乘法

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3 × 4 = 12

乘法，同一数的若干次连加，其運算結果稱為積。

表示法

乘法可以用幾種方法表示。以下的式子都是表示“五乘以二”：

• $5\times 2$
• $5\cdot2$
• $(5)2\,$，$5(2)\,$，$(5)(2)\,$，$5[2]\,$，$[5]2\,$，$[5][2]\,$
• $5\,$*$2\,$

古代常用的方法是將兩個數並排，沒有甚麼特別的符號來表示乘法。

以「$\times$」表示乘法是威廉·奧特雷德最先使用，分別於一篇現時相信是於1618年他寫的附錄，和約於1628年寫作的、1631年出版的書《數學之鑰》（Clavis Mathematicae）內出現。以$\times$表示乘法是現在最流行的寫法。

以「$\cdot$」表示乘法現在用於德國和法國等國家，最早由托玛斯·哈里奧特在1631年出版的著作使用，但對這個用法較有影響力的人是萊布尼茲。

因為星號「*」是鍵盤必備的符號，電腦常用星號表示乘號，第一次在計算機使用這個用法的是FORTRAN（福傳）編程語言，事實上可以追溯到更早——1659年，Johann Rahn（1622年－1676年）在Teutsche Algebra一書中首次使用；但筆算時很少使用星號。

代数中，乘號經常省略掉，形式如$5x\,$和$xy\,$。若變數多於一個字母，容易使人混淆。這種表示法不會用於只有數字時，即$52\,$不會表示$5\times 2$。

乘積可以用希臘字母大写Π（Pi，$\Pi$$\pi$）來表示：

$\prod_{i=m}^{n} x_{i} := x_{m} \cdot x_{m+1} \cdot x_{m+2} \cdot \cdots \cdot x_{n-1} \cdot x_{n}$

定義

兩個整數的積是：

$mn := \sum_{k=1}^n m$

這是“將m加到自己n次”的簡化說法。更清晰來說：

$mn=m+m+m+\ldots+m$

使用上面的定義，我們很易找到一些乘法的性質：

• 交換律：$xy=yx\,$
• 結合律：$(xy)z=x(yz)\,$
• 分配律：$x(y+z)=xy+xz\,$

將任何數乘以一都會等於該數本身，即$1x=x\,$，稱為單位律。

將任何數乘以零，即是甚麼也沒做過，結果就是零，即$0x=0\,$。

當$x\,$是量，$y\,$是自然數，乘法的递归定義：

$0x=0\,$

$xy=x+x(y-1)\,$

历史

孙子筹算乘法

印度的格子乘法

最早最详细的关于十进位制乘法的规则，首见400年左右孙子算经。孙子乘法在9世纪经花拉子米介绍而流行于阿拉伯国家，13世纪被翻译成拉丁文而流行西方。

印度的格子乘法在唐代流入中国，在9世纪初经花拉子米介绍到阿拉伯，但都未能流行。

計算

• 計算機有特別的算法來處理大數之間的相乘，見乘法算法。
• 中國小學生通常要背誦九九乘法表來學習乘法。
• 史豐收速算法提出了用“本個+後進”的方式來計算乘法。
• 尺規作圖作乘法的方法：給定長為$1\,$的線，以及兩條線$AB\,$和$AC\,$，求長度為該兩條的線長度的積的線。解法：設該兩條線分別為$AB\,$和$AC\,$，在$AB\,$上畫出點$D\,$使$DA=1\,$，連$D\,$、$C\,$為$DC\,$。畫一條通過$B\,$、平行$DC\,$的線，延長$AC\,$，此兩條線的交於$E\,$，$EA\,$即為所求之線。

參考

• http://www.edp.ust.hk/math/history/7/7_2.htm
• http://members.aol.com/jeff570/operation.html