二體問題

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在這篇文章內,向量标量分別用粗體斜體顯示。例如,位置向量通常用\mathbf{r}\,\!表示;而其大小則用r\,\!來表示。
兩個質量相等的粒子,依循各自橢圓軌道,繞著質心公轉。
兩個質量稍微不同的粒子的運動,依循各自橢圓軌道,繞著質心公轉。這種軌道的尺寸與形狀類似冥王星-冥衛一系統。

經典力學裏,二體問題two-body problem)研究兩個粒子因彼此互相作用而產生的運動。這是個很重要的天文問題,常見的應用有衛星繞著行星公轉、行星繞著恆星公轉、雙星系統雙行星、一個經典電子繞著原子核運動等等。

二體問題可以表述為兩個獨立的單體問題,其中一個是平凡的單體問題,另外一個單體問題研究一個粒子因外力作用而呈現的運動。由於很多單體問題有精確解exact solution),即不需借助近似方法就可得到問題的解答;其對應的二體問題連帶地也可解析。顯然不同地,除了特別案例以外,三體問題(或者更複雜的多體問題)並沒有精確解。

約化為兩個獨立的單體問題[编辑]

在一個物理系統裏,假設兩個粒子的質量分別為 m_{1}\,\!m_{2}\,\! ,在時間 t=0\,\! 的初始位置分別為 \mathbf{x}_{10}\,\!\mathbf{x}_{20}\,\! ,初始速度分別為 \mathbf{v}_{10}\,\!\mathbf{v}_{20}\,\! ,計算這兩個粒子的軌跡函數 \mathbf{x}_{1}(t)\,\!\mathbf{x}_{2}(t)\,\! 的問題,稱為二體問題。

根據牛頓第二定律

\mathbf{F}_{12}(\mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2}) = m_{1} \ddot{\mathbf{x}}_{1}\,\!(1)
\mathbf{F}_{21}(\mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2}) = m_{2} \ddot{\mathbf{x}}_{2}\,\!(2)

其中, \mathbf{F}_{AB}\,\!表示粒子 B 施加於粒子 A 的作用力

二體問題的雅可比坐標(Jacobi coordinates)為質心坐標 \boldsymbol{R}=\frac {m_1}{M} \boldsymbol{x}_1 + \frac {m_2}{M} \boldsymbol{x}_2 和相對坐標 \boldsymbol{r} = \boldsymbol{x}_1 - \boldsymbol{x}_2 ;其中,M = m_1+m_2 \ [1]

將方程式(1)與方程式(2)相加,可以得到一個方程式,專門描述兩個粒子的質心運動。將方程式(1)與方程式(2)的相減,則可得到描述兩個粒子相對的位移向量 \mathbf{r}=\mathbf{x}_1-\mathbf{x}_2\,\! 與時間之間的關係。將這兩個獨立的單體問題的解答結合起來,就可以求得軌跡函數 \mathbf{x}_{1}(t)\,\!\mathbf{x}_{2}(t)\,\!

質心運動(第一個單體問題)[编辑]

質心的位置由兩個粒子的位置和質量給出:

\mathbf{x}_{cm} \ \stackrel{def}{=}\ (m_{1}\mathbf{x}_{1} + m_{2}\mathbf{x}_{2})/M\,\!

其中,M=m_{1} + m_{2}\,\! 是系統的總質量。

質心的加速度為:

\ddot{\mathbf{x}}_{cm}=(m_{1}\ddot{\mathbf{x}}_{1} + m_{2}\ddot{\mathbf{x}}_{2})/M\,\!

由於沒有外力作用,將方程式(1)與(2)相加,根據牛頓第三定律,可以得到

M\ddot{\mathbf{x}}_{cm} = \mathbf{F}_{12} + \mathbf{F}_{21} = 0 \,\!

因此,質心的加速度等於零,質心的速度 \mathbf{v}_{cm}\,\! 為常數:

\mathbf{v}_{cm}=\dot{\mathbf{x}}_{cm}=(m_{1}\mathbf{v}_{10} + m_{2}\mathbf{v}_{20})/M\,\!

這物理系統的動量守恆

m_{1}\mathbf{v}_{1} + m_{2}\mathbf{v}_{2}=M\mathbf{v}_{cm}=m_{1}\mathbf{v}_{10} + m_{2}\mathbf{v}_{20}\,\!

從兩個粒子的初始位置和初始速度,就可以決定質心在任意時間的位置:

\mathbf{x}_{cm}=\mathbf{v}_{cm}t+(m_{1}\mathbf{x}_{10} + m_{2}\mathbf{x}_{20})/M\,\!

位移向量運動(第二個單體問題)[编辑]

將方程式(1)、(2)分別除以 m_1\,\!m_2\,\! ,然後相減,可以得到

\ddot{\mathbf{r}} = \ddot{\mathbf{x}}_{1} - \ddot{\mathbf{x}}_{2} = 
\left( \frac{\mathbf{F}_{12}}{m_{1}} - \frac{\mathbf{F}_{21}}{m_{2}} \right)\,\!

其中,\mathbf{r}\,\! 是個從粒子 2 位置指到粒子 1 位置的位移向量。

應用牛頓第三定律\mathbf{F}_{12} = -\mathbf{F}_{21}\,\! 。所以,

\ddot{\mathbf{r}} =\left(\frac{1}{m_{1}} + \frac{1}{m_{2}} \right)\mathbf{F}_{12}\,\!

