事件 (概率论)

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概率論中,隨機事件(或簡稱事件)指的是一個被賦與機率的事物集合,也就是樣本空間中的一個子集。簡單來說,在一次隨機試驗中,某個特定事件可能出現也可能不出現;但當試驗次數增多,我們可以觀察到某種規律性的結果,就是隨機事件。基本上,只要樣本空間是有限的,則在樣本空間內的任何一個子集合,都可以被稱為是一個事件。然而,當樣本空間是無限的時候,特別是不可數之時,就常常不能定義所有的子集為隨機事件了。因此,爲了定義一個概率空間,常常需要去掉樣本空間的某些子集,規定他們不能成為事件。

例子[编辑]

假設我們有一堆52張的撲克牌,并閉著眼睛在這堆牌中抽取一張牌,那麼用概率論的術語來說,我們實際上是在做一個隨機試驗。這時,我們的樣本空間是一個有著52個元素的集合,因為任意一張牌都是一個可能的結果。而一個隨機事件,則是這個樣本空間的任意一個子集。運用組合知識可以知道,隨機事件一共有2^{52}種。當這個事件僅僅包括樣本空間的一個元素(或者說它是一個單元素集合)的時候,稱這個事件為一個基本事件。比如說事件“抽到的牌是黑桃7”。當事件是空集時,稱這個事件為不可能事件。當事件是全集時,則稱事件是必然事件。其它還有各種各樣的事件,比如:

  • “抽到的牌是小王”(也是不可能事件)
  • “抽到的牌是紅桃3”(基本事件)
  • “抽到的牌數字是9”(包含4個元素)
  • “抽到的牌是方片”(包含13個元素)
  • “抽到的牌是紅顏色的並且數字小於等於10”(包含20個元素)
  • “抽到的牌不是紅桃3”(包含51個元素)

由於事件是樣本空間的子集,所以也可以寫成集合的形式。有時候寫成集合的形式可能會很困難。有時候也可以用文氏圖來表示事件,這時可以用事件所代表圖形的面積來按比例顯示事件的概率。

事件與概率空間[编辑]

當樣本空間有限的時候,稱為古典概型。這時可以(也是一般用到的)取樣本空間的所有的子集作為事件。然而,當樣本空間不是有限的時候,特別是當樣本空間是實數的時候,就不能取所有的子集作為事件了。其中的根本原因在於概率的定義。一般來說,當研究一個隨機事件的時候,我們希望知道它發生的概率。事件發生的概率是一個介於0和1之間的數。當樣本空間是不可數的時候,如果我們取樣本空間所有的子集,那麼概率論的公理系統會產生數學上的矛盾,也就是說,會有一些子集無法被定義概率。具體地說,概率論的公理系統是由三個部份(\Sigma, \mathcal{F}, \mathbb{P})組成的,又稱為概率空間。這個空間包括:樣本空間\Sigma、事件集合\mathcal{F}(又稱為事件體)以及定義在這上面的一個取概率的運算:\mathbb{P}。其中的事件集合\mathcal{F}是一個σ-代數,而取概率的運算\mathbb{P} 需要滿足概率的加法公理(σ-Additive):

如果一系列事件A_1, A_2, \cdots兩兩互斥(也就是說對任意的i , jA_i \cap A_j 都是空集。此亦稱為pairwise disjoint)那麼就有:
\mathbb{P}( \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i) = \sum_{i=1}^{\infty} \mathbb{P}( A_i)

這個公理是符合一般人的直覺的:如果幾件事情互相之間相互排斥,那麼“它們幾個中有一個發生”的概率應該等於其中每一個發生的概率的和。

然而,對於不可數的樣本空間,如果選全部的子集作為事件的話,會有一些子集,無論怎樣為他們定義概率,都會違反加法公理。[1]

一個反例[编辑]

