乘积法则

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微积分学
\int_M \mathrm{d}\omega = \oint_{\partial M} \omega
函数 · 导数 · 微分 · 积分

乘积法则,也称为莱布尼兹法则,是数学中关于两个函数的的導數的一个计算法则。

若已知两个连续函数f,g及其导数f',g',则它们的积fg的导数为:

(fg)'=f'g+fg' \,

這個法則可衍生出積分的分部積分法

莱布尼兹的发现[编辑]

这个法则是莱布尼兹发现的,以下是他的证明:设u(x)和v(x)为x的两个可导函数。那么,uv的微分是:


\begin{align}
d(u\cdot v) & {} = (u + du)\cdot (v + dv) - u\cdot v \\
& {} = u\cdot dv + v\cdot du + du\cdot dv.
\end{align}

由于du·dv可以忽略不计,因此有:

d(u\cdot v) = v\cdot du + u\cdot dv \,

两边除以dx,便得:

\frac{d}{dx} (u\cdot v) = v \cdot \frac{du}{dx} + u \cdot  \frac{dv}{dx}

(u\cdot v)' = v\cdot  u' + u\cdot  v'. \,

例子[编辑]

  • 假设我们要求出f(x) = x2 sin(x)的导数。利用乘积法则,可得f'(x) = 2x sin(x) + x2cos(x)(这是因为x2的导数是2x,sin(x)的导数是cos(x))。
  • 乘积法则的一个特例,是“常数因子法则”,也就是:如果c实数f(x)是可微函数,那么cf(x)也是可微的,其导数为(c × f)'(x) = c × f '(x)。
  • 乘积法则可以用来推出分部积分法除法定则

证明[编辑]

假设

 h(x) = f(x)g(x),\,

fgx点可导。那么:

h'(x) = \lim_{w\to x}{ h(w) - h(x) \over w - x} = \lim_{w\to x}{f(w)g(w) - f(x)g(x) \over w - x}. \qquad\qquad(1)

现在,以下的差

 f(w)g(w) - f(x)g(x)\qquad\qquad(2)

是图中大矩形的面积减去小矩形的面积。

Regladelproducte.png

这个区域可以分割为两个矩形,它们面积的和为:

 f(x) \Bigg( g(w) - g(x) \Bigg) + g(w)\Bigg( f(w) - f(x) \Bigg).\qquad\qquad(3)

因此,(1)的表达式等于:

\lim_{w\to x}\left( f(x) \left( {g(w) - g(x) \over w - x} \right) + g(w)\left( {f(w) - f(x) \over w - x} \right) \right).\qquad\qquad(4)

如果(5)式中的四个极限都存在,则(4)的表达式等于:

 \left(\lim_{w\to x}f(x)\right) \left(\lim_{w\to x} {g(w) - g(x) \over w - x}\right)
+ \left(\lim_{w\to x} g(w)\right) \left(\lim_{w\to x} {f(w) - f(x) \over w - x} \right).
\qquad\qquad(5)

现在:

\lim_{w\to x}f(x) = f(x)\,

因为当wx时,f(x)不变;

 \lim_{w\to x} {g(w) - g(x) \over w - x} = g'(x)

因为gx点可导;

 \lim_{w\to x} {f(w) - f(x) \over w - x} = f'(x)

因为fx点可导;以及

 \lim_{w\to x} g(w) = g(x)\,

因为gx点连续(可导的函数一定连续)。

现在可以得出结论,(5)的表达式等于:

 f(x)g'(x) + g(x)f'(x). \,

另外一种证明:利用对数[编辑]

f = uv,并假设uv是正数。那么:

\ln f = \ln u + \ln v.\,

两边求导,得:

{1 \over f} {d \over dx} f = {1 \over u} {d \over dx} u + {1 \over v} {d \over dx} v

把等式的左边乘以f,右边乘以uv,即得:

{d \over dx} f = v {d \over dx} u + u {d \over dx} v.

另外一种证明:利用复合函数求导法则[编辑]

乘积法则可以视为多元复合函数求导法则的一个特例。

 {d (ab) \over dx} = \frac{\partial(ab)}{\partial a}\frac{da}{dx}+\frac{\partial (ab)}{\partial b}\frac{db}{dx} = b \frac{da}{dx} + a \frac{db}{dx}.

推廣[编辑]

  • 若有n个函数f_1,f_2,...,f_n,则:
\left( {\prod_{k = 1}^n {f_n } } \right)^\prime = \sum_{k = 1}^n {\left( {f'_k  \cdot \prod_{j = 1 \atop j \ne k } ^n {f_j } } \right)}
  • 萊布尼茲法則)若f,g均為可導n次的函數,則fgn次導數為:
(f\cdot g)^{(n)}=\sum_{k=0}^n {n \choose k} f^{(k)} g^{(n-k)}

其中{n \choose k}二項式係數

应用[编辑]

乘积法则的一个应用是证明以下公式:

 {d \over dx} x^n = nx^{n-1}

其中n是一个正整数(该公式即使当n不是正整数时也是成立的,但证明需要用到其它方法)。我们用数学归纳法来证明这个公式。如果n = 0,那么xn是常数,因此nxn − 1 = 0。假设公式对于某个特定的n成立,那么对于n + 1,我们有:

\begin{align}
{d \over dx}x^{n+1} &{}= {d \over dx}\left( x^n\cdot x\right) \\  \\
&{}= x{d \over dx} x^n + x^n{d \over dx}x \\  \\
&{}= x\left(nx^{n-1}\right) + x^n\cdot 1 \\  \\
&{}= (n + 1)x^n.
\end{align}

因此公式对于n + 1也成立。

参见[编辑]