中心 (群论)

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抽象代数中,G中心Z(G)是所有在G中和G的所有元素可交换的元素的集合。精确的讲:

Z(G) = {zG | gz = zg对于所有gG}

注意Z(G)是一个G子群— 若xyZ(G)中,则对于每个g(属于G), (xy)g = x(yg) = x(gy) = (xg)y = (gx)y = g(xy) 所以xy也在Z(G)中。同样的论证对于逆操作也成立。

而且, Z(G)是一个G可交换子群,也是G正规子群,甚至是G的严格特征子群,但不总是完全特征的。

G的中心是整个G 当且仅当G是可交换群。另一个极端是,群可以是无中心的,若Z(G)是平凡群。

考虑映射\Phi: G → Aut(G),这是到G自同构群的映射,定义为:

G中每个元素g\Phi下的像是自同构h\longmapsto ghg^{-1}\PhiG的中心,而\Phi的像称为G内自同构群,记为Inn(G)。按照第一同构定理 G/Z(G) \cong Inn(G)。

例子[编辑]

正交群O(n )的中心是{ I, −I }。

参看[编辑]