二分法

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Bisection method.png

二分法,又稱分半法,是一種方程式的近似值求法。

演算法[编辑]

若要求已知函數 f(x) = 0 的根 (x 的解),則:

  1. 先找出一個區間 [a, b],使得f(a)与f(b)异号。根据介值定理,这个区间内一定包含著方程式的根。
  2. 求該區間的中點 m = \frac{a+b}{2},並找出 f(m) 的值。
  3. f(m) 與 f(a) 正負號相同則取 [m, b] 為新的區間, 否則取 [a, m].
  4. 重複第2和第3步至理想精確度為止。

例子[编辑]

例: 求方程 \sinh x = \cos x \! 的解, 其中 sinh 是雙曲正弦、cos 是餘弦x弧度量度.

  1. 定義 f(x) = \sinh x-\cos x\!。因此這裏是要求 f(x) = 0 的根。
  2. 畫出 y = f(x) 可大約得知其根約在 0.5 和 1 之間,故使初始區間的 [0.5, 1]。
  3. 此區間之中點為 0.75。
  4. f(0.5) ≈ -0.3565, f(0.75) ≈ 0.0906,其正負號不同,故令新區間為 [0.5, 0.75]
  5. 又新區間的中點為 0.625, 而 f(0.625) ≈ -0.1445, 與 f(0.5) 正負號相同,故新區間為 [0.625, 0.75]。
  6. 不斷重複運算即得 f(x) = 0 的根約為 0.7033。

偽代碼[编辑]

輸入 f(x) 的定義
輸入 a 和 b 為初始區間

重複如下:
  m := (a + b) / 2
  如果 f(m) * f(a) < 0 則
    b := m
  否則
    a := m
直至滿意為止
 谢谢

参考文献[编辑]

外部链接[编辑]

参见[编辑]