中间逻辑

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中间逻辑是在直觉逻辑经典逻辑之间的中介,这是在它们包含在直觉逻辑中不可证明的定理,而不导致完整的经典逻辑的意义上的。这种逻辑也叫做超直觉次经典逻辑。

連續統的勢个不同的中间逻辑,通常是向直觉逻辑增加一个或多个公理而获得的。 这种逻辑的例子有:

  • 直觉逻辑(IPC, Int, IL, H
  • 经典逻辑(CPC, Cl, CL):IPC + P ∨ ¬P
  • 排中律逻辑(KC, Jankov逻辑,德·摩根定律逻辑): IPC + ¬¬P ∨ ¬P
  • 哥德尔-Dummett逻辑(LC):IPC + (P → Q) ∨ (Q → P)
  • Kreisel-Putnam逻辑:IPC +(¬P →(Q ∨ R))→((¬P → Q) ∨ (¬P → R))
  • Medvedev有限问题的逻辑
  • 可实现性逻辑
  • Scott逻辑:IPC + ((¬¬P → P) → (P ∨ ¬P)) →(¬¬P ∨ ¬P)
  • Smetanich逻辑:IPC + (¬Q → P) →(((P → Q) → P)→ P)研究中间逻辑的工具类似于直觉逻辑所使用的,比如Kripke语义。例如,Gödel-Dummett逻辑有依据全序特征化的一个简单语义。

语义[编辑]

给定一个Heyting代数γ,在γ上有效的命题公式是中间逻辑。反过来说,给定一个中间逻辑可以构造出是 Heyting代数的它的Lindenbaum代数

一个直觉Kripke框架F偏序集合,而Kripke模型M是带有求值使得\{x\mid M,x\Vdash p\}F上闭子集的Kripke框架。在F中有效的命题公式的集合是在中间逻辑中有效的。给定一个中间逻辑Σ有可能构造一个Kripke模型M使得M的逻辑是Σ(这种构造叫做“规范模型”)。带有这个性质的Kripke框架可能不存在,但是一般框架总是有。

与模态逻辑的关系[编辑]

A是命题公式。A的“哥德尔-塔斯基变换”递归的定义如下:

  •  T(p_n) = \Box p_n
  •  T(\neg A) = \Box \neg T(A)
  •  T(A \and B) = T(A) \and T(B)
  •  T(A \vee B) = T(A) \vee T(B)
  •  T(A \to B) = \Box (T(A) \to T(B))

如果Λ是扩展S4模态逻辑则 ρΛ = {A | T(A) ∈ Λ}是中间逻辑,而Λ叫做ρΛ的“模态伙伴”。特别是:

  • IPC = ρS4
  • KC = ρS4.2
  • LC = ρS4.3
  • CPC = ρS5

对于所有中间逻辑Σ都有很多模态逻辑Λ使得Σ = ρΛ。

引用[编辑]

  • Toshio Umezawa. On logics intermediate between intuitionistic and classical predicate logic. Journal of Symbolic Logic, 24(2):141–153, June 1959.
  • Alexander Chagrov, Michael Zakharyaschev. Modal Logic. Oxford University Press, 1997.