二元搜尋樹

3层二元搜尋樹

二叉查找树（Binary Search Tree），或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树：

1. 若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
2. 若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；
3. 它的左、右子树也分别为二叉排序树。

二叉排序树的查找过程和次优二叉树类似，通常采取二叉链表作为二叉排序树的存储结构。中序遍历二叉排序树可得到一个关键字的有序序列，一个无序序列可以通过构造一棵二叉排序树变成一个有序序列，构造树的过程即为对无序序列进行排序的过程。每次插入的新的结点都是二叉排序树上新的叶子结点，在进行插入操作时，不必移动其它结点，只需改动某个结点的指针，由空变为非空即可。搜索,插入,删除的复杂度等于树高，期望O(logn),最坏O(n)(数列有序,树退化成线性表).

虽然二叉排序树的最坏效率是O(n),但它支持动态查询,且有很多改进版的二叉排序树可以使树高为O(logn),如SBT,AVL,红黑树等.故不失为一种好的动态排序方法.

二元搜尋樹的查找算法

在二元搜尋樹b中查找x的過程為：

1. 若b是空樹，則搜索失敗，否則：
2. 若x等於b的根節點的數據域之值，則查找成功；否則：
3. 若x小於b的根節點的數據域之值，則搜索左子樹；否則：
4. 查找右子树。

/* 以下代码为C++写成, 下同 */
Status SearchBST(BiTree T, KeyType key, BiTree f, BiTree &p){
  //在根指针T所指二元排序樹中递归地查找其關键字等於key的數據元素，若查找成功，
  //則指针p指向該數據元素節點，并返回TRUE，否則指针指向查找路徑上訪問的最後
  //一個節點并返回FALSE，指针f指向T的雙親，其初始调用值為NULL
  if(!T) { //查找不成功
    p=f;
    return false;
  }
  else if (key == T->data.key) { //查找成功
    p=T;
    return true;
  }
  else if (key < T->data.key) //在左子樹中繼續查找
    return SearchBST(T->lchild, key, T, p);
  else //在右子樹中繼續查找
    return SearchBST(T->rchild, key, T, p);
}

在二元搜尋樹插入節点的算法

向一个二元搜尋樹b中插入一个節点s的算法，过程为：

1. 若b是空树，则将s所指结点作为根節点插入，否则：
2. 若s->data等于b的根節点的数据域之值，则返回，否则：
3. 若s->data小于b的根節点的数据域之值，则把s所指節点插入到左子树中，否则：
4. 把s所指節点插入到右子树中。

/*当二元搜尋樹T中不存在关键字等于e.key的数据元素时，插入e并返回TRUE，否则返回FALSE*/
Status InsertBST(BiTree &T, ElemType e){
  if(!SearchBST(T, e.key, NULL,p){
      s = new BiTNode;
      s->data = e; s->lchild = s->rchild = NULL;
      if(!p)  
        T=s;    //被插節点*s为新的根结点
      else if (e.key < p->data.key)
        p->lchild = s;  //被插節点*s为左孩子
      else 
        p->rchild = s;  //被插節点*s为右孩子
      return true;
  }
  else 
      return false;     //树中已有关键字相同的節点，不再插入
}

在二叉排序树删除结点的算法

在二叉排序树删去一个结点，分三种情况讨论：

1. 若*p结点为叶子结点，即PL(左子树)和PR(右子树)均为空树。由于删去叶子结点不破坏整棵树的结构，则只需修改其双亲结点的指针即可。
2. 若*p结点只有左子树PL或右子树PR，此时只要令PL或PR直接成为其双亲结点*f的左子树（当*p是左子树）或右子树（当*p是右子树）即可，作此修改也不破坏二叉排序树的特性。
3. 若*p结点的左子树和右子树均不空。在删去*p之后，为保持其它元素之间的相对位置不变，可按中序遍历保持有序进行调整，可以有两种做法：其一是令*p的左子树为*f的左/右(依*p是*f的左子树还是右子树而定)子树，*s为*p左子树的最右下的结点，而*p的右子树为*s的右子树；其二是令*p的直接前驱（或直接后继）替代*p，然后再从二叉排序树中删去它的直接前驱（或直接后继）。在二叉排序树上删除一个结点的算法如下：

Status DeleteBST(BiTree &T, KeyType key){
  //若二叉排序树T中存在关键字等于key的数据元素时，则删除该数据元素，并返回
  //TRUE；否则返回FALSE
  if(!T) 
    return false;       //不存在关键字等于key的数据元素
  else{
    if(key == T->data.key) {    //  找到关键字等于key的数据元素
      return Delete(T);
    }
    else if(key < T->data.key)
      return DeleteBST(T->lchild, key);
    else
      return DeleteBST(T->rchild, key);
  }
}
 
Status Delete(BiTree &p){
  //从二叉排序树中删除结点p，并重接它的左或右子树
  if(!p->rchild){       //右子树空则只需重接它的左子树
    q=p;
    p=p->lchild;
    delete q;
  }
  else if(!p->lchild){  //左子树空只需重接它的右子树
    q=p;
    p=p->rchild; 
    delete q;
  }
  else{ //左右子树均不空
    q=p; 
    s=p->lchild;
    while(s->rchild){ 
      q=s; 
      s=s->rchild;
    }   //转左，然后向右到尽头
    p->data = s->data;  //s指向被删结点的“前驱”
    if(q!=p)    
      q->rchild = s->lchild;    //重接*q的右子树
    else 
      q->lchild = s->lchild;    //重接*q的左子树
    delete s;
  }
  return true;
}

在C语言中有些编译器不支持为 struct Node 节点分配空间，声称这是一个不完全的结构，可使用一个指向该 Node 的指针为之分配空间。

• 如：sizeof( Probe )，Probe 作为二叉树节点在 typedef 中定义的指针。

二叉排序树性能分析

每个结点的$C_i$为该结点的层次数。最坏情况下，当先后插入的关键字有序时，构成的二叉排序树蜕变为单支树，树的深度为$n$，其平均查找长度为$\frac{n+1}{2}$（和顺序查找相同），最好的情况是二叉排序树的形态和折半查找的判定树相同，其平均查找长度和$\log_2(n)$成正比（$O(\log_2(n))$）。

Deleting a node with two children from a binary search tree

二叉排序树的优化

请参见主条目平衡树。

1. Size Balanced Tree(SBT)
2. AVL树
3. 红黑树
4. Treap(Tree+Heap)

这些均可以使查找树的高度为$O(\log(n))$

其他相關條目

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