二次型

在数学中，二次型是一些变量上的二次齐次多项式。术语二次形式也经常用来提及二次空间，它是有序对 (V,q)，这里的 V 是在域 k 上的向量空间，而 q:V → k 是在 V 上的二次形式。例如，在三维欧几里得空间中两个点之间的距离可以采用涉及六个变量的二次形式的平方根来找到，它们是这两个点的各自的三个坐标。

下面给出一个、两个、和三个变量的二次形式:

$F(x) = ax^2$

$F(x,y) = ax^2 + by^2 + cxy$

$F(x,y,z) = ax^2 + by^2 + cz^2 + dxy + exz + fyz$

注意一般的二次函数和二次方程不是二次形式的例子，因为它们不总是齐次的。

任何非零的 n 维二次形式定义在投影空间中一个 (n-2) 维的二次曲面。在这种方式下可把 3 维二次形式可视化为圆锥曲线。

定义

设 V 是在交换环 R 上的模；R 经常是域比如实数，在这种情况下 V 是向量空间。

映射 Q : V → R 被称为在 V 上的二次形式，如果

• Q(av) = a² Q(v) 对于所有 $a \in R$ 和 $v \in V$，并且
• 2B(u,v) = Q(u+v) − Q(u) − Q(v) 是在 V 上的双线性形式。

这里的 B 被称为相伴双线性形式；它是对称双线性形式。尽管这是非常一般性的定义，经常假定这个环 R 是一个域，它的特征不是 2。

V 的两个元素 u 和 v 被称为正交的，如果 B(u, v)=0。

双线性形式 B 的核由正交于 V 的所有元素组成，而二次形式 Q 的核由 B 的核中的有 Q(u)=0 的所有元素 u 组成。 如果 2 是可逆的，则 Q 和它的相伴双线性形式 B 有同样的核。

双线性形式 B 被称为非奇异的，如果它的核是 0；二次形式 Q 被称为非奇异的，如果它的核是 0。

非奇异二次形式 Q 的正交群是保持二次形式 Q 的 V 的自同构的群。

二次形式 Q 被称为迷向的，如果有 V 中的非零的 v 使得 $Q(v) = 0$。否则它称为非迷向的。二次空间的一个向量或子空间也可以被称为迷向的。如果 $Q(V) = 0$ 则 $Q$ 被称为完全奇异的。

性质

二次形式的一些其他性质:

• Q 服从平行四边形定律:

$Q(u+v) + Q(u-v) = 2Q(u) + 2Q(v)$

• 向量 u 和 v 是关于 B 正交的，当且仅当

$Q(u+v) = Q(u) + Q(v)$

对称双线性形式

在低层的域的特征不是 2 的时候，二次形式等价于对称双线性形式。

二次形式总是生成对称双线性形式(通过极化恒等式)，而反过来要求除以 2。

注意对于任何向量 u ∈ V

2Q(u) = B(u,u)

所以如果 2 在 R 中是可逆的(在 R 是一个域的时候这同于有不是 2 的特征)，则我们可以从对称双线性形式 B 恢复二次形式，通过

Q(u) = B(u,u)/2.

当 2 是可逆的时候，这给出在 V 上的二次形式和 V 上的双线性形式之间的一一映射。如果 B 是任何对称双线性形式，则 B(u,u) 总是二次形式。所以在 2 是可逆的时候，这可以用作二次形式的定义。但是如果 2 不是可逆的，对称双线性形式和二次形式是不同的: 某些二次形式不能写为形式 B(u,u)。

我们在二维情况下描述这种等价。任何 2 维二次形式可以被写为

$F(x,y) = ax^2 + by^2 + cxy$.

我们对在这个向量空间的任何向量写 x = (x,y)。二次形式 F 可以表达为矩阵，如果我们设 M 是 2×2 矩阵:

$M= \begin{bmatrix} a & c/2 \\ c/2 & b \end{bmatrix}.$

接着矩阵乘法给我们下列等式:

F(x)=x^T·M·x

这里的有上标的 x^T 指示转置矩阵。主要我们已经用了特征不是 2，因为我们除以 2 来定义 M。所以我们看到了在 2 维二次形式 F 和对应于对称双线性形式的 2×2 对称矩阵 M 之间的对应。

这个观察迅速推广到 n 个变量和 n×n 矩阵的形式中。例如，在实数值二次形式中，实数的特征是 0，所以实数二次形式和实数对称双线性形式是来自不同观点的同样的东西。

如果 V 是 n 维的，我们写双线性形式 B 为相对于 V 的某个基 {e_i} 的对称矩阵 B。B 的分量给出自 $B_{ij} = B(e_i,e_j)$。如果 2 是可逆的，二次形式 Q 给出自

$2 Q(u) = \mathbf{u}^T \mathbf{Bu} = \sum_{i,j=1}^{n}B_{ij}u^i u^j$

这里 uⁱ 是在这个基下的 u 的分量。

实二次形式

假定 $Q$ 是定义在实数向量空间上的二次形式。

• 它被称为是正定的(或者负定的)，如果 $Q(v)>0$ (或者 $Q(v)<0$) 对于所有向量 $v\ne 0$。
• 如果我们放松严格不等于为 ≥ 或 ≤，则形式 $Q$ 被称为半定的。
• 如果 $Q(v)<0$ 对于某个 $v$ 而且 $Q(v)>0$ 对于另一个 $v$，则 $Q$ 被称为不定的。

设 $A$ 是如上那样关联于 $Q$ 的实数对称矩阵，所以对于任何列向量 $v$，

$Q(v)=v^T Av.$

成立。接着，$Q$ 是正(半)定的，负(半)定的，不定的，当且仅当矩阵 $A$ 有同样的性质(参见正定矩阵)。最终，这些性质可以用 $A$ 的特征值来刻画。

参见

• 二次形式 (统计)

引用

• O'Meara, T. Introduction to Quadratic Forms. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag. 2000. ISBN 3-540-66564-1.