兩個粒子之間的作用力應該只是相對位置 \mathbf{r}\,\! 的函數,而不是絕對位置 \mathbf{x}_{1}\,\!\mathbf{x}_{2}\,\! 的函數;否則,無法滿足物理的平移對稱,物理定律會因地而易,二體之間的物理關係無法普遍地成立於全宇宙。換句話說,在宇宙中,兩個粒子的絕對位置無關緊要,因為它們是宇宙中唯一的兩個粒子,是互相施加於彼此的作用力的源頭。誠然地,這是一個不實際的問題,可以被視為一個思想實驗。為了滿足這問題的要求,兩個粒子之間的作用力必須只是相對位置 \mathbf{r}\,\! 的函數。這樣,相減得到的方程式寫為

\mu \ddot{\mathbf{r}} = \mathbf{F}_{12}(\mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2}) = \mathbf{F}(\mathbf{r})\,\!

其中,\mu =m_{1}m_{2}/M\,\!約化質量

一但求得函數 \mathbf{x}_{cm}(t)\,\!\mathbf{r}(t)\,\! ,就可以計算出兩個粒子的軌跡方程式 \mathbf{x}_{1}(t)\,\!\mathbf{x}_{2}(t)\,\!

\mathbf{x}_{1}(t)=\mathbf{x}_{cm}(t) + m_{2}\mathbf{r}(t)/M\,\!
\mathbf{x}_{2}(t)=\mathbf{x}_{cm}(t) - m_{1}\mathbf{r}(t)/M\,\!

角動量[编辑]

兩個粒子的總角動量 \mathbf{L}_{tot} \,\!

\begin{align}\mathbf{L}_{tot} & =\mathbf{x}_1 \times (m_1\dot{\mathbf{x}}_1)+\mathbf{x}_2 \times (m_2\dot{\mathbf{x}}_2)=\mathbf{x}_{cm} \times M\dot{\mathbf{x}}_{cm}+\mathbf{r} \times \mu\dot{\mathbf{r}} \\
 & =\mathbf{L}_{cm}+ \mathbf{L}_{rel}\\ \end{align}\,\!

其中,\mathbf{L}_{cm}=\mathbf{x}_{cm} \times M\dot{\mathbf{x}}_{cm}\,\! 是質心對於原點的角動量,\mathbf{L}_{rel}=\mathbf{r} \times \mu\dot{\mathbf{r}}\,\! 是兩個粒子對於質心的角動量。

回想前面質心的軌跡方程式,

\mathbf{x}_{cm}=\mathbf{v}_{cm}t+(m_{1}\mathbf{x}_{10} + m_{2}\mathbf{x}_{20})/M\,\!

為了簡化分析,設定質心的初始位置為 0\,\! 。也就是說,質心的直線運動經過原點。那麼,

\mathbf{L}_{cm}=\mathbf{v}_{cm}t \times M\mathbf{v}_{cm}=0\,\!
\mathbf{L}_{tot} =\mathbf{L}_{rel}\,\!

角動量守恆與連心力[编辑]

二體問題的總力矩 \boldsymbol{\tau}_{tot}\,\!

\boldsymbol{\tau}_{tot}=\mathbf{x}_1\times\mathbf{F}_{12}+\mathbf{x}_2 \times \mathbf{F}_{21}=\mathbf{r}\times\mathbf{F}_{12}\,\!

在物理學裏,時常會遇到的萬有引力靜電力等等,都是連心力。假設,作用力 \mathbf{F}_{12}\,\! 是連心力,則 \mathbf{F}_{12}\,\!\mathbf{r}\,\! 同直線,總力矩 \boldsymbol{\tau}_{tot}\,\! 等於 0 。根據角動量守恆定律

\boldsymbol{\tau}_{tot}=\frac{d \mathbf{L}_{tot}}{dt}\,\!

因此,總角動量 \mathbf{L}_{tot} \,\! 是個常數,總角動量守恆。

請注意,並不是每一種力都是連心力。假設,兩個粒子是帶電粒子。由畢奧-薩伐爾定律勞侖茲力定律所算出的作用力和反作用力並不是連心力。總力矩 \boldsymbol{\tau}_{tot}\,\! 不等於 0 。總角動量不守恆;這是因為還有角動量並沒有被計算在內。假若,將電磁場的角動量計算在內,則角動量守恆定律仍舊成立[2]

在很多物理系統裏,作用力 \mathbf{F}(\mathbf{r})\,\! 是一種連心力,以方程式表示為

\mathbf{F}(\mathbf{r}) = F(r)\hat{\mathbf{r}}

其中,r\,\! 是徑向距離,\hat{\mathbf{r}}\,\! 是徑向單位向量

這物理系統的運動方程式

\mu \ddot{\mathbf{r}} = {F}(r) \hat{\mathbf{r}}\,\!

更詳盡細節,請參閱條目經典連心力問題classical central force problem)。

平面運動與角動量守恆[编辑]

總角動量與 \mathbf{r}\,\!點積

\mathbf{r}\cdot\mathbf{L}_{tot}=\mathbf{r}\cdot(\mathbf{r} \times(\mu\dot{\mathbf{r}}))=0\,\!

這兩個粒子的運動軌道必定包含於垂直於 \mathbf{L}_{tot} \,\! 的平面。假設作用力為連心力,則由於角動量守恆,這兩個粒子必定運動於某特定平面,而常數向量 \mathbf{L}_{tot} \,\! 垂直於這平面。

參閱[编辑]

參考文獻[编辑]

引用[编辑]

  1. ^ David Betounes. Differential Equations. Springer. 200158; Figure 2.15: . 
  2. ^ Goldstein, Herbert. Classical Mechanics 3rd. United States of America: Addison Wesley. 1980: pp. 7–8. ISBN 0201657023 (English). 

书籍[编辑]