二補數

符號
0	1	1	1	1	1	1	1	=	127
0	0	0	0	0	0	1	0	=	2
0	0	0	0	0	0	0	1	=	1
0	0	0	0	0	0	0	0	=	0
1	1	1	1	1	1	1	1	=	−1
1	1	1	1	1	1	1	0	=	−2
1	0	0	0	0	0	0	1	=	−127
1	0	0	0	0	0	0	0	=	−128

二补数（2's complement）是一種用二進位表示有號數的方法，也是一種將數字的正負號變號的方式，常在計算機科學中使用。在台湾通常称为二补数。

一個數字的二补数就是將該數字作位元反相運算（即一補數或反码），再將結果加 1，即為該數字的二补数。在二补数系統中，一個負數就是用其對應正數的二补数來表示。

二补数系統的最大優點是可以在加法或減法處理中，不需因為數字的正負而使用不同的計算方式。只要一種加法電路就可以處理各種有號數加法，而且減法可以用一個數加上另一個數的二补数來表示，因此只要有加法電路及二补数電路即可完成各種有號數加法及減法，在電路設計上相當方便。

另外，二补数系統的 0 只有一個表示方式，這點和一補數系統不同（在一補數系統中，0 有二種表示方式），因此在判斷數字是否為 0 時，只要比较一次即可。

右側的表是在一些 8 位元二补数系統的整數。

數字表示方式 [编辑]

說明 [编辑]

二补数	十進位
0111	7
0110	6
...	...
0010	2
0001	1
0000	0
1111	−1
1110	−2
...	...
1001	−7
1000	−8

以下用 4 位元的二补数數字來說明二补数系統的數字表示方式。

在表示正數和零時，二补数數字和一般二進位一樣，唯一的不同是在二补数系統中，正數的最高位元恆為 0，因此4 位元的二补数正數，最大數字為 0111 (7)。
二补数數字的負數，最高位元恆為 1，4 位元二补数的數字中，最接近 0 的負數為 1111 (-1)，以此類推，因此絕對值最大的負數是 1000 (-8)。

以上的表示方式在電腦處理時格外方便，用以下的例子說明：

　　0011  (3)
  + 1111 (-1)
--------------
   10010  (2)

結果 10010 似乎是錯的，因為已經超過四個位元，不過若忽略掉（從右數起的）第 5 個位元，結果是 0010 (2)，和我們計算的結果一樣。而且若可以將二進位的 0001 (1) 變號為 1111 (-1)，以上的式子也可以計算減法：3-1 = 2。

在 n 位元的二补数加減法中，忽略第 n+1 個位元的作法在各種有號數加法下都適用（不過在判斷是否溢位(overflow)時，仍然會用到第 n+1 個位元）。因此在二补数的系統，加法電路就可以處理有負數的加法，不需另外處理減法的電路。而且，只要有電路負責數字的變號（例如將 1 變換為 -1），也可以用加法電路來處理減法。而數字的變號就用計算數字的二补数來完成。

在一般 n 位元的二進位數字中，最高有效位元(MSB) 第 n 位元代表的數字為　2ⁿ⁻¹。不過，在 n 位元的二补数系統中，最高有效位元(MSB) 第 n 位元表示符號位元，若符號位元為 0，數字為正數或 0，若符號位元為 1，數字為負數。以下是 n 位元的二补数系統中，幾個特別的數字：

二补数	實際數字	附註
0 111....111	2ⁿ⁻¹-1	最大正數
...	...
0 000....001	1
0 000....000	0
1 111....111	-1
...	...
1 000....001	-2ⁿ⁻¹+1
1 000....000	-2ⁿ⁻¹	絕對值最大負數

因此，在 8 位元的二补数系統中，可以表示的最大正數為 2⁸⁻¹-1 = 127，可以表示絕對值最大的負數為 -2⁸⁻¹ = -128　

計算二补数 [编辑]

在計算二進制數字的二补数時，會將數字進行位元反相運算，再將結果加 1，不考慮溢位位元（一般情形，溢位位元會為 0），就可以得到該數字的二补数。

以下考慮用有號數 8 位元二進位表示的數字 5：

0000 0101 (5)

