九点圆

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索
九點圓

九點圓(又稱歐拉圓費爾巴哈圓),在平面幾何中,對任何三角形,九點圓通過三角形三邊的中點、三高的垂足和頂點到垂心的三條線段的中點。九點圓定理指出對任何三角形,這九點必定共圓。而九點圓還具有以下性質:

  • 九點圓的半徑外接圓的一半,且九點圓平分垂心與外接圓上的任一點的連線。
  • 圓心歐拉線上,且在垂心外心的線段的中點。
  • 九點圓和三角形的內切圓旁切圓相切(費爾巴哈定理)。
  • 圓周上四點任取三點做三角形,四個三角形的九點圓圓心共圓(庫利奇-大上定理)。

歷史[编辑]

1765年,萊昂哈德·歐拉證明:「垂心三角形和垂足三角形有共同的外接圓(六點圓)。」許多人誤以為九點圓是由而歐拉發現所以又稱乎此圓為歐拉圓。而第一個證明九點圓的人是彭賽列(1821年)。1822年,卡尔·威廉·費爾巴哈也發現了九點圓,並得出「九點圓和三角形的內切圓旁切圓相切」,因此德國人稱此圓為費爾巴哈圓,並稱這四個切點費爾巴哈點庫利奇大上分別於1910年與1916年發表庫利奇-大上定理「圓周上四點任取三點做三角形,四個三角形的九點圓圓心共圓。」這個圓還被稱為四邊形的九點圓,此結果還可推廣到n邊形。

九點圓证明[编辑]

Nine-point circle.svg

如圖:DEF為三邊的中點,GHI為垂足,JKL為和頂點到垂心的三條線段的中點。

  • 因此\overline{FJ} // \overline{BH} // \overline{DL}
  • 同樣可得出 \triangle ABC \sim \triangle FBD  \triangle ASC \sim \triangle JSL (SAS相似)
  • 因此\overline{FD} // \overline{AC} // \overline{JL}
  • \overline{BH} \perp \overline{AC},可得出四邊形DFJL矩形(四點共圓)
  • 同理可證FKLE也是矩形(DKFJEL共圓)
  • \angle JLD = \angle JGD = 90^\circ,因此可知G也在圓上(圓周角相等)
  • 同理可證HI兩點也在圓上(九點共圓)


性質證明[编辑]

9pcircle 04.png

九點圓的半徑是外接圓的一半,且九點圓平分垂心與外接圓上的任一點的連線。

  • 直角坐標系中,我們知道的方程為(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2,其中r為圓的半徑,(x_0,y_0)為圓的圓心坐標。若做圓上三點與點(x_S,y_S)的中點的軌跡,則此軌跡的方程式為:
\left(x-\frac{x_0+x_S}{2}\right)^2 + \left(y-\frac{y_0+y_S}{2}\right)^2 = \left(\frac{r}{2}\right)^2
  • r為外接圓的半徑、(x_0,y_0)為外接圓的圓心坐標、點(x_S,y_S)為垂心坐標。
  • 已知九點圓通過頂點到垂心的三條線段的中點,故此軌跡圓就是九點圓,半徑是外接圓的一半,且平分垂心與外接圓上的任一點的連線。
  • 同時還可以得出下面的性質:

圓心在歐拉線上,且在垂心到外心的線段的中點。


Circ9pnt3.svg

九點圓和三角形的內切圓旁切圓相切(費爾巴哈定理)。


圓周上四點任取三點做三角形,四個三角形的九點圓圓心共圓(庫利奇-大上定理)。

其他[编辑]

參見條目[编辑]

參考資料[编辑]