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交換子

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在抽象代数中,一个群的交換子(commutator)或换位子是一个二元運算子。设gh 是 群G中的元素,他們的交換子g −1 h −1 gh,常記為[ g, h ]。只有当gh符合交换律(即gh = hg)时他们的交换子才是这个单位元

一个群G的全部交换子生成的子群叫做群G导群,记作D(G)

群論[编辑]

環論[编辑]

量子力學[编辑]

量子力学中,经常用到对易关系commutation relation),即

[\hat{A}, \hat{B}] = \hat{A}\hat{B} - \hat{B}\hat{A}

其中;\hat{A}\hat{B}均为量子力学的算符[\hat{A}, \hat{B}]是其对易算符,也称交换子

如果上式等于零,则称\hat{A}\hat{B}对易的,即意味着\hat{A}\hat{B}两个算符的运算顺序可以调换。反之则称非对易的,运算顺序不可以调换。

量子力學中,交換子有以下特性:

[\hat{A},\hat{B}]=-[\hat{B},\hat{A}]
[\hat{A},\hat{B}+\hat{C}]=[\hat{A},\hat{B}]+[\hat{A},\hat{C}],\quad[\hat{A}+\hat{B},\hat{C}]=[\hat{A},\hat{C}]+[\hat{B},\hat{C}]
[\hat{A},\hat{B}\hat{C}]=[\hat{A},\hat{B}]\hat{C}+\hat{B}[\hat{A},\hat{C}],\quad[\hat{A}\hat{B},\hat{C}]=[\hat{A},\hat{C}]\hat{B}+\hat{A}[\hat{B},\hat{C}]
[\hat{A},\hat{A}^n]=0,\quad n=1,2,3...
[k\hat{A},\hat{B}]=[\hat{A},k\hat{B}]=k[\hat{A},\hat{B}]
[\hat{A}, [\hat{B}, \hat{C}]]+[\hat{C}, [\hat{A}, \hat{B}]]+[\hat{B}, [\hat{C}, \hat{A}]] = 0

量子力学中的各个力学量之间,常用的对易关系有:

以下,\hat{x}坐标算符\hat{p}动量算符\hat{L}角动量算符(包括轨道角动量、自旋角动量等),而\delta_{ij}克罗内克δ\epsilon_{ijk}列維-奇維塔符號。其中i、j、k均可以指代x、y、z三个方向中的任意一个。

对易关系 更具体的形式
[\hat{x}_i, \hat{x}_j] = 0 [\hat{x}, \hat{x}] = 0[\hat{x}, \hat{y}] = 0
[\hat{p}_i, \hat{p}_j] = 0 [\hat{p}_x, \hat{p}_x] = 0[\hat{p}_x, \hat{p}_y] = 0
[\hat{x}_i, \hat{p}_j] = i\hbar \delta_{ij} [\hat{x}, \hat{p}_x] = i\hbar[\hat{x}, \hat{p}_y] = 0[\hat{y}, \hat{p}_x] = 0[\hat{y}, \hat{p}_y] = i\hbar
[\hat{L}_i, \hat{L}_j] = i\hbar \epsilon_{ijk}\hat{L}_k [\hat{L}_x, \hat{L}_y] = i\hbar \hat{L}_z[\hat{L}_y, \hat{L}_z] = i\hbar \hat{L}_x[\hat{L}_z, \hat{L}_x] = i\hbar \hat{L}_y

正則對易關係[编辑]

物理學中,正則對易關係正則共軛的量之間的關係,這樣的量從定義可以發現:一個量是其共軛量的傅立葉變換的結果。舉例來說:

[x,p] = i\hbar

上面的xp分別為一維空間中的一點粒子的位置動量,而[x,p]=xp-px為所謂xp交換算符i虛數單位\hbar約化普朗克常數,等於h/2\pi。此一關係常歸功於海森堡,並且此式子暗示了以海森堡為名的不確定性原理

與古典力學的關係[编辑]

相對於量子力學古典物理中所有可觀測量都可對易(交換),而交換算符會是零;然而仍然有類似的關係存在:需將交換子換成泊松括號,且常數i\hbar換成1

\{x,p\} = 1 \,\!

這樣的觀察導致了保羅·狄拉克提出假設:一般來說,古典的觀測量f,g其量子對應項\hat f,\hat g應滿足

[\hat f,\hat g]= i\hbar\widehat{\{f,g\}} \,

於1927年,赫曼·魏爾(Hermann Weyl)指出了量子算符與相空間中古典分布之間的對應關係並不成立。不過他倒是提出了一個機制,稱作魏爾量子化(Weyl quantization),為了一種稱作形變量子化(deformation quantization)的量子化方法提供了數學途徑。

相關條目[编辑]