其最高位元為 0，因為此數字為正數。若要用二补数系統表示 -5，首先要將 5 的二進位進行反相運算〔1 變為 0，0 變為 1 〕：

1111 1010

目前的數字是數字 5 的一補數，因此需要再加 1，才是二补数：

1111 1011 (-5)

以上就是在二补数系統中 -5 的表示方式。其其最高位元為 1，因為此數字確實為負數。

一個負數的二补数就是其對應的正數。以 -5 為例，先求數字的一補數：

0000 0100

再加一就是 -5 的二补数，也就是 5。

0000 0101 (5)

簡單來說，數字 a (正負數皆可)的二补数即為 -a。

若要計算 n 位數二补数二進位對應的十進位，需要知道每位數對應的數字，除了最高位元外，其他位元的對應數字均和一般二進位相同，即第 i 位數表示數字 2ⁱ⁻¹。但最高位元若為 1 時，其表示數字為 -2ⁿ⁻¹，因此若用此方式計算 0000 0101 表示的數字，其結果為：

1111 1011 (−5) = −128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 0 + 2 + 1 = (−2⁷ + 2⁶ + ...) = −5

特別的數字 [编辑]

有二個數字的二补数等於本身：一個是 0，另一個為該位元可表示最大絕對值負數（即 1000...000）。

0 的二补数計算方式(以 8 位元為例) 如下：先計算它的一補數：

1111 1111

再將一補數加一：

0000 0000, 溢位位元 = 1

忽略溢位，其結果為 0（0 是唯一計算二补数過程中會出現溢位的數字。）。因此 0 的二补数為 0。而 0 x (-1) = 0，因此其二补数仍滿足「數字 a 的二补数為 -a」的原則。

若計算 1000 0000 （-128、8 位元可表示最大絕對值負數）的二补数：先計算它的一補數：

0111 1111

再加一就是它的二补数。

1000 0000

1000 0000 (-128)的二补数仍為 1000 0000 (-128)。但 (-128) x (-1) = 128，因此其二补数是以上規則的例外。

其例外原因為因為 8 位元的二补数數字範圍為 -128 ~ 127。128 無法以 8 位元的二补数數字表示。在計算其他位數的最大絕對值負數（即 1000...000）時，也會有類似情形。

其他計算二补数的方法 [编辑]

另一種正式計算一數字(此例中以 N 為例)的二补数 N* 的公式如下：

$N* = 2^n - N$

其中 N* 是 N 的補數，而 n 是數字 N 用二進位表示時需要的位數。

以 4 位數二進位的 5 為例：

N (十進位) = 5, N (二進位) = 0101

n = 4

5 的二补数計算方式如下：

$N* = 2^n - N = [2^4](base 10) - 0101 = 10000(base 2) - 0101 = 1011$

以另一種較簡單的方式，可以找出二進位數字的二补数：

先由最低位元開始找。
若該位元為 0，將二补数對應位元填 0，繼續找下一位元(較高的位元)。
若找到第一個為 1 的位元，將二补数對應位元填 1。
將其餘未轉換的位元進行位元反相，將結果填入對應的二补数。

以 0011 1100 為例（圖中的 ^ 表示目前轉換的數字，-表示還不確定的位數）：

   原數字       二补数
 0011 1100  ---- ---0    (此位元為 0) 
         ^

 0011 1100  ---- --00    (此位元為 0) 
        ^

 0011 1100  ---- -100    (找到第 1 個為 1 的位元) 
       ^

 0011 1100  1100 0100    (其餘位元直接反相) 
 ^

因此其結果為 1100 0100

符號延展 [编辑]

十進位	4 位元二补数	8 位元二补数
5	0101	0000 0101
-3	1101	1111 1101

將一個特定位元二补数系統的數字要以較多位元表示時（例如，將一個位元組的變數複製到另一個二個位元組），所有增加的高位元都要填入原數字的符號位元。在一些微處理機中，有指令可以執行上述的動作。若是沒有，需要自行在程式中處理。==>

在二补数系統中，當數字要向右位移幾個位元時，在位移後需將符號位元再填入原位置（算术移位），保持符號位元不變。以下是二個例子：

    數字      0010 1010             1010 1010
向右位移一次  0001 0101             1101 0101
向右位移二次  0000 1010             1110 1010

