乘积法则

乘积法则，也称为莱布尼兹法则，是数学中关于两个函数的积的導數的一个计算法则。

若已知两个连续函数$f,g$及其导数$f',g'$，则它们的积$fg$的导数为：

$(fg)'=f'g+fg' \,$

這個法則可衍生出積分的分部積分法。

莱布尼兹的发现

这个法则是莱布尼兹发现的，以下是他的证明：设u(x)和v(x)为x的两个可导函数。那么，uv的微分是：

$\begin{align} d(u\cdot v) & {} = (u + du)\cdot (v + dv) - u\cdot v \\ & {} = u\cdot dv + v\cdot du + du\cdot dv. \end{align}$

由于du·dv可以忽略不计，因此有：

$d(u\cdot v) = v\cdot du + u\cdot dv \,$

两边除以dx，便得：

$\frac{d}{dx} (u\cdot v) = v \cdot \frac{du}{dx} + u \cdot \frac{dv}{dx}$

或

$(u\cdot v)' = v\cdot u' + u\cdot v'. \,$

例子

• 假设我们要求出f(x) = x² sin(x)的导数。利用乘积法则，可得f'(x) = 2x sin(x) + x²cos(x)（这是因为x²的导数是2x，sin(x)的导数是cos(x)）。
• 乘积法则的一个特例，是“常数因子法则”，也就是：如果c是实数，f(x)是可微函数，那么cf(x)也是可微的，其导数为(c × f)'(x) = c × f '(x)。
• 乘积法则可以用来推出分部积分法和除法定则。

证明

假设

$h(x) = f(x)g(x),\,$

且f和g在x点可导。那么：

$h'(x) = \lim_{w\to x}{ h(w) - h(x) \over w - x} = \lim_{w\to x}{f(w)g(w) - f(x)g(x) \over w - x}. \qquad\qquad(1)$

现在，以下的差

$f(w)g(w) - f(x)g(x)\qquad\qquad(2)$

是图中大矩形的面积减去小矩形的面积。

这个区域可以分割为两个矩形，它们面积的和为：

$f(x) \Bigg( g(w) - g(x) \Bigg) + g(w)\Bigg( f(w) - f(x) \Bigg).\qquad\qquad(3)$

因此，(1)的表达式等于：

$\lim_{w\to x}\left( f(x) \left( {g(w) - g(x) \over w - x} \right) + g(w)\left( {f(w) - f(x) \over w - x} \right) \right).\qquad\qquad(4)$

如果(5)式中的四个极限都存在，则(4)的表达式等于：

$\left(\lim_{w\to x}f(x)\right) \left(\lim_{w\to x} {g(w) - g(x) \over w - x}\right) + \left(\lim_{w\to x} g(w)\right) \left(\lim_{w\to x} {f(w) - f(x) \over w - x} \right). \qquad\qquad(5)$

现在：

$\lim_{w\to x}f(x) = f(x)\,$

因为当w → x时，f(x)不变；

$\lim_{w\to x} {g(w) - g(x) \over w - x} = g'(x)$

因为g在x点可导；

$\lim_{w\to x} {f(w) - f(x) \over w - x} = f'(x)$

因为f在x点可导；以及

$\lim_{w\to x} g(w) = g(x)\,$

因为g在x点连续（可导的函数一定连续）。

现在可以得出结论，(5)的表达式等于：

$f(x)g'(x) + g(x)f'(x). \,$

另外一种证明：利用对数

设f = uv，并假设u和v是正数。那么：

$\ln f = \ln u + \ln v.\,$

两边求导，得：

${1 \over f} {d \over dx} f = {1 \over u} {d \over dx} u + {1 \over v} {d \over dx} v$

把等式的左边乘以f，右边乘以uv，即得：

${d \over dx} f = v {d \over dx} u + u {d \over dx} v.$

另外一种证明：利用复合函数求导法则

乘积法则可以视为多元复合函数求导法则的一个特例。

${d (ab) \over dx} = \frac{\partial(ab)}{\partial a}\frac{da}{dx}+\frac{\partial (ab)}{\partial b}\frac{db}{dx} = b \frac{da}{dx} + a \frac{db}{dx}.$

推廣

• 若有$n$个函数$f_1,f_2,...,f_n$，则：

$\left( {\prod_{k = 1}^n {f_n } } \right)^\prime = \sum_{k = 1}^n {\left( {f'_k \cdot \prod_{j = 1 \atop j \ne k } ^n {f_j } } \right)}$

• （萊布尼茲法則）若$f,g$均為可導$n$次的函數，則$fg$的$n$次導數為：

$(f\cdot g)^{(n)}=\sum_{k=0}^n {n \choose k} f^{(k)} g^{(n-k)}$

其中${n \choose k}$是二項式係數。

应用

乘积法则的一个应用是证明以下公式：

${d \over dx} x^n = nx^{n-1}$

其中n是一个正整数（该公式即使当n不是正整数时也是成立的，但证明需要用到其它方法）。我们用数学归纳法来证明这个公式。如果n = 0，那么xⁿ是常数，因此nx^n − 1 = 0。假设公式对于某个特定的n成立，那么对于n + 1，我们有：

$\begin{align} {d \over dx}x^{n+1} &{}= {d \over dx}\left( x^n\cdot x\right) \\ \\ &{}= x{d \over dx} x^n + x^n{d \over dx}x \\ \\ &{}= x\left(nx^{n-1}\right) + x^n\cdot 1 \\ \\ &{}= (n + 1)x^n. \end{align}$

因此公式对于n + 1也成立。

参见

• 除法定则
• 倒数定则
• 复合函数求导法则
• 分部积分法