二面體群

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雪花有正六邊形的二面體對稱。
群论
Rubik's cube.svg

數學中,二面體群 D_{2n} 是正 n 邊形的對稱群,具有 2n 個元素。某些書上則記為 D_n。除了 n=2 的情形外,D_{2n} 都是非交換群。

生成元與關係[编辑]

抽象言之,首先考慮 n循環群 C_n。反射 \tau: x \mapsto x^{-1}C_n 上的自同構,而且 \tau^2 = \rm{id}。定義二面體群為半直積

D_{2n}= C_n \rtimes \{e, \tau \}

任取 C_n 的生成元 \sigmaD_{2n}\sigma, \tau 生成,其間的關係是

\sigma^n = e,  \tau^2 = e, \tau \sigma \tau = \sigma^{-1}\,

D_{2n} 的元素均可唯一地表成 \sigma^k \tau^h,其中 0 \leq k < nh = 0,1\,

幾何詮釋[编辑]

n=5 的情形:反射對稱
n=5 的情形:旋轉對稱

二面體群也可以詮釋為二維正交群 O(2) 中由

\sigma := \begin{pmatrix}\cos{2\pi \over n} & -\sin{2\pi \over n} \\ \sin{2\pi \over n} & \cos{2\pi \over n}\end{pmatrix} (旋轉 \frac{2\pi}{n} 弧度)
\tau := \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} (對 x 軸反射)

生成的子群。由此不難看出 D_{2n} 是正 n 邊形的對稱群。

性質[编辑]

  • D_{2n} 的中心在 n 為奇數時是 \{e\},在 n 為偶數時是 \{e, \sigma^{n/2}\}
  • n 為奇數時,D_{4n} 同構於 D_{2n} 與二階循環群的直積。同構可由下式給出:
\sigma^{k+\epsilon n} \tau^h \mapsto (\sigma^k \tau^h, \epsilon)

其中 h, \epsilon = 0,10 \leq k < n

  • n 為奇數時,D_{2n} 的所有反射(即:二階元素)彼此共軛;當 n 為偶數,則反射元在共軛作用下分解成兩個軌道;從幾何方面解釋,二者差意在於反射面是否通過正 n 邊形的頂點。
  • m|n,則 D_{2m} \leq D_{2n},由此可導出 D_{2n} 共有 d(n)+\sigma(n) 個子群,其中的算術函數 d(n)\sigma(n) 分別代表 n 的正因數個數與正因數之和。

表示[编辑]

n 為奇數時,D_n 有兩個一維不可約表示:

\tau \mapsto (-1)^k, \; \sigma \mapsto 1 \quad (k = 0,1)

n 為偶數時,D_n 有四個一維不可約表示:

e
\sigma
\sigma^2
\sigma^3
\sigma^4
\sigma^5
\sigma^6
\sigma^7
\tau
\sigma\tau
\sigma^2\tau
\sigma^3\tau
\sigma^4\tau
\sigma^5\tau
\sigma^6\tau
\sigma^7\tau
正八邊形的停車標誌D_{8}群作用下的結果
\tau \mapsto (-1)^k, \sigma \mapsto (-1)^h \quad (k,h = 0,1)

其餘不可約表示皆為二維,共有 \lfloor n/2 \rfloor 個,形如下式:

\sigma\mapsto\begin{pmatrix} \omega^h & 0 \\ 0 & \omega^{-h}\end{pmatrix}\;\tau\mapsto\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}

其中 \omega 是任一 n 次本原單位根h\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}。由 h_1, h_2 給出的表示相等價若且唯若 h_1 + h_2 \equiv 0 \mod n

文獻[编辑]