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二元搜尋樹

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3层二元搜尋樹

二叉查找树英语Binary Search Tree),也称二叉搜索树、有序二叉树(英语ordered binary tree),排序二叉树(英语sorted binary tree),是指一棵空树或者具有下列性质的二叉树

  1. 若任意节点的左子树不空,则左子树上所有结点的值均小于或等于它的根结点的值;
  2. 任意节点的右子树不空,则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值;
  3. 任意节点的左、右子树也分别为二叉查找树。
  4. 没有键值相等的节点(英语no duplicate nodes)。

二叉查找树相比于其他数据结构的优势在于查找、插入的时间复杂度较低。为O(log n)。二叉查找树是基础性数据结构,用于构建更为抽象的数据结构,如集合multiset关联数组等。

二叉查找树的查找过程和次优二叉树类似,通常采取二叉链表作为二叉查找树的存储结构。中序遍历二叉查找树可得到一个关键字的有序序列,一个无序序列可以通过构造一棵二叉查找树变成一个有序序列,构造树的过程即为对无序序列进行查找的过程。每次插入的新的结点都是二叉查找树上新的叶子结点,在进行插入操作时,不必移动其它结点,只需改动某个结点的指针,由空变为非空即可。搜索、插入、删除的复杂度等于树高,期望O(\log n),最坏O(n)(数列有序,树退化成线性表)。

虽然二叉查找树的最坏效率是O(n),但它支持动态查询,且有很多改进版的二叉查找树可以使树高为O(\log n),如SBT,AVL树,红黑树等.故不失为一种好的动态查找方法.

二元搜尋樹的查找算法[编辑]

在二元搜尋樹b中查找x的過程為:

  1. 若b是空樹,則搜索失敗,否則:
  2. 若x等於b的根節點的數據域之值,則查找成功;否則:
  3. 若x小於b的根節點的數據域之值,則搜索左子樹;否則:
  4. 查找右子树。
/* 以下代码为C++写成, 下同 */
Status SearchBST(BiTree T, KeyType key, BiTree f, BiTree &p){
  //在根指针T所指二元查找樹中递归地查找其關键字等於key的數據元素,若查找成功,
  //則指针p指向該數據元素節點,并返回TRUE,否則指针指向查找路徑上訪問的最後
  //一個節點并返回FALSE,指针f指向T的雙親,其初始调用值為NULL
  if(!T) { //查找不成功
    p=f;
    return false;
  }
  else if (key == T->data.key) { //查找成功
    p=T;
    return true;
  }
  else if (key < T->data.key) //在左子樹中繼續查找
    return SearchBST(T->lchild, key, T, p);
  else //在右子樹中繼續查找
    return SearchBST(T->rchild, key, T, p);
}

在二元搜尋樹插入節点的算法[编辑]

向一个二元搜尋樹b中插入一个節点s的算法,过程为:

  1. 若b是空树,则将s所指结点作为根節点插入,否则:
  2. 若s->data等于b的根節点的数据域之值,则返回,否则:
  3. 若s->data小于b的根節点的数据域之值,则把s所指節点插入到左子树中,否则:
  4. 把s所指節点插入到右子树中。(新插入節點總是葉子節點)
/*当二元搜尋樹T中不存在关键字等于e.key的数据元素时,插入e并返回TRUE,否则返回FALSE*/
Status InsertBST(BiTree &T, ElemType e){  
      if(!T)  
        {
	    T=s;	//被插節点*s为新的根结点
            s = new BiTNode;
            s->data = e; s->lchild = s->rchild = NULL;
        }
      else if(e.key == p->data.key)
        return false;//关键字等于e.key的数据元素,返回錯誤
      if (e.key < p->data.key)
	InsertBST(p->lchild, e);	//將e插入左子樹
      else 
	InsertBST(p->rchild, e);	//將e插入右子樹
      return true;
 }

在二叉查找树删除结点的算法[编辑]

删除一个有左、右子树的节点

在二叉查找树删去一个结点,分三种情况讨论:

  1. 若*p结点为叶子结点,即PL(左子树)和PR(右子树)均为空树。由于删去叶子结点不破坏整棵树的结构,则只需修改其双亲结点的指针即可。
  2. 若*p结点只有左子树PL或右子树PR,此时只要令PL或PR直接成为其双亲结点*f的左子树(当*p是左子树)或右子树(当*p是右子树)即可,作此修改也不破坏二叉查找树的特性。
  3. 若*p结点的左子树和右子树均不空。在删去*p之后,为保持其它元素之间的相对位置不变,可按中序遍历保持有序进行调整,可以有两种做法:其一是令*p的左子树为*f的左/右(依*p是*f的左子树还是右子树而定)子树,*s为*p左子树的最右下的结点,而*p的右子树为*s的右子树;其二是令*p的直接前驱(in-order predecessor)或直接后继(in-order successor)替代*p,然后再从二叉查找树中删去它的直接前驱(或直接后继)。

在二叉查找树上删除一个结点的算法如下:

