五角数

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前6個五角數(動畫)

前四個五邊形數.

五邊形數是能排成五邊形多邊形數。其概念類似三角形數平方數,不過五邊形數和三角形數平方數不同,所對應的形狀沒有旋轉對稱Rotational symmetry)的特性。

n個五邊形數可用以下公式求得

p_n = \frac{3n^2-n}{2}

n>0

首幾個五邊形數為1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117... (OEIS:A000326),其奇偶排列是「奇奇偶偶」。

n個五邊形數是第3n-1三角形數1/3。首n個五邊形數的算術平均數是第n個三角形數。

五邊形數測試[编辑]

利用以下的公式可以測試一個正整數x是否是五邊形數(此處不考慮廣義五邊形數):

n = \frac{\sqrt{24x+1} + 1}{6}.
  • 若n是自然數,則x是五邊形數,而且恰為第n個五邊形數。
  • 若n不是自然數,則x不是五邊形數。

用五邊形數的和來表示整數[编辑]

依照費馬多邊形數定理,任何整數都可以表示為不超過5個五邊形數的和。但大多數的整數都可以表示不超過3個五邊形數的和[1]。在小於10^6的整數中,只有以下6個整數需用5個五邊形數的和來表示:

9, 21, 31, 43, 55, 89 (OEIS:A133929)

而以下210個整數需用4個五邊形數的和來表示:

4, 8, 9, 16, 19, 20, ..., 20250, 33066 (OEIS:A003679)

廣義五邊形數[编辑]

廣義五邊形數的公式和五邊形數相同,只是n可以為負數和零,n 依序為0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4...,廣義五邊形數也可以用下式表示:

p_n = \frac{3n^2 \pm n}{2}

n 依序為0, 1, 2, 3, 4...,

其產生的數列如下:

0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117, 126, 145, 155, 176, 187, 210, 222, 247, 260, 287, 301, 330, 345, 376, 392, 425, 442, 477, 495, 532, 551, 590, 610, 651, 672, 715, 737, 782, 805, 852, 876, 925, 950, 1001, 1027, 1080, 1107, 1162, 1190, 1247, 1276, 1335... (OEIS:A001318)

歐拉整數分拆理論中,五邊形數定理說明廣義五邊形數和整數分拆的關係。

用第n個五邊形數(n>2)排列組成的正五邊形,外圍點的個數有5(n-1)個,因此在內部的點個數為:

\frac{3n^2-n}{2} - 5(n-1) = \frac{3n^2-11n+10}{2} = \frac{(3n-5) (n-2)}{2} = \frac{3(n-2)^2+(n-2)}{2}

剛好也是一個廣義五邊形數。

所有的整數都可以表示成不超過3個廣義五邊形數的和[1]

若三角形數可以被3整除,則除以3之後的數必為廣義五邊形數[2]

廣義五邊形數和中心六邊形數[编辑]

廣義五邊形數和中心六邊形數有密切的關係。將中心六邊形數以陣列的方式排出,並且從中間將正六邊形分為二個梯形,較大的梯形可以表示為五邊形數,而較小的梯形可以表示為廣義五邊形數,因此中心六邊形數可以表示為二個廣義五邊形數的和(五邊形數也是廣義五邊形數的一種):

1=1+0 7=5+2 19=12+7 37=22+15
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一般來言:

 3n(n-1)+1 = \tfrac{1}{2}n(3n-1)+\tfrac{1}{2}(1-n)(3(1-n)-1)

等式右側為二個廣義五邊形數,且第一項是五邊形數(n ≥ 1)。

參見[编辑]

參考資料[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 Richard, Guy. Every Number is Expressible as the Sum of How Many Polygonal Numbers?. The American Mathematical Monthly. 1994, 101 (2): p169–172. 
  2. ^ John Horton Conway; Richard K. Guy. The book of numbers. Springer. 1996: p96. ISBN 038797993X. 

外部連結[编辑]