中心化子和正规化子

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群论中,一个G子集S中心化子正规化子G子群。它们分别在S的元素和作为一个整体S有受限制的作用。这些子群给出了关于G的结构的有用信息。

定义[编辑]

中心化子[编辑]

G的一个元素a中心化子(记作CG(a))是G的和a可交换的元素的集合;换句话说,CG(a) = {x 属于 G : xa = ax}。若HG的子群,则CH(a) = CG(a) ∩ H。如果没有歧义,则可以将CG(a)记作C(a)。

更一般地,令SG的任意子集(不必是子群)。则SG中的中心化子定义为C(S) = {x属于G:对于所有s属于S, xs = sx}。若S = {a},则C(S) = C(a)。

C(S)是G的子群;因为若 xy 属于 C(S) ,则对每个s属于 Sxy −1s = xsy −1 = sxy −1。于是 xy −1 属于S

群的中心[编辑]

G中心是CG(G),通常记作Z(G)。一个群的中心既是正规子群也是交换群,而且有很多其它重要属性。我们可以将a的中心化子视作最大的(用包含关系为序)G的子群H,满足a属于其中心Z(H)的条件。

正规化子[编辑]

一个相关的概念是,SG中的正规化子,记作NG(S)或者N(S)。正规化子定义为N(S) = {x属于G : xS = Sx}。同样的是,N(S)可以视作G的子群。正规化子的名字来源于如果我们令<S>为一个由S生成的子群,则N(S)是最大的满足包含<S>为其正规子群G的子群。<S>在其中为正规子群的最小的G的子群称为共軛閉包

G的子群H称为G子正规化子群,如果NG(H) = H.

性质[编辑]

G交换群,则任何G的子集的中心化子和正规化子就是G的全部;特别是,一个群可交换,当且仅当Z(G) = G

abG的任意元素,则a在C(b)中,当且仅当b在C(a)中,这有当且仅当ab可交换。 若S = {a}则N(S) = C(S) = C(a)。

C(S)总是N(S)的正规子群:若c属于C(S)而n属于N(S),我们要证明n −1cn属于C(S)。为此,取s属于S并令t = nsn −1。则t属于S,所以ct = tc。注意到ns = tn;以及n −1t = sn −1。我们有

(n −1cn)s = (n −1c)tn = (n −1(tc)n = (sn −1)cn = s(n −1cn)

这也就是要证明的命题。

HG的子群,则N/C定理表明因子群N(H)/C(H)同构于Aut(H)(H自同构群)的子群。

因为NG(G) = G,N/C定理也意味着G/Z(G)同构于Inn(G)(由所有G内自同构组成的Aut(G)的子群)。

如果我们通过T(x)(g) = Tx(g) = xgx −1定义群同态 T : G → Inn(G),则我们可以用Inn("G")在G上的群作用来表述N(S)和C(S):S在Inn(G)中的定点子群就是T(N(S)),而Inn(G)中固定S的子群就是T(C(S))。