假設小明和小華玩一個遊戲,讓小華隨意說一個0到1之間的實數。小明爲了研究概率,選擇了所有[0,1]的子集作為概率集合。他將所有的0到1之間的有理數取出來。由於0到1之間的有理數是可數集合,所以可以做標號:q_1, q_2, \cdots。對於每一個0到1之間的實數a,小明將a+q_1, a+q_2, \cdots作為一個集合,如果其中有大於1的,就減去1。這個集合是由可數個數構成的,小明把它記作S_a。所有這些集合S_a的並集是區間[0,1],而它們之間兩兩不相交。然後將每個S_a寫成:

S_a = s_{a, 1}, s_{a, 2}, \cdots

再令:

T_1 = 遍歷所有S_a 集合中的s_{a, 1} 所構成的集合。
T_2 = 遍歷所有S_a 集合中的s_{a, 2} 所構成的集合。
如此等等,

那麼所得到的事件(也就是集合)T_1, T_2 , \cdots的並集也是區間[0,1],而且它們之間兩兩不相交。由於這些事件之間地位相等,所以它們的概率\mathbb{P}(T_n)都是一樣的。 如果\mathbb{P}(T_n) >0,那麼根據加法原則,

1 =\mathbb{P}([0,1]) = \mathbb{P}( \bigcup_{i=1}^{\infty} T_i) = \sum_{i=1}^{\infty} \mathbb{P}( T_i) =\sum_{i=1}^{\infty} \mathbb{P}( T_1) = + \infty

而如果\mathbb{P}(T_n) = 0,那麼根據加法原則,仍然有:

1 =\mathbb{P}([0,1]) = \mathbb{P}( \bigcup_{i=1}^{\infty} T_i) = \sum_{i=1}^{\infty} \mathbb{P}( T_i) = 0 + 0 + \cdots = 0

因此無論如何,都會導致矛盾。也就是說小明無法為事件T_1定出一個概率。在一般的測度理論中,這種集合稱為(勒貝格)不可測集合[2]

事件之間的關係[编辑]

兩個隨機事件之間可以有各種各樣的關係。

  • 包含關係:通常用符號\subset表示。一個事件A包含另一個事件B記作:B \subset A。這時只要事件B發生,那麼事件A也一定發生。這個關係其實就是集合論中的包含關係。舉之前撲克牌的例子來說,假設事件A是“抽出的牌上數字是8”,事件B是“抽出的牌是梅花8”,那麼事件A包含事件B:只要抽出的是梅花8,牌上的數字自然就是8。
  • 等價關係:兩個事件對應的子集完全相等,記作A = B。例子:事件“抽出的牌花色是黑桃並且數字比3小並且數字是偶數”和事件“抽出的牌是黑桃2”就是等價的。
  • 對立關係:兩個事件只能有一個發生,並且必然有一個發生,則它們是對立關係。這種關係對應的集合論術語是“補集”。
  • 互斥關係:兩個事件只能有一個發生,但並不必然有一個發生。這時也稱兩個事件之間是互不相容的。

獨立事件[编辑]

如果兩個事件同時發生的概率等於它們各自發生的概率的乘積,那麼就稱這兩個事件是相互獨立的。比如說,“抽到的牌是紅桃”和“抽到的牌數字是4”就是相互獨立的,因為兩者同時發生——抽到的牌是紅桃4——的概率是52分之1,而“抽到的牌是紅桃”的概率是4分之1,“抽到的牌數字是4”的概率是13分之1,兩者相乘便是52分之1。

參見[编辑]

參考來源[编辑]

  1. ^ 龚光鲁. 概率论与数理统计. 清华大学出版社. 2006. ISBN 978-7-302-12723-9. ,第13頁
  2. ^ 张育丽. Lebesgue不可测集的存在性及其应用. 烟台师范学院学报(自然科学版). 2004, 20: 103-104. 
  • 叶俊 赵衡秀. 《概率论与数理统计》. 清華大學出版社. 2005. ISBN 7302041566 请检查|isbn=值 (帮助).