Status DeleteBST(BiTree &T, KeyType key){
  //若二叉查找树T中存在关键字等于key的数据元素时,则删除该数据元素,并返回
  //TRUE;否则返回FALSE
  if(!T) 
    return false;	//不存在关键字等于key的数据元素
  else{
    if(key == T->data.key) { 	//  找到关键字等于key的数据元素
      return Delete(T);
    }
    else if(key < T->data.key)
      return DeleteBST(T->lchild, key);
    else
      return DeleteBST(T->rchild, key);
  }
}
 
Status Delete(BiTree &p){
  //该节点为叶子节点,直接删除
   BiTree *q, *s;
   if (!p->rchild && !p->lchild)
  {
      delete p;
  }
  else if(!p->rchild){	//右子树空则只需重接它的左子树
    q=p->lchild;
    p->data = p->lchild->data;
    p->lchild=p->lchild->lchild;
    p->rchild=p->lchild->rchild;
 
    delete q;
  }
  else if(!p->lchild){	//左子树空只需重接它的右子树
    q=p->rchild;
    p->data = p->rchild->data;
    p->lchild=p->rchild->lchild;
    p->rchild=p->rchild->rchild;
 
    delete q;  }
  else{	//左右子树均不空
    q=p; 
    s=p->lchild;
    while(s->rchild){ 
      q=s; 
      s=s->rchild;
    }	//转左,然后向右到尽头
    p->data = s->data;	//s指向被删结点的“前驱”
    if(q!=p)	
      q->rchild = s->lchild;	//重接*q的右子树
    else 
      q->lchild = s->lchild;	//重接*q的左子树
    delete s;
  }
  return true;
}

C语言中有些编译器不支持为 struct Node 节点分配空间,声称这是一个不完全的结构,可使用一个指向该 Node指针为之分配空间。

  • 如:sizeof( Probe )Probe 作为二叉树节点在 typedef 中定义的指针。

Python实现:

def find_min(self):   # Gets minimum node (leftmost leaf) in a subtree
    current_node = self
    while current_node.left_child:
        current_node = current_node.left_child
    return current_node
 
def replace_node_in_parent(self, new_value=None):
    if self.parent:
        if self == self.parent.left_child:
            self.parent.left_child = new_value
        else:
            self.parent.right_child = new_value
    if new_value:
        new_value.parent = self.parent
 
def binary_tree_delete(self, key):
    if key < self.key:
        self.left_child.binary_tree_delete(key)
    elif key > self.key:
        self.right_child.binary_tree_delete(key)
    else: # delete the key here
        if self.left_child and self.right_child: # if both children are present
            successor = self.right_child.find_min()
            self.key = successor.key
            successor.binary_tree_delete(successor.key)
        elif self.left_child:   # if the node has only a *left* child
            self.replace_node_in_parent(self.left_child)
        elif self.right_child:  # if the node has only a *right* child
            self.replace_node_in_parent(self.right_child)
        else: # this node has no children
            self.replace_node_in_parent(None)

二叉查找树的遍历[编辑]

中序遍历(in-order traversal)二叉查找树的Python代码:

def traverse_binary_tree(node, callback):
    if node is None:
        return
    traverse_binary_tree(node.leftChild, callback)
    callback(node.value)
    traverse_binary_tree(node.rightChild, callback)

排序(或称构造)一棵二叉查找树[编辑]

用一组数值建造一棵二叉查找树的同时,也把这组数值进行了排序。其最差时间复杂度为O(n^2)。 例如,若该组数值经是有序的(从小到大),则建造出来的二叉查找树的所有节点,都没有左子树。 自平衡二叉查找树可以克服上述缺点,其时间复杂度为O(nlog n)。 一方面,树排序的问题使得CPU Cache性能较差,特别是当节点是动态内存分配时。而堆排序的CPU Cache性能较好。 另一方面,树排序是最优的增量排序(incremental sorting)算法,保持一个数值序列的有序性。

def build_binary_tree(values):
    tree = None
    for v in values:
        tree = binary_tree_insert(tree, v)
    return tree
 
def get_inorder_traversal(root):
    '''
    Returns a list containing all the values in the tree, starting at *root*.
    Traverses the tree in-order(leftChild, root, rightChild).
    '''
    result = []
    traverse_binary_tree(root, lambda element: result.append(element))
    return result

二叉查找树性能分析[编辑]

每个结点的C_i为该结点的层次数。最坏情况下,当先后插入的关键字有序时,构成的二叉查找树蜕变为单支树,树的深度为n,其平均查找长度为\frac{n+1}{2}(和顺序查找相同),最好的情况是二叉查找树的形态和折半查找的判定树相同,其平均查找长度和\log_2(n)成正比(O(\log_2(n)))。

二叉查找树的优化[编辑]

请参见主条目平衡树

  1. Size Balanced Tree(SBT)
  2. AVL树
  3. 红黑树
  4. Treap(Tree+Heap)

这些均可以使查找树的高度为O(\log(n))

参见[编辑]