二面體群

雪花有正六邊形的二面體對稱。

在數學中，二面體群 $D_{2n}$ 是正 $n$ 邊形的對稱群，具有 $2n$ 個元素。某些書上則記為 $D_n$。除了 $n=2$ 的情形外，$D_{2n}$ 都是非交換群。

生成元與關係

抽象言之，首先考慮 $n$ 階循環群 $C_n$。反射 $\tau: x \mapsto x^{-1}$ 是 $C_n$ 上的自同構，而且 $\tau^2 = \rm{id}.$。定義二面體群為半直積

$D_{2n}= C_n \rtimes \{e, \tau \}$

任取 $C_n$ 的生成元 $\sigma$，$D_{2n}$ 由 $\sigma, \tau$ 生成，其間的關係是

$\sigma^n = e, \tau^2 = e, (\tau \sigma \tau)^{-1} \sigma = e\,$

$D_{2n}$ 的元素均可唯一地表成 $\sigma^k \tau^h$，其中 $0 \leq k < n$，$h = 0,1\,$。

幾何詮釋

n=5 的情形：反射對稱

n=5 的情形：旋轉對稱

二面體群也可以詮釋為二維正交群 $O(2)$ 中由

$\sigma := \begin{pmatrix}\cos{2\pi \over n} & -\sin{2\pi \over n} \\ \sin{2\pi \over n} & \cos{2\pi \over n}\end{pmatrix}$ （旋轉 $\frac{2\pi}{n}$ 弧度）

$\tau := \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ （對 x 軸反射）

生成的子群。由此不難看出 $D_{2n}$ 是正 n 邊形的對稱群。

$e$

$\sigma$

$\sigma^2$

$\sigma^3$

$\sigma^4$

$\sigma^5$

$\sigma^6$

$\sigma^7$

$\tau$

$\sigma\tau$

$\sigma^2\tau$

$\sigma^3\tau$

$\sigma^4\tau$

$\sigma^5\tau$

$\sigma^6\tau$

$\sigma^7\tau$

正八邊形的停車標誌在$D_{16}$的群作用下的結果

性質

• $D_{2n}$ 的中心在 $n$ 為奇數時是 $\{e\}$，在 $n$ 為偶數時是 $\{e, \sigma^{n/2}\}$。
• 當 $n$ 為奇數時，$D_{4n}$ 同構於 $D_{2n}$ 與二階循環群的直積。同構可由下式給出：

$\sigma^{k+\epsilon n} \tau^h \mapsto (\sigma^k \tau^h, \epsilon)$

其中 $h, \epsilon = 0,1$，$0 \leq k < n$。

• 當 $n$ 為奇數時，$D_{2n}$ 的所有反射（即：二階元素）彼此共軛；當 $n$ 為偶數，則反射元在共軛作用下分解成兩個軌道；從幾何方面解釋，二者差意在於反射面是否通過正 $n$ 邊形的頂點。
• 若 $m|n$，則 $D_{2m} \leq D_{2n}$，由此可導出 $D_{2n}$ 共有 $d(n)+\sigma(n)$ 個子群，其中的算術函數 $d(n)$ 與 $\sigma(n)$ 分別代表 $n$ 的正因數個數與正因數之和。

表示

當 $n$ 為奇數時，$D_n$ 有兩個一維不可約表示：

$\tau \mapsto (-1)^k, \; \sigma \mapsto 1 \quad (k = 0,1)$

當 $n$ 為偶數時，$D_n$ 有四個一維不可約表示：

$\tau \mapsto (-1)^k, \sigma \mapsto (-1)^h \quad (k,h = 0,1)$

其餘不可約表示皆為二維，共有 $\lfloor n/2 \rfloor$ 個，形如下式：

$\sigma\mapsto\begin{pmatrix} \omega^h & 0 \\ 0 & \omega^{-h}\end{pmatrix}\;\tau\mapsto\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$

其中 $\omega$ 是任一 n 次本原單位根，$h$ 過 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$。由 $h_1, h_2$ 給出的表示相等價若且唯若 $h_1 + h_2 \equiv 0 \mod n$。