五角星

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一顆五角星

五角星是指一種有五隻尖角、並以五條直線畫成的星星圖形。英文「五角星」(pentagram)一詞出於希臘語中的πεντάγραμμος，（pentagrammos）或πεντέγραμμος，（pentegrammos）的名詞形式πεντάγραμμον，（pentagrammon），原意大概是「五條直線的」或「五條線」。而中文「五角星」的意義則顯而易見，指有五隻角的星形。然而，中文「五角星」不一定指本文所談論的「標準」五角星。中文「五角星」一詞有時亦泛指所有有五隻角的星形物。

本文以下所讨论的五角星是指「標準」五角星。即正五角星。

一直以來，五角星都與对金星和維納斯的崇拜有密切關係。造成這關係的各個可能原因中，最可信的是史前天文學家的觀察。由地球望去，圍著太陽的金星軌道每八年重覆一次。它自成的五個交叉點恰好畫出一個近乎完美的五角星。

在古希臘和巴比倫，五角星也有特殊的象徵意義。五角星是魔術的代表符號，是非猶太教徒的符號。初期基督教會亦有用五角星代表耶穌的五個傷口，但現在則多代表異教徒和撒但主義者。

五角星在魔法中是一種特別的圖形，用正的五角星作魔法陣是白魔法,用倒的五角星則是象徵黑魔法。

而在東方陰陽五行裡面，五行相生相剋的連線剛好是五角星。在日本，五角星更被認為是安倍晴明的桔梗印

[编辑] 几何

含有黄金分割的正五边形

五角星是边数最少多角形。最简单画它的方法是先画一个正五边形，把各角用直线相连并擦去原来的五边形。也可以延长原五边形的各边直到它们相交，从而得到一个大的五角星。

黄金分割比（golden ratio）， $\varphi = (1 + \sqrt{5})/2 = 1.618 \cdots$ ，满足：

$\varphi=1+2\sin(\pi/10)=1+2\sin 18^\circ\,$

$\varphi=1/(2\sin(\pi/10))=1/(2\sin 18^\circ)\,$

$\varphi=2\cos(\pi/5)=2\cos 36^\circ\,$

在正五边形和五角星中扮演一个重要的角色。每条边都被分割成几段小的线段，如果用一对线段中较长线段的长度除以较短线段的长度将得到 $\varphi$ 。

$\varphi =$	红色	＝	蓝色	＝	绿色
	蓝色		绿色		紫色

大五边形的一条边与一条蓝色线段等长，同样的小五角星的一条对角线与一条绿色线段等长。

如果线段有长度（线条），那图中就有两个相似的正五边形。“线段”怎样，线条就怎样，并且它们的交点也可能变化。例如，在摩洛哥的国旗上，绿色五角星有一个黑色的外轮廓，它不“穿过”相交的线条。这跟埃塞俄比亚国旗上五角星中的完全黄色和没有外轮廓，是不一样的。

[编辑] 一些相关几何值

$\sin \frac{\pi}{10} = \sin 18^\circ = \frac{\sqrt 5 - 1}{4}=(\varphi-1)/2=1/(2\varphi)$

$\cos \frac{\pi}{10} = \cos 18^\circ = \frac{\sqrt{2(5 + \sqrt 5)}}{4}$

$\tan \frac{\pi}{10} = \tan 18^\circ = \frac{\sqrt{5(5 - 2 \sqrt 5)}}{5}$

$\cot \frac{\pi}{10} = \cot 18^\circ = \sqrt{5 + 2 \sqrt 5}$

$\sin \frac{\pi}{5} = \sin 36^\circ = \frac{\sqrt{2(5 - \sqrt 5)} }{4}$

$\cos \frac{\pi}{5} = \cos 36^\circ = \frac{\sqrt 5+1}{4} = \varphi/2$

$\tan \frac{\pi}{5} = \tan 36^\circ = \sqrt{5 - 2\sqrt 5}$

$\cot \frac{\pi}{5} = \cot 36^\circ = \frac{ \sqrt{5(5 + 2\sqrt 5)}}{5}$

因此，在一个有一个或两个36°角的等腰三角形里，两边中较长边的长度，是较短边的 $φ$ 倍，无论是锐角三角形或者钝角三角形。

[编辑] 历史

最早对五角星的使用被发现在美索不达米亚的文献资料里，距今可以追溯到大约公元前3000年。苏美尔语中五角星是被用作“UB”的象形文字，意思是“墙角、角度、隐蔽处、小房间、空洞、孔、陷阱”，表示一些极像pentemychos的东西（参见下面毕达哥拉斯学说的使用）。在labat（苏美尔语象形文字字典）中它代表数字306，并且它被表现为两角向上。在巴比伦语的文献中，五角星的边可能表示定位：前、后、左、右和“上”。这些方向同样有一个占星学的含义，代表五个星球：木星、水星、火星和土星,和“天堂的皇后”（Ishtar）金星（代表上位）。