中线

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圖中\triangle ABC和中线AD

中線三角形中从某邊的中點連向對角的頂點的直线。三角形的三条中线总是相交于同一点,这个点称为三角形的重心

性质1[编辑]

任意三角形的三条中线把三角形分成面积相等的六个部分。除此以外,任何其它通过重心的直线都不把三角形分成面积相等的两个部分。

证明[编辑]

考虑三角形ABC。设D\overline{AB}的中点,E\overline{BC}的中点,F\overline{AC}的中点,O为重心。

根据定义,AD=DB, AF=FC, BE=EC,因此[ADO]=[BDO], [AFO]=[CFO], [BEO]=[CEO], [ABE]=[ACE],其中[ABC]表示三角形\triangle ABC面积

我们有:

[ABO]=[ABE]-[BEO]
[ACO]=[ACE]-[CEO]

因此,[ABO]=[ACO][ADO]=[DBO], [ADO]=\frac{1}{2}[ABO]

由于[AFO]=[FCO], [AFO]= \frac{1}{2}[ACO]=\frac{1}{2}[ABO]=[ADO],所以[AFO]=[FCO]=[DBO]=[ADO]。 同理,也可以证明[AFO]=[FCO]=[DBO]=[ADO]=[BEO]=[CEO]

性质2[编辑]

\triangle ABC中,連接角A的中線記為m_a,連接角B的中線記為m_b,連接角C的中線記為m_c,它們長度的公式為:

m_a=\frac{1}{2}\sqrt{2(b^2+c^2)-a^2}
m_b=\frac{1}{2}\sqrt{2(c^2+a^2)-b^2}
m_c=\frac{1}{2}\sqrt{2(a^2+b^2)-c^2}

證明[编辑]

\triangleABD中,AD=m_a
(m_a)^2=(AB)^2+(BD)^2-2(AB)(BD)\cos \angle ABD餘弦定理
以a,b,c表示\cos \angle ABD
i.e.\ \cos \angle ABD=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca} &  BD=\frac{a}{2}
把以上兩等式代入原式,
i.e.\ (m_a)^2=(c)^2+(\frac{a}{2})^2-2(c)(\frac{a}{2})\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}
=(c)^2+(\frac{a^2}{4})-(\frac{c^2+a^2-b^2}{2})
=\frac{4c^2+a^2-2c^2-2a^2+2b^2}{4}
=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}
m_a=\frac{1}{2}\sqrt{2(b^2+c^2)-a^2}

同理,可證得其他二式

Q.E.D.

參見[编辑]