五次方程

y = x⁵ + 13x⁴ + 35x³ − 85x² − 216x + 252的圖形

五次方程是一種最高次數為五次的數學多項式方程。本條目專指只含一個未知數的五次方程（一元五次方程），即方程形如

$ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0,\,$

其中，a、b、c、d、e和f为复数域内的数，且a不为零。例如：

$x^5-4x^4+2x^3-3x+7=0\,$

尋找五次方程的解一直是個重要的數學問題。一次方程和二次方程很早就找到了公式解，經過數學家們的努力，後來三次方程及四次方程也有了解答，但是之后很长的一段时间里沒有人知道五次方程是否存在公式解。相形之下，解五次方程顯得格外的困難。

後來，保羅·魯菲尼（Paolo Ruffini）和尼爾斯·阿貝爾證明了一般的五次方程，不存在統一的根式解（即由方程的係數通過有限次的四則運算及根號組合而成的公式解）。認為一般的五次方程沒有公式解存在的看法其实是不正確的。事實上，利用一些超越函數，如Θ函数或戴德金η函數即可構造出五次方程的公式解。另外，若只需求得數值解，可以利用數值方法（如牛頓法）得到相當理想的解答。

證明一般五次以上的方程式無根式解的人是埃瓦裏斯特·伽羅瓦，他巧妙地利用群論處理了上述的問題。

布靈·傑拉德正規式

對於一般的五次方程式

$x^5+a_1x^4+a_2x^3+a_3x^2+a_4x+a_5=0\,$

可以藉由以下的轉換

$y = x^4+b_1x^3+b_2x^2+b_3x+b_4\,$

得到一個$y \,$的五次多項式，上述的轉換稱為契爾恩豪森轉換（Tschirnhaus transformation），藉由特別選擇的係數$b_i\,$，可以使$y^4\,$,$y^3\,$,$y^2\,$ 的係數為$0\,$，從而得到如下的方程式：

$y^5 + my+ n=0\,$

以上的化簡方法是由布靈（Erland Samuel Bring）所發現，後來傑拉德（George Birch Jerrard|Jerrard）也獨立發現了此法，因此上式稱為布靈·傑拉德正規式（Bring-Jerrard normal form）。 其步驟如下： 首先令

$x= y-\frac{a_1}{5} \,$

可消去四次方項，得到

$y^5+ay^3+by^2+cy+d=0\,$；

其中，

$a=\frac{5a_2-2a_1^2}{5}\,$

$b=\frac{25a_3-15a_1a_2+4a_1^3}{25}\,$

$c=\frac{125a_4-50a_1a_3+15a_1^2a_2-3a_1^4}{125}\,$

$d=\frac{3125a_5-625a_1a_4+125a_1^2a_3-25a_1^3a_2+4a_1^5}{3125} \,$

接下來，令$z= y^2+py+q\,$， 得到

$z^5+Pz^4+Qz^3+Az^2+Bz+C=0\,$，

再令$P=Q=0\,$， 求得

$p=\frac{-15b+\sqrt{60a^3+225b^2-200ac}}{10a} \,$；

$q={2a \over 5} .\,$

第三步，利用契爾恩豪森想到的方法，令：

$X=z^4+b_1z^3+b_2z^2+b_3z+b_4\,$，

代入

$z^5+Az^2+Bz+C=0\,$，

得到

$X^5+RX^4+SX^3+TX^2+UX+V=0\,$，

再令$R=S=T=0\,$， 則得$b_4=\frac{3A b_1+4B}{5}\,$， 若令$b_2=-\frac{4Bb_1+5C}{3A}\,$， 則$b_1\,$，$b_3\,$可由以下兩個方程解得：

$(27A^4-160B^3+300ABC) b_1^2+(27A^3B-400B^2C+375C^2A) b_1\,+(18A^2B^2-45A^3C-250BC^2)=0 ; \,$

$675A^3b_3^3+(3375A^2Cb_1-3600AB^2b_1-2025A^4\,-4500ABC)b_3^2$

$+(675A^3Bb_1^2+6000B^2Cb_1^2\,+7200A^2B^2b_1-4050A^3Cb_1+15000C^2Bb_1\,\!+9375C^3+9675A^2BC+2025A^5)b_3+\,$

$(-4770A^3BC-1125A^2C^2b_1^2-1500B^2C^2\,-320AB^3b_1^3-960B^4b_1^2-3843A^3B^2b_1+1485A^4Cb_1-54A^5b_1^3$

$-6250AC^3-2400B^3Cb_1-108A^2B^3-675A^6\,-756A^4Bb_1^2-9375AC^2Bb_1-3900AB^2Cb_1^2-225A^2BCb_1^3) = 0 .\,$