而當一個數字要向左位移n個位元時，最低位元填n个 0，权值最高的n个位被抛弃。以下是二個例子：

    數字      0010 1010             1010 1010
向左位移一次  0101 0100             0101 0100
向左位移二次  1010 1000             1010 1000

向右位移一次相當於除以 2，利用算术移位的方式可以確保位移後的數字正負號和原數字相同，因為一數字除以 2 後，不會改變其正負號。注意：向左位移一次相當於乘以2，虽然乘以在理论上并不会改变一个数的符号，但是在二补数系统中，用以表示数的二进制码长度有限，能够表示的数的范围也是有限的：若一个数的高权值上的数位已经被占用，此时再将这个数左移若干位（乘以2ⁿ）的话，有可能造成数位溢出（overflow），高权值上的数将会失去，对于绝对值很大数，这将造成整体表达的错误。

二补数的工作原理 [编辑]

学习计算机科学的学生会问：为什么二补数能这么巧妙实现了正负数的加减运算？答案是：指定n位元字长，那么就只有2ⁿ个可能的值，加减法运算都存在上溢出与下溢出的情况，实际上都等价于模2ⁿ的加减法运算。这对于n位元无符号整数类型或是n位元有符号整数类型都同样适用。

例如，8位元无符号整数的值的范围是0到255. 因此4+254将上溢出，结果是2，即 $(4+254) \equiv 258 \equiv 2 \pmod{256}$ 。

例如，8位元有符号整数的值的范围，如果规定为−128到127, 则126+125将上溢出，结果是−5，即 $(126+125) \equiv 251 \equiv -5 \pmod{256}$ 。

对于8位元字长的有符号整数类型，以2⁸即256为模，则

$\begin{align} -128 & \equiv 128 \pmod{256} \\ -127 & \equiv 129 \pmod{256} \\ \vdots \\ -2 & \equiv 254 \pmod{256} \\ -1 & \equiv 255 \pmod{256} \\ \end{align}$

所以模256下的加减法，用0, 1, 2, …, 254,255表示其值，或者用−128, −127,… , −1, 0, 1, 2,… ,127是完全等价的。−128与128，−127与129，…，−2与254，−1与255可以互换而加减法的结果不变。从而，把8位元（octet）的高半部分(即二进制的1000 0000到1111 1111)解释为−128到−1，同样也实现了模256的加减法，而且所需要的CPU加法运算器的电路实现与8位元无符号整数并无不同。

实际上对于8比特的存储单元，把它的取值[00000000, …, 11111111]解释为[0, 255], 或者[-1, 254], 或者[-2, 253], 或者[-128, 127], 或者[-200, 55], 甚至或者[500, 755], 对于加法硬件实现并无不同。

運算 [编辑]

加法 [编辑]

二补数系統數字的加法和一般加法相同，而且在運算完成後就可以看出結果的正負號，不需特別的處理。以 15 加 -5　為例：

 11111 111   (进位)
  0000 1111  (15)
+ 1111 1011  (-5)
==================
  0000 1010  (10)

由於加數和被加數都是 8 位元，因此運算結果也限制在 8 位元內。第 8 位元相加後產生的進位不考慮（因為不存在第 9 位元）的 1 被忽略，所以其結果為 10。而 15 + (-5) = 10，計算結果正確。

在以上計算式中，可以由進位列的最左側二個位元得知結果是否出現溢位。溢位就是數字的絕對值太大，以致於無法在指定的二進位位元個數來表示（在此例中，是超過 8 位元的範圍）。若進位列的最左側二個位元同為 0 或同為 1，表示結果正確，若是一個為 0，另一個為 1，表示出現溢位錯誤。也可以對此二個位元進行异或運算，結果為 1 時，表示出現溢位錯誤。以下以 7 + 3 的 4 位元加法說明溢位錯誤的情形。

 0111   (进位)
  0111  (7)
+ 0011  (3)
=============
  1010  (−6)  結果不正確！

在此例中，進位列的最左側二個位元為 01，因此出現溢位錯誤。溢位的原因是 7 + 3 的結果 (10) 超過二补数系統 4 位元所可以表示的數字範圍 -8~7。

減法 [编辑]

乘法 [编辑]

二補數

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