主丛

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数学上,一个G主丛(principal G-bundle)是一种特殊的纤维丛,其纤维为拓扑群G的作用的扭子(torsor)(也称为主齐性空间)。主G丛是G丛,因为群G也是丛的结构群

主丛在拓扑学微分几何中有重要应用。他们在物理学中也有应用,他们组成了规范理论的基础框架的一部分。主丛为纤维丛的理论提供了一个统一的框架,因为所有纤维丛及其结构群G决定了一个唯一的主G丛,从该主丛可以重建原来的那个丛。

形式化定义[编辑]

一个主G丛是一个纤维丛π : PX ,及一个拓扑群G连续右作用P × GP,该作用保持P的纤维不变并在纤维上自由和推移式的作用。(经常会要求基空间XHausdorff,还可能要求仿紧)。丛的抽象纤维取为G本身。

由此可知,G作用的轨道正好就是π : PX的纤维而轨道空间P/G和基空间X同胚。要求G在纤维上自由和推移的作用意味着纤维具有扭子(torsor)的结构。一个G扭子是同胚于G的空间但没有群的结构因为它没有一个特定的单位元的选择。

G丛的局部平凡化必须是G等变(equivariant)映射,使得纤维的G扭子结构得到保持。确切地说,这表示如果

\phi : \pi^{-1}(U) \to U \times G\,

是一个有\phi(p) = (\pi(p),\psi(p))形式的局部平凡化,则

\phi(p\cdot g) = (\pi(p),\psi(p)g).

主丛也可定义在光滑流形范畴中。这里π : PX要求是一个光滑流形间的光滑映射G要求为李群,而相应的P上的作用也要光滑。

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最普通的光滑主丛的例子是光滑流形M标架丛。这里,M中一点x上的纤维是切空间TxM的所有标架(有序的基)。一般线性群(general linear group) GL(n,R)在这些标架上简单推移的作用。这些纤维可以一种自然的方式粘在一起,从而得到一个M上的主GL(n,R)丛。

上面这个例子的变种包括黎曼流形正交标架丛(orthonormal frame bundle)。这里,标架必须对于度量张量正交。结构群是正交群O(n).

一个正则(正规)覆叠空间p : CX是一个主丛,其中,结构群\pi_1(X)/p_{*}\pi_1(C)通过单值作用(monodromy action)作用在C上。特别的有,X万有覆叠(universal cover)是以\pi_1(X)为结构群的X上的主丛。

G为李群而H为闭子群。则GG/HH的左陪集空间)上的主H丛。这里HG上的作用就是右乘。

射影空间提供了更多主丛的有趣例子。回想一下,n- Sn是一个实射影空间(real projective space) RPn的两层的覆叠空间。 O(1)在Sn上的自然作用给它RPn上的主O(1)丛的结构。同样,S2n+1是一个复射影空间(complex projective space) CPn上的主U(1)丛,而S4n+3四元数射影空间(quaternionic projective space) HPn上的主Sp(1)-丛。这样,对每个正的n,我们有一系列的主丛:

\mbox{O}(1) \to S(\mathbb{R}^{n+1}) \to \mathbb{RP}^n
\mbox{U}(1) \to S(\mathbb{C}^{n+1}) \to \mathbb{CP}^n
\mbox{Sp}(1) \to S(\mathbb{H}^{n+1}) \to \mathbb{HP}^n

这里S(V)表示V(用欧氏度量)中的单位球。对于所有这些例子,n = 1的情况给出了所谓的霍普夫丛

主丛的表述[编辑]

如果π : PX是一个光滑主G丛,则GP上的作用是自由和(proper)的,使得轨道空间P/G微分同胚于基空间X。事实上,这些性质完全归纳了光滑主从的特征。也就是说,如果P是一个光滑流形,G是李群而μ : P × GP是一个光滑,自由,和真的右作用,则

  • P/G 是一个光滑流形,
  • 自然投影π : PP/G是一个光滑淹没(submersion),
  • P是一个P/G上的光滑主G从。

参看[编辑]

参考[编辑]

  • Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-4267-2 See section 1.7.
  • David Bleecker, Gauge Theory and Variational Principles, (1981), Addison-Wesley Publishing, ISBN 0-201-10096-7 See Chapter 1.