九点圆

九點圓

九點圓（又稱歐拉圓、費爾巴哈圓），在平面幾何中，對任何三角形，九點圓通過三角形三邊的中點、三高的垂足和頂點到垂心的三條線段的中點。九點圓定理指出對任何三角形，這九點必定共圓。而九點圓還具有以下性質：

• 九點圓的半徑是外接圓的一半，且九點圓平分垂心與外接圓上的任一點的連線。
• 圓心在歐拉線上，且在垂心到外心的線段的中點。
• 九點圓和三角形的內切圓和旁切圓相切（費爾巴哈定理）。
• 圓周上四點任取三點做三角形，四個三角形的九點圓圓心共圓（庫利奇－大上定理）。

歷史

1765年，萊昂哈德·歐拉證明：「垂心三角形和垂足三角形有共同的外接圓（六點圓）。」許多人誤以為九點圓是由而歐拉發現所以又稱乎此圓為歐拉圓。而第一個證明九點圓的人是彭賽列（1821年）。1822年，卡尔·威廉·費爾巴哈也發現了九點圓，並得出「九點圓和三角形的內切圓和旁切圓相切」，因此德國人稱此圓為費爾巴哈圓，並稱這四個切點為費爾巴哈點。庫利奇與大上分別於1910年與1916年發表庫利奇－大上定理「圓周上四點任取三點做三角形，四個三角形的九點圓圓心共圓。」這個圓還被稱為四邊形的九點圓，此結果還可推廣到n邊形。

九點圓证明

如圖：$D$、$E$、$F$為三邊的中點，$G$、$H$、$I$為垂足，$J$、$K$、$L$為和頂點到垂心的三條線段的中點。

• 容易得出$\triangle ABS \sim \triangle AFJ$、$\triangle CBS \sim \triangle CDL$（SAS相似）

• 因此$\overline{FJ} // \overline{BH} // \overline{DL}$

• 同樣可得出$\triangle ABC \sim \triangle FBD$、$\triangle ASC \sim \triangle JSL$（SAS相似）

• 因此$\overline{FD} // \overline{AC} // \overline{JL}$

• 又$\overline{BH} \perp \overline{AC}$，可得出四邊形$DFJL$是矩形（四點共圓）

• 同理可證$FKLE$也是矩形（$DKFJEL$共圓）

• $\angle JLD = \angle JGD = 90^\circ$，因此可知$G$也在圓上（圓周角相等）

• 同理可證$H$、$I$兩點也在圓上（九點共圓）

性質證明

九點圓的半徑是外接圓的一半，且九點圓平分垂心與外接圓上的任一點的連線。

• 在直角坐標系中，我們知道圓的方程為$(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2$，其中$r$為圓的半徑，$(x_0,y_0)$為圓的圓心坐標。若做圓上一點與點$(x_S,y_S)$的中點的軌跡，則此軌跡的方程式為：

$\ (\tfrac{x-x_0+x_S}{2})^2 + (\tfrac{y-y_0+y_S}{2})^2 = (\tfrac{r}{2})^2$

• 設$r$為外接圓的半徑、$(x_0,y_0)$為外接圓的圓心坐標、點$(x_S,y_S)$為垂心坐標。
• 已知九點圓通過頂點到垂心的三條線段的中點，故此軌跡圓就是九點圓，半徑是外接圓的一半，且平分垂心與外接圓上的任一點的連線。
• 同時還可以得出下面的性質：

圓心在歐拉線上，且在垂心到外心的線段的中點。

九點圓和三角形的內切圓和旁切圓相切（費爾巴哈定理）。

圓周上四點任取三點做三角形，四個三角形的九點圓圓心共圓（庫利奇－大上定理）。

其他

• 垂心四面体的12点共球 九点圆是垂心四面体各棱的中点和垂足（相对于对棱）共球的特例，两者是同构的
• 旁心三角形的九點圓是三角形的外接圓
• 中點三角形的外接圓是三角形的九點圓
• 三線坐標中，九點圓的座標為$\cos(B-C)\,:\,\cos(C-A)\,:\,\cos(A-B)$
• 三線坐標中，費爾巴哈點的座標為$1-\cos(B-C)\,:\,1-\cos(C-A)\,:\,1-\cos(A-B)$

參見條目

• 萊昂哈德·歐拉
• 卡尔·威廉·費爾巴哈
• 圆形
• 三角形

參考資料

• 幾何明珠 ISBN 957-603-197-4
• [1]
• 幾何寶庫
• [2]
• Feuerbach's Theorem: a Proof