亚纯函数

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复分析中,一个复平面开子集D上的亚纯函数是一个在D上除一个或若干个孤立点集合之外的区域全纯函数,那些孤立点称为该函数的极点

每个D上的亚纯函数可以表达为两个全纯函数的比(其分母不恒为0):极点也就是分母的零点。

Γ函数在整个复平面上亚纯

直观的讲,一个亚纯函数是两个性质很好的(全纯)函数的比。这样的函数本身性质也很“好”,除了分式的分母为零的点,那时函数的值为无穷。

从代数的观点来看,如果D是一个连通集,则亚纯函数的集合是全纯函数的整域分式域。这和有理数 \mathbb{Q}和整数 \mathbb{Z}的关系类似。

例子[编辑]

 f(z) = \frac{z^3 - 2z + 1}{z^5 + 3z - 1}
都是在整个复平面上的亚纯函数。
  • 函数
 f(z) = \frac{e^z}{z}  f(z) = \frac{\sin z}{(z-1)^2}
以及Γ函数黎曼ζ函數都是在整个复平面上的亚纯函数。
  • 函数
 f(z) = e^{\frac{1}{z}}
在除去原点:0的整个复平面上有定义。但是,0不是这个函数的一个极点,而是一个本性奇点。因此,这个函数只是在C\{0}上的亚纯函数,而不是在整个复平面上的亚纯函数。
  • 函数 f(z) = \ln z 不是在整个复平面上的亚纯函数,因为它只在复平面上的一个孤立点集上有定义。

性质[编辑]

由于亚纯函数的极点是孤立点,它们至多有可数多个。极点的个数可以有无穷多个,例如函数:

 f(z) = \frac{1}{\sin z}

使用解析拓延来消去可去奇点后,亚纯函数可以进行加减法和乘法的运算。当g(z)D连通部分上不恒为零时,还可以定义f/g。因此,当D连通时,所有的亚纯函数构成一个,为复数域的一个域扩张

黎曼曲面上的亚纯函数[编辑]

在一个黎曼曲面上,每个点都拥有一个同构于复平面上的一个开子集的开邻域。因此,在任意黎曼曲面上都可以定义亚纯函数。

D为整个黎曼球时,亚纯函数域就是复平面上的单变量有理函数域,因为可以证明任意黎曼球上的亚纯函数都是有理函数(这是所谓的GAGA原理的一个特例)。


参考[编辑]