二次域

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在代數數論中，二次域是在有理數域 $\mathbb{Q}$ 上次數為二的數域。二次域可以唯一地表成 $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$，其中 $d \in \mathbb{Z}$ 無平方因子。若 $d>0$，稱之為實二次域；否則稱為虛二次域或複二次域。虛實之分在於 $\mathbb{Q}( \sqrt{d})$ 是否為全實域

二次域的 研究肇源甚早，起初是作為二次型理論的一支。二次域是代數數論的基本對象之一，雖然如此，至今仍有一些未解猜想，如類數問題。

整數環與判別式

二次域 $K := \mathbb{Q}(\sqrt{d})$ 裡的整數環 $\mathcal{O}_K$ 定義為該域中的代數整數。當 $d \equiv 1 \mod 4$ 時，整數環可描述為 $\mathbb{Z}(\frac{1+\sqrt{d}}{2})$，否則為 $\mathbb{Z}(\sqrt{d})$。當 $d=-1$ 時，這些整數稱為高斯整數，當 $d=-3$ 時，稱為艾森斯坦整數。

根據上述描述，$K$ 的判別式不難計算：當 $d \equiv 1 \mod 4$ 時判別式為 $d$，否則則為 $4d$。

二次域上的分歧理論

設 $K := \mathbb{Q}(\sqrt{d})$，$p \in \mathbb{Z}$ 為素數。數論關注的問題是 $(p) := p \mathcal{O}_K$ 如何在 $\mathcal{O}_K$ 中分解成素理想之積。根據數域的分歧理論，應考慮以下情形：

• $p$ 是慣性的：$p \mathcal{O}_K$ 仍為素理想，此時 $\mathcal{O}_K/(p) \simeq \mathbb{F}_{p^2}$。
• $p$ 分裂：$(p)$ 為兩個相異素理想之積，此時 $\mathcal{O}_K/(p) \simeq \mathbb{F}_p^2$。
• $p$ 分歧：$(p)$ 為某個素理想之平方，此時 $\mathcal{O}_K/(p)$ 含有非零的冪零元。

根據之前對判別式的計算，可知 $p$ 分歧當且僅當 $p$ 整除 $K$ 的判別式（$d$ 或 $4d$，取決於 $d \mod 4$）；對其餘無窮多個素數，前兩個情形皆會發生，而且其機率在某種意義上相等。

參見

• 類數問題
• 代數數域