二次域

在代數數論中，二次域是在有理數域$\mathbb{Q}$上次數為二的數域。二次域可以唯一地表成$\mathbb{Q}(\sqrt{d})$，其中$d \in \mathbb{Z}$無平方因子。若$d>0$，稱之為實二次域；否則稱為虛二次域或複二次域。虛實之分在於$\mathbb{Q}( \sqrt{d})$是否為全實域

二次域的 研究肇源甚早，起初是作為二次型理論的一支。二次域是代數數論的基本對象之一，雖然如此，至今仍有一些未解猜想，如類數問題。

整數環與判別式

二次域$K := \mathbb{Q}(\sqrt{d})$裡的整數環$\mathcal{O}_K$定義為該域中的代數整數。當$d \equiv 1 \mod 4$時，整數環可描述為$\mathbb{Z}(\frac{1+\sqrt{d}}{2})$，否則為$\mathbb{Z}(\sqrt{d})$。當$d=-1$時，這些整數稱為高斯整數，當$d=-3$時，稱為艾森斯坦整數。

根據上述描述，$K$的判別式不難計算：當$d \equiv 1 \mod 4$時判別式為$d$，否則則為$4d$。

二次域上的分歧理論

設$K := \mathbb{Q}(\sqrt{d})$，$p \in \mathbb{Z}$為素數。數論關注的問題是$(p) := p \mathcal{O}_K$如何在$\mathcal{O}_K$中分解成素理想之積。根據數域的分歧理論，應考慮以下情形：

• $p$是慣性的：$p \mathcal{O}_K$仍為素理想，此時$\mathcal{O}_K/(p) \simeq \mathbb{F}_{p^2}$。
• $p$分裂：$(p)$為兩個相異素理想之積，此時$\mathcal{O}_K/(p) \simeq \mathbb{F}_p^2$。
• $p$分歧：$(p)$為某個素理想之平方，此時$\mathcal{O}_K/(p)$含有非零的冪零元。

根據之前對判別式的計算，可知$p$分歧當且僅當$p$整除$K$的判別式（$d$或$4d$，取決於$d\mod4$）；對其餘無窮多個素數，前兩個情形皆會發生，而且其機率在某種意義上相等。

素p分圆域和二次域

分圆域素p（p＞2）次根群所产生二次子域，也是伽罗瓦理论（埃瓦里斯特·伽罗瓦）的一个结论，在有理域上有惟一指数2Galois子群，，二次域特例d=-1时成称高斯整环，有判别式p的p=4N+1-P，P = 4N +3才有素分解，高斯整环分歧条件叫高斯周期（Gaussian period）。

其他的分圆域

如果一个分圆域，他们有额外的2-扭伽罗瓦群，那麽就至少包含三个二次域。一般通过分圆域二次子域的判别式D的可以得到D次单位根组成的子域（D-th roots of unity）。这表示一个事实，即二次域的前导子（conductor） 是判别式D的绝对赋值 （value） 。

参考文献

• Duncan Buell. Binary quadratic forms: classical theory and modern computations. Springer-Verlag. 1989. ISBN 0-387-97037-1.  Chapter 6.
• Pierre Samuel. Algebraic number theory. Hermann/Kershaw. 1972. 
• I.N. Stewart; D.O. Tall. Algebraic number theory. Chapman and Hall. 1979. ISBN 0-412-13840-9.  Chapter 3.1.