二项式定理

二项式定理（英语：Binomial theorem），又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿于1664年、1665年期间提出。

该定理给出两个数之和的整数次幂诸如$(x + y)^n$ 展开为类似$a x^b y^c$ 项之和的恒等式。二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理。

簡介

$(x+y)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} x^{n-k} y^k$，其中${n \choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ 又有 $\rm {C}^n_k$等记法，称为二项式系数，即 $n$ 取 $k$ 的组合數目，此係数亦可表示为帕斯卡三角形(Pascal's Triangle)。

證明

數學歸納法

當$n=1$，

$(a+b)^1 = \sum_{k=0}^1 { 1 \choose k } a^{1-k}b^k = { 1 \choose 0 }a^1b^0+{ 1 \choose 1 }a^0b^1 = a+b$

假設二项展开式在 $n=m$ 時成立。若$n=m+1$，

$(a+b)^{m+1}$ $=$ $a(a+b)^m + b(a+b)^m$

$=$ $a \sum_{k=0}^m { m \choose k } a^{m-k} b^k + b \sum_{j=0}^m { m \choose j } a^{m-j} b^j$

$=$ $\sum_{k=0}^m { m \choose k } a^{m-k+1} b^k + \sum_{j=0}^m { m \choose j } a^{m-j} b^{j+1}$ 將$a$、$b$乘入

$=$ $a^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m \choose k } a^{m-k+1} b^k + \sum_{j=0}^m { m \choose j } a^{m-j} b^{j+1}$ 取出$k=0$的項

$=$ $a^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m \choose k } a^{m-k+1} b^k + \sum_{k=1}^{m+1} { m \choose k-1 }a^{m-k+1}b^{k}$ 設$j = k-1$

$=$ $a^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m \choose k } a^{m-k+1}b^k + \sum_{k=1}^{m} { m \choose k-1 }a^{m+1-k}b^{k} + b^{m+1}$ 取出$k=m+1$項

$=$ $a^{m+1} + b^{m+1} + \sum_{k=1}^m \left[ { m \choose k } + { m \choose k-1 } \right] a^{m+1-k}b^k$ 兩者加起

$=$ $a^{m+1} + b^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m+1 \choose k } a^{m+1-k}b^k$ 套用帕斯卡法則

$=$ $\sum_{k=0}^{m+1} { m+1 \choose k } a^{m+1-k}b^k$

一般形式的证明

通常二项式定理可以直接使用泰勒公式进行证明. 下面的方法不使用泰勒公式

令 $f(x)=(1+x)^\alpha$, $g(x)=\sum_{k=0}^{\infty}{a \choose k}x^k$. 注意只有当 $|x|<1$时上述两个函数才收敛

• 首先证明 $f(x)$收敛于1. 这里省略

• 之后, 易得$f(x)$满足微分方程: $(1+x)y'(x) = \alpha y(x)$. 用求导的一般方法就能得到这个结论, 这里省略

• 再证明 $g(x)$亦满足上述微分方程:

$\begin{align} g'(x) & = \sum_{k=0}^{\infty}{a\choose k}k x^{k-1} \\ & = \sum_{k=-1}^{\infty}{a\choose (k+1)}(k+1)x^{k} \\ & = {a \choose 0} 0 x^{-1} + \sum_{k=0}^{\infty}{a\choose {k+1}}(k+1) x^{k} \\ & = \sum_{k=0}^{\infty}{a\choose {k+1}}(k+1) x^{k} \\ & = \sum_{k=0}^{\infty}{a \choose k}(a-k) x^k \\ \end{align}$ $\begin{align} {a \choose {k+1} }(k+1) & = \frac{(a)(a-1)\cdots(a - k + 1)(a - k)}{(k+1)!}(k+1) \\ & = \frac{(a)(a-1)\cdots(a - k + 1)(a - k)}{k!} \\ & = {a \choose k}(a-k) \end{align}$

于是 $(1+x)g'(x) = g'(x) + \sum_{k=0}^{\infty}{a \choose k}kx^k = ag(x)$

• 令$H(x) = \frac{g(x)}{f(x)}$, 由于$g(x)$和$f(x)$满足同样的微分方程, $H'(x) = 0$, 于是$H(x)$是一个常数, 即$f(x) = ag(x)$

• 代入$x = 0$的情况, 证明$a = 1$

应用

牛顿以二项式定理作为基石发明出了微积分。其在初等数学中应用主要在于一些粗略的分析和估计以及证明恒等式等。

证明组合恒等式

二项式定理给出的系数可以视为组合数 ${n \choose k}$ 的另一种定义。 因此二项式展开与组合数的关系十分密切。 它常常用来证明一些组合恒等式。比如证明 $\sum _{k=0} ^n {n \choose k}^2 = {2n \choose n}$

可以考虑恒等式 $(1+x)^n (1+x)^n = (1+x)^{2n}$。 展开等式左边得到： $\sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^n { n \choose i} {n \choose j} x^i x^j$。 注意这一步使用了有限求和与乘积可以交换的性质。 同时如果展开等式右边可以得到 $\sum_{k=0}^{2n} { 2n \choose k} x^k$。 比较两边幂次为 $k$ 的项的系数可以得到: $\sum_{i=0} ^k { n \choose i} {n \choose k - i} = {2n \choose k}$。 令 $k=n$，并注意到 ${ n \choose i} = {n \choose n - i}$ 即可得到所要证明的结论。

推广

该定理可以推广到对任意实数次幂的展开, 即所谓的牛顿广义二项式定理:

$(x + y)^\alpha = \sum _{k=0}^\infty {\alpha \choose k} x^{\alpha - k} y^k$。其中${\alpha \choose k} = \frac{\alpha (\alpha-1) ... (\alpha - k +1)}{k!} = \frac{(\alpha)_k}{k!}$.

参见

• 立方根
• 平方根
• 牛顿法

外表连接

从牛顿二项式定理开方到牛顿切线法