若用Maple或Mathematica等電腦輔助軟體，可以輕易地計算出通式。

若以函數的觀點來看，方程

$X^5+UX+V= 0\,$

的解有兩個自變數 $U\,$, 和 $V\,$。

若再令

$X= {\sqrt[4]{-\frac{U}{5}}}\xi\,$

則方程式可以進一步化簡為如下形式：

$\xi^5 - 5\xi- 4t = 0\,$

它的解 $\xi\,$ 是單一變數 $t\,$ 的函數。

特殊五次方程的求根公式

雖然一般的五次方程不存在根式解，但是對於某些特殊的五次方程，滿足某些條件後還是有根式解的。

型式1

對於這樣的五次方程

$ax^5+cx^3+\frac{c^2}{5}(-1)^kx+f=0\,$ $(a{(-1)^k}>0 \and k \in Z)\,$

存在根式解如下：

x₁ = A + B,

x₂ = c₁A + c₂B,

x₃ = c₃A + c₄B,

x₄ = c₂A + c₃B,

x₅ = c₄A + c₁B,

其中

$A=\sqrt[5]{-\frac{f}{2a}+\sqrt{\frac{f^2}{4a^2}+\frac{c^5}{3125a^5}}}$

$B=\sqrt[5]{-\frac{f}{2a}-\sqrt{\frac{f^2}{4a^2}+\frac{c^5}{3125a^5}}}$

$c_1=\frac{(-1+\sqrt5)-\sqrt{10+2\sqrt5}{\mathrm{i}}}{4}$

$c_2=\frac{(-1+\sqrt5)+\sqrt{10+2\sqrt5}{\mathrm{i}}}{4}$

$c_3=\frac{(-1+\sqrt5)+\sqrt{10-2\sqrt5}{\mathrm{i}}}{4}$

$c_4=\frac{(-1+\sqrt5)-\sqrt{10-2\sqrt5}{\mathrm{i}}}{4}$

型式2

$ax^5+bx^4+cx^3+\frac{15abc-4b^3}{25a^2}x^2+\frac{25a^2c^2-5ab^2c-4b^4}{3125a^3}x+f=0 ,\qquad\mbox{where }a\ne0.$

也有如下根式解

$x_1=-\frac{b}{5a}+A+B\,$

$x_2=-\frac{b}{5a}+\frac{(-1+\sqrt5)-\sqrt{10+2\sqrt5}{\mathrm{i}}}{4}A+\frac{(-1+\sqrt5)+\sqrt{10+2\sqrt5}{\mathrm{i}}}{4}B\,$

$x_3=-\frac{b}{5a}+\frac{(-1-\sqrt5)-\sqrt{10+2\sqrt5}{\mathrm{i}}}{4}A+\frac{(-1-\sqrt5)+\sqrt{10+2\sqrt5}{\mathrm{i}}}{4}B\,$

$x_4=-\frac{b}{5a}+\frac{(-1-\sqrt5)-\sqrt{10-2\sqrt5}{\mathrm{i}}}{4}A+\frac{(-1-\sqrt5)+\sqrt{10-2\sqrt5}{\mathrm{i}}}{4}B\,$

$x_5=-\frac{b}{5a}+\frac{(-1+\sqrt5)+\sqrt{10+2\sqrt5}{\mathrm{i}}}{4}A+\frac{(-1+\sqrt5)-\sqrt{10+2\sqrt5}{\mathrm{i}}}{4}B\,$

其中

$A=\sqrt[5]{\left(\frac{11b^5}{6250a^5}-\frac{3b^3c}{250a^4}+\frac{bc^2}{50a^3}-\frac{f}{2a}\right)+\sqrt{\left(\frac{11b^5}{6250a^5}-\frac{3b^3c}{250a^4}+\frac{bc^2}{50a^3}-\frac{f}{2a}\right)^2-\left(\frac{2b^2}{25a^2}-\frac{c}{5a}\right)^5}}$

$B=\sqrt[5]{\left(\frac{11b^5}{6250a^5}-\frac{3b^3c}{250a^4}+\frac{bc^2}{50a^3}-\frac{f}{2a}\right)-\sqrt{\left(\frac{11b^5}{6250a^5}-\frac{3b^3c}{250a^4}+\frac{bc^2}{50a^3}-\frac{f}{2a}\right)^2-\left(\frac{2b^2}{25a^2}-\frac{c}{5a}\right)^5}}$

型式3

$(c^2+1)x^5+5d^4(3\mp c)x-4d^5(\pm 11+2c)=0,\qquad\mbox{where }c\ne \pm{\rm{i}}\,$

$x_1=d\left[A+B+C+D\right]\,$

$x_2=d\left[\frac{(-1+\sqrt5)+\sqrt{10+2\sqrt5}{\rm{i}}}{4}A+\frac{(-1-\sqrt5)+\sqrt{10-2\sqrt5}{\mathrm{i}}}{4}B\right]\,$

$+d\left[\frac{(-1-\sqrt5)-\sqrt{10-2\sqrt5}{\mathrm{i}}}{4}C+\frac{(-1+\sqrt5)-\sqrt{10+2\sqrt5}{\mathrm{i}}}{4}D\right]\,$

$x_3=d\left[\frac{(-1-\sqrt5)+\sqrt{10-2\sqrt5}{\mathrm{i}}}{4}A+\frac{(-1-\sqrt5)-\sqrt{10-2\sqrt5}{\mathrm{i}}}{4}B\right]\,$

$+d\left[\frac{(-1+\sqrt5)-\sqrt{10+2\sqrt5}{\mathrm{i}}}{4}C+\frac{(-1+\sqrt5)+\sqrt{10+2\sqrt5}{\mathrm{i}}}{4}D\right]\,$

$x_4=d\left[\frac{ (-1-\sqrt5)-\sqrt{10-2\sqrt5}{\mathrm{i}}}{4}A+\frac{(-1+\sqrt5)-\sqrt{10+2\sqrt5}{\mathrm{i}}}{4}B\right]\,$

$+d\left[\frac{(-1+\sqrt5)+\sqrt{10+2\sqrt5}{\mathrm{i}}}{4}C+\frac{(-1-\sqrt5)+\sqrt{10-2\sqrt5}{\mathrm{i}}}{4}D\right]\,$

$x_5=d\left[\frac{(-1+\sqrt5)-\sqrt{10+2\sqrt5}{\rm{i}}}{4}A+\frac{(-1+\sqrt5)+\sqrt{10+2\sqrt5}{\mathrm{i}}}{4}B\right]\,$

$+d\left[\frac{(-1-\sqrt5)+\sqrt{10-2\sqrt5}{\mathrm{i}}}{4}C+\frac{(-1-\sqrt5)-\sqrt{10-2\sqrt5}{\mathrm{i}}}{4}D\right]\,$

其中

$A=\sqrt[5]{\frac{\left( \sqrt{c^2+1} +\sqrt{c^2+1\mp\sqrt{c^2+1}}\right)^2\left(-\sqrt{c^2+1}+\sqrt{c^2+1\pm\sqrt{c^2+1}}\right)} {(c^2+1)^2}}\,$

$B=\sqrt[5]{\frac{\left( \sqrt{c^2+1} +\sqrt{c^2+1\mp\sqrt{c^2+1}}\right)^2\left(-\sqrt{c^2+1}+\sqrt{c^2+1\pm\sqrt{c^2+1}}\right)} {(c^2+1)^2}}\,$

$C=\sqrt[5]{\frac{\left( \sqrt{c^2+1} +\sqrt{c^2+1\pm\sqrt{c^2+1}}\right)^2\left(\sqrt{c^2+1}-\sqrt{c^2+1\mp\sqrt{c^2+1}}\right)} {(c^2+1)^2}}\,$

$D=-\sqrt[5]{\frac{\left( \sqrt{c^2+1} -\sqrt{c^2+1\mp\sqrt{c^2+1}}\right)^2\left(-\sqrt{c^2+1}+\sqrt{c^2+1\pm\sqrt{c^2+1}}\right)} {(c^2+1)^2}}\,$

型式4

$a^2x^5+5abx^3+5b^2x+c=0,\qquad\mbox{where }a\ne 0\,$

$x_1=A+B\,$

$x_2=\frac{(-1+\sqrt5)+\sqrt{10+2\sqrt5}{\rm{i}}}{4}A+\frac{(-1+\sqrt5)-\sqrt{10+2\sqrt5}{\rm{i}}}{4}B\,$

$x_3=\frac{(-1-\sqrt5)+\sqrt{10-2\sqrt5}{\rm{i}}}{4}A+\frac{(-1-\sqrt5)-\sqrt{10-2\sqrt5}{\rm{i}}}{4}B\,$

$x_4=\frac{(-1+\sqrt5)-\sqrt{10+2\sqrt5}{\rm{i}}}{4}A+\frac{(-1+\sqrt5)+\sqrt{10+2\sqrt5}{\rm{i}}}{4}B\,$

$x_5=\frac{(-1-\sqrt5)-\sqrt{10-2\sqrt5}{\rm{i}}}{4}A+\frac{(-1-\sqrt5)+\sqrt{10-2\sqrt5}{\rm{i}}}{4}B\,$

$A=\sqrt[5]{-\frac{c}{2a}+\sqrt{\left(\frac{c}{2a}\right)^2+\left(\frac{b}{a}\right)^5}}\,$ $B=\sqrt[5]{-\frac{c}{2a}-\sqrt{\left(\frac{c}{2a}\right)^2+\left(\frac{b}{a}\right)^5}}\,$

有關條目

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• 方程式論