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二次域

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代數數論中,二次域是在有理數\mathbb{Q}上次數為二的數域。二次域可以唯一地表成\mathbb{Q}(\sqrt{d}),其中d無平方數因數。若d>0,稱之為實二次域;否則稱為虛二次域複二次域。虛實之分在於\mathbb{Q}(
\sqrt{d})是否為全實域

二次域的 研究肇源甚早,起初是作為二次型理論的一支。二次域是代數數論的基本對象之一,雖然如此,至今仍有一些未解猜想,如類數問題

整數環與判別式[编辑]

二次域K := \mathbb{Q}(\sqrt{d})裡的整數環\mathcal{O}_K定義為該域中的代數整數。當d \equiv 1 \mod 4時,整數環可描述為\mathbb{Z}(\frac{1+\sqrt{d}}{2}),否則為\mathbb{Z}(\sqrt{d})。當d=-1時,這些整數稱為高斯整數,當d=-3時,稱為艾森斯坦整數

根據上述描述,K判別式不難計算:當d \equiv 1 \mod 4時判別式為d,否則則為4d

二次域上的分歧理論[编辑]

K := \mathbb{Q}(\sqrt{d})p \in \mathbb{Z}素數。數論關注的問題是(p) := p \mathcal{O}_K如何在\mathcal{O}_K中分解成素理想之積。根據數域的分歧理論,應考慮以下情形:

  • p是慣性的:p \mathcal{O}_K仍為素理想,此時\mathcal{O}_K/(p) \simeq \mathbb{F}_{p^2}
  • p分裂:(p)為兩個相異素理想之積,此時\mathcal{O}_K/(p) \simeq \mathbb{F}_p^2
  • p分歧:(p)為某個素理想之平方,此時\mathcal{O}_K/(p)含有非零的冪零元。

根據之前對判別式的計算,可知p分歧當且僅當p整除K的判別式(d4d,取決於d\mod4);對其餘無窮多個素數,前兩個情形皆會發生,而且其機率在某種意義上相等。

素p分圆域和二次域[编辑]

分圆域素p(p>2)次根群所产生二次子域,也是伽罗瓦理论(埃瓦里斯特·伽罗瓦)的一个结论,在有理域上有惟一指数2Galois子群,,二次域特例d=-1时成称高斯整环,有判别式p的p=4N+1-P,P = 4N +3才有素分解高斯整环分歧条件叫高斯周期(Gaussian period)。

其他的分圆域[编辑]

如果一个分圆域,他们有额外的2-扭伽罗瓦群,那麽就至少包含三个二次域。一般通过分圆域二次子域判别式D的可以得到D次单位根组成的子域(D-th roots of unity)。这表示一个事实,即二次域的前导子(conductor) 是判别式D的绝对赋值 (value) 。

参考文献[编辑]

  • Duncan Buell. Binary quadratic forms: classical theory and modern computations. Springer-Verlag. 1989. ISBN 0-387-97037-1.  Chapter 6.
  • Pierre Samuel. Algebraic number theory. Hermann/Kershaw. 1972. 
  • I.N. Stewart; D.O. Tall. Algebraic number theory. Chapman and Hall. 1979. ISBN 0-412-13840-9.  Chapter 3.1.