中心 (群论)

在抽象代数中，群G的中心Z(G)是所有在G中和G的所有元素可交换的元素的集合。精确的讲：

Z(G) = {z ∈ G | gz = zg对于所有g ∈ G}

注意Z(G)是一个G的子群— 若x和y在Z(G)中，则对于每个g（属于G）， (xy)g = x(yg) = x(gy) = (xg)y = (gx)y = g(xy) 所以xy也在Z(G)中。同样的论证对于逆操作也成立。

而且， Z(G)是一个G的可交换子群，也是G的正规子群，甚至是G的严格特征子群，但不总是完全特征的。

G的中心是整个G 当且仅当G是可交换群。另一个极端是，群可以是无中心的，若Z(G)是平凡群。

考虑映射 $\Phi$ : G → Aut(G)，这是到G的自同构群的映射，定义为：

G中每个元素g在 $\Phi$ 下的像是自同构 $h\longmapsto ghg^{-1}$ 。 $\Phi$ 的核是G的中心，而 $\Phi$ 的像称为G的内自同构群，记为Inn(G)。按照第一同构定理 G/Z(G) $\cong$ Inn(G)。

例子 [编辑]

正交群O(n )的中心是{ I, −I }。