若 IM = M，則存在 $r \in R$滿足 r ≡ 1 mod I 且 rM = 0。

推論

推論一. 在上述條件下，若 I 包含於 R 的 Jacobson根，則必然有 M = 0。

推論二. 若 N是 M 的子模，且存在有限生成的 M 的子模 N' 及包含於 R 的 Jacobson根 的理想 I，使得 M = N + IN'，則 M = N。

文獻

• Atiyah, M.F. and Macdonald, I.G (1969). Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley, Reading, MA.
• Matsumura H., Commutative Algebra, 2nd ed. Benjamin/Cummings